何建勛，唐 芳

(北京航空航天大學(xué) a.能源與動力工程學(xué)院；b.物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100191)

熱功當(dāng)量實驗是驗證能量守恒和轉(zhuǎn)化定律的基礎(chǔ)實驗[1]，其在裝置的設(shè)計、操作技能的訓(xùn)練和數(shù)據(jù)處理方法的研究等方面都有助于對學(xué)生能力的培養(yǎng)[2]，因此無論在物理學(xué)的發(fā)展還是在實驗教學(xué)中，熱功當(dāng)量的測量實驗均具有較大的意義[2]. 目前實驗教學(xué)中普遍采用電熱法測量熱功當(dāng)量，我校教材中該實驗的數(shù)據(jù)處理采用“差分代替微分”法求解熱功當(dāng)量[3]，這種方法只需記錄加熱升溫數(shù)據(jù)，但從我校實驗經(jīng)驗上看，實驗所得的線性相關(guān)系數(shù)較低、且熱功當(dāng)量測量誤差通常較大[4].

本文基于溫度補償原理和牛頓冷卻定律，對電熱法測量熱功當(dāng)量實驗提出了2種散熱修正方法，即溫度補償法和線性回歸法. 首先簡單介紹電熱法測量熱功當(dāng)量和2種新的散熱修正方法；然后對同一批數(shù)據(jù)用不同的方法處理并比較；最后針對線性回歸法，討論測點數(shù)目和測點時間間隔對實驗準(zhǔn)確度的影響，給出實驗方案選擇建議.

1 電熱法測量熱功當(dāng)量的基本原理

熱功當(dāng)量可定義為傳熱量和做功量單位之間的數(shù)量關(guān)系[1]. 電熱法測量熱功當(dāng)量實驗在量熱器中進(jìn)行，用電阻加熱器向量熱器系統(tǒng)加熱，加熱過程中電流做功為

(1)

式中，U為加熱器兩端的電壓，R為加熱器的電阻，t為加熱時間. 在不考慮散熱的情況下，即假設(shè)電流做功全部轉(zhuǎn)化為熱量，使盛水的量熱器系統(tǒng)由初溫T0升到T，系統(tǒng)吸收的熱量為

Qab=(c0m0+c1m1+c2m2)(T-T0)=Cm(T-T0),

(2)

式中c0，c1，c2分別是水、量熱器和電阻加熱器的比熱容；m0，m1，m2分別為其相應(yīng)的質(zhì)量；Cm為系統(tǒng)的總熱容. 所以熱功當(dāng)量J滿足：

(3)

即

如果各量均取國際單位，則熱功當(dāng)量理論值J=1. 然而，即使實驗在量熱器中進(jìn)行，系統(tǒng)和外界不可避免地會發(fā)生熱量交換，一般會根據(jù)牛頓冷卻定律進(jìn)行散熱修正[3,5]. 當(dāng)系統(tǒng)和環(huán)境溫差較小時，牛頓冷卻定律可表述為[6]：

(4)

其中δQra為系統(tǒng)的散熱量，T和T∞分別為系統(tǒng)和環(huán)境的溫度，k為系統(tǒng)的散熱常量. 依據(jù)能量守恒關(guān)系，系統(tǒng)熱力學(xué)能增量等于其從加熱器的吸熱量與其和外界散熱量的代數(shù)和，綜合式(1)，(3)和(4)，系統(tǒng)溫度需滿足

(5)

式(5)為按照牛頓冷卻定律修正的熱功當(dāng)量測量公式.

2 2種散熱修正方法的基本原理

2.1 溫度補償方法的原理

溫度補償法借鑒了測量冰的熔解熱實驗中廣泛使用的補償原理[2]. 在熱源供熱速率恒定且不大、系統(tǒng)導(dǎo)熱性能良好、攪拌充分均勻的條件下，系統(tǒng)的溫度變化過程可以認(rèn)為是準(zhǔn)靜態(tài)過程，即在任意時刻系統(tǒng)都處于平衡狀態(tài)[7]，可以通過測量系統(tǒng)內(nèi)一點的溫度來代替系統(tǒng)溫度.

設(shè)實驗中系統(tǒng)溫度隨時間變化的大致趨勢如圖1中黑線所示，其中0-1段為加熱前的過程，由于此時各時刻系統(tǒng)溫度低于環(huán)境溫度，即T

(6)

式(6)中等式左邊為全過程中系統(tǒng)的熱力學(xué)能增量，等式右邊第一項為系統(tǒng)對環(huán)境的散熱量δQra，第二項為系統(tǒng)從加熱器吸熱量δQab. 根據(jù)積分定義，等式右邊第一項可用系統(tǒng)的T-t圖像和T∞所圍面積的代數(shù)和表示. 若用圖1所示的面積定義，則：

(7)

在T-t圖像上取一時刻t1′，過t1′作垂直于t軸的直線，并延長線段0-1和2-3，使得其與T-t圖像所圍面積S2,S3和S5滿足S2+S3=S5，則存在一假想加熱過程，系統(tǒng)溫度隨時間的變化如圖1中紅線所示. 其中0～t1′為加熱前的自然升溫，電加熱過程在t1′時刻瞬間完成，t1′～t3為加熱后自然降溫. 由于加熱過程在瞬間完成，所以系統(tǒng)與環(huán)境間的傳熱不發(fā)生在電加熱過程中，而僅發(fā)生在0～t1′、t1′～t3兩過程中. 在假想加熱過程中，系統(tǒng)和環(huán)境的傳熱可用圖1所示面積表示為

(8)

圖1 實驗溫度隨時間變化的趨勢和補償原理

由于作圖保證S2+S3=S5，由式(7)和(8)，在圖1所示的0-1-2-3過程和0-1′-2′-3過程中，系統(tǒng)向環(huán)境間的散熱量相等，又因為系統(tǒng)的初末狀態(tài)相同(均為0狀態(tài)和3狀態(tài))，依據(jù)能量守恒關(guān)系，系統(tǒng)向外界的吸熱量等于初末狀態(tài)熱力學(xué)能的增量與系統(tǒng)向外界做功量之和[8]，所以兩過程中系統(tǒng)從加熱器的吸熱量Qab相等，可以用0-1′-2′-3過程代替實際過程進(jìn)行研究.

