王藝蓉,藍(lán)佳雯靜,孫 萍,屈 帥,高 著
(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系,北京 100875)
激光器由增益介質(zhì)、光學(xué)諧振腔和激勵(lì)源組成. 激光諧振腔有本征頻率,每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)1種光場(chǎng)分布,叫做1種模式[1]. 完整描述1種模式需要知道橫向與縱向的光場(chǎng)分布狀態(tài),其中,縱模描述軸向光場(chǎng)分布,橫模描述橫向光場(chǎng)分布.
諧振腔的結(jié)構(gòu)不同,它的模式也不同. 分析諧振腔的數(shù)值方法有快速傅里葉變換方法[2-3](FFT)、有限差分法[4](FDM)、有限元光束傳播法[5](FEM-BPM)、Fox-Li數(shù)值迭代法[6]等,而對(duì)于典型結(jié)構(gòu)的諧振腔,采用解析法就已經(jīng)足夠. Boyd和Gordon首先證明了方形鏡共焦腔模式積分方程有嚴(yán)格的解析解[6].
惠更斯-菲涅耳原理是分析衍射問(wèn)題的基礎(chǔ),該原理數(shù)學(xué)上表示為基爾霍夫衍射積分,在分析諧振腔模式問(wèn)題時(shí)用到基爾霍夫衍射積分[7-9]. 本文將通過(guò)基爾霍夫衍射積分求出方形共焦腔的光場(chǎng)解析解,并利用Matlab畫(huà)出幾種簡(jiǎn)單的光場(chǎng)分布,與實(shí)驗(yàn)中獲得的諧振腔出射光斑進(jìn)行比較.
橫向光場(chǎng)是由衍射導(dǎo)致的[1],分析起來(lái)較縱模來(lái)說(shuō)更為復(fù)雜,需要通過(guò)基爾霍夫衍射積分計(jì)算光場(chǎng)分布[6]:
(1)
(a) (b)圖1 方形共焦凹球面鏡諧振腔
在圖1條件,基爾霍夫衍射積分可以化為[6]
(2)
式中Cmn為本征值.
對(duì)(2)式進(jìn)行變量代換:
(3)
通過(guò)分離變數(shù)[6],令Umn(x,y)=Fm(X)Gn(Y),解出Fm(X)和Gn(Y)為角向長(zhǎng)橢球函數(shù):
(4)
角向長(zhǎng)橢球函數(shù)比較抽象,查詢(xún)數(shù)學(xué)手冊(cè),給出特例如圖2所示.
圖2 角向長(zhǎng)橢球函數(shù)
得到光場(chǎng)分布為
方形共焦凹球面鏡橫向光場(chǎng)的不同模式如圖3所示.
當(dāng)菲涅耳數(shù)很大時(shí),還可以通過(guò)超橢球函數(shù)近似得到圓形鏡橫向光場(chǎng)不同模式,如圖4所示.
(a)TEM00
(b)TEM10
(c)TEM02圖3 方形共焦凹球面鏡橫向光場(chǎng)的不同模式
(a)TEM00
(b)TEM10
(c)TEM02圖4 圓形共焦凹球面鏡橫向光場(chǎng)不同模式近似
實(shí)驗(yàn)儀器:He-Ne激光器,CMOS,長(zhǎng)激光管.
實(shí)驗(yàn)通過(guò)光屏接收到光斑,利用手機(jī)攝像頭(CMOS)記錄圖像,如圖5所示.
圖5 光斑形狀
從圖5并不能明顯看出激光的橫模組分,可將該圖片導(dǎo)入Matlab進(jìn)行處理,得到光強(qiáng)分布如圖6所示.
圖6 未除噪光強(qiáng)分布圖
從圖6可以看出光強(qiáng)分布主要為高斯分布,對(duì)應(yīng)著橫模TEM00,但仍存在其他的光場(chǎng)分布. 通過(guò)小波除噪并進(jìn)行二值化,得到圖7. 圖7中,光強(qiáng)在x方向達(dá)到1次最小值,在y方向達(dá)到2次最小值. 對(duì)照?qǐng)D3,橫模TEM10在x方向達(dá)到1次最小值,橫模TEM02在y方向達(dá)到2次最小值. 故圖7的光場(chǎng)分布至少為橫模TEM00,TEM10和TEM023種橫模光場(chǎng)的疊加,若確認(rèn)是否有其他模的存在,需要結(jié)合頻譜圖分析[10].
圖7 除噪二值化光強(qiáng)分布圖
橫模產(chǎn)生的原因是由于激光波矢方向與諧振腔軸線有夾角,光在諧振腔內(nèi)壁發(fā)生衍射. 通過(guò)基爾霍夫衍射積分得到方形共焦凹球面鏡的解析解,通過(guò)Matlab繪制光場(chǎng). 當(dāng)菲涅耳數(shù)很大時(shí),近似得到圓形共焦凹球面鏡的光場(chǎng)分布. 將理論模型下利用Matlab得到的光場(chǎng)分布圖像與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中諧振腔的光場(chǎng)分布實(shí)際上是多種橫模模式的疊加. 確定這些模中存在TEM00,TEM10和TEM023種橫模光場(chǎng).