而且，因為在0-1-2-3和0-1′-2′-3過程中，僅有1-2段和1′-2′段存在從加熱器吸熱的過程，所以1-2段和1′-2′段的加熱量相等. 又因為1′-2′段的加熱過程無時間積累，不存在對環(huán)境的散熱，所以無論是0-1-2-3還是0-1′-2′-3過程，加熱量Qab均等于1′狀態(tài)和2′狀態(tài)熱力學(xué)能的差，即

(9)

在實驗數(shù)據(jù)處理時，延長2個散熱過程的溫度曲線，并在t軸上取t1′時刻，使得T-t圖像上的面積滿足S2+S3=S5，得到修正后的初末溫度T1′和T2′，代入式(9)即可計算熱功當(dāng)量.

2.2 二重線性回歸方法的原理

上述溫度補償方法可以修正實驗中的散熱，其原理清晰且計算量小，可行性強(qiáng)；但必須測量自然升溫和自然降溫過程，所以嘗試基于牛頓冷卻定律的二重線性回歸法.

由實驗條件可得，本實驗中系統(tǒng)和環(huán)境的換熱可近似看作大空間內(nèi)的自然對流換熱. 由傳熱學(xué)實驗關(guān)系式[6]，大空間自然對流換熱的散熱常數(shù)k與系統(tǒng)和環(huán)境間的溫度差ΔT有關(guān)，為

k=Cn(ΔT)n

其中n為由實驗確定的指數(shù)，操作中根據(jù)特征格拉曉夫數(shù)Gr的范圍而取不同的值，可取區(qū)間為(0.25,0.33)，Cn為指前系數(shù). 對本實驗對應(yīng)的對流換熱條件，n取值應(yīng)為0.33[6].

(10)

求解式(10)微分方程，可得加熱過程中溫度的變化為

(11)

同理可解得自然對流過程中溫度的變化

T=C2e-Kt+T∞,

(12)

式(11)和(12)中的C1和C2均為積分常量，由初始條件確定. 對式(11)和(12)進(jìn)行線性化變換，將式(12)移項并取對數(shù)得

ln (T-T∞)=-Kt+lnC2.

(13)

令Y=ln (T-T∞)，X=t，則式(13)滿足Y=-KX+c的形式. 所以在自然對流過程中對ln (T-T∞)和t做線性擬合，由擬合系數(shù)可求得K.

在加熱過程中令Y=T，X=e-Kt，則式(11)同樣滿足Y=aX+b的形式. 所以，在加熱過程中對T和e-Kt做線性擬合，由擬合結(jié)果可以計算熱功當(dāng)量：

(14)

而且，由于假設(shè)全過程中系統(tǒng)與環(huán)境的散熱常量保持不變，所以第二次擬合中的K值可用第一次擬合的結(jié)果代替，即第二次線性擬合和計算時的K值已知.

3 結(jié)果與討論

以下分別用溫度補償法和二重線性回歸法，對同一組實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并對處理結(jié)果進(jìn)行比較.

3.1 溫度補償法的處理結(jié)果

取某次實驗測量結(jié)果，作出加熱前自然升溫過程、加熱過程和加熱后自然降溫過程中的T-t圖像，并對自然升溫和自然降溫過程做線性擬合，對加熱過程做多項式擬合. 可以得到，擬合相關(guān)系數(shù)均在0.99以上.

根據(jù)2.1節(jié)的溫度補償原理，做出類似圖1的假想過程，用紅線表示，即延長自然升溫和自然降溫過程，并使加熱升溫瞬間完成，如圖2所示.

圖2 某次實驗數(shù)據(jù)及其溫度補償結(jié)果

由溫度補償法可得出已修正的加熱初溫T1′和末溫T2′，代入式(9)即可求熱功當(dāng)量. 修正后的加熱初末溫度分別是：T1′=8.81 ℃，T2′=22.34 ℃，求得熱功當(dāng)量結(jié)果為J=1.03.

3.2 二重線性回歸法的處理結(jié)果

為方便比較，現(xiàn)選用與3.1節(jié)相同的測量數(shù)據(jù)，用二重線性回歸法進(jìn)行處理. 全過程升溫范圍約13 ℃，散熱常數(shù)k在全過程中可看作常數(shù). 根據(jù)自然降溫過程的T-t測量結(jié)果，對ln (T-T∞)和t做線性擬合，擬合結(jié)果如圖3所示.

圖3 自然降溫過程中l(wèi)n (T-T∞)和t的線性擬合結(jié)果

擬合相關(guān)系數(shù)為r=-0.997 1，線性關(guān)系良好，由擬合斜率可以求得K=6.413 7×10-5.

假設(shè)全過程中K保持不變，在加熱過程中對T和e-Kt做線性擬合如圖4所示.

圖4 加熱升溫過程中T和e-Kt線性擬合結(jié)果

擬合相關(guān)系數(shù)r=-0.999 2，線性關(guān)系良好，理論推導(dǎo)與實際測量結(jié)果無明顯偏差，由擬合截距結(jié)合式(14)可計算熱功當(dāng)量，計算結(jié)果為

J=1.049 7.

現(xiàn)考慮由此方法求得熱功當(dāng)量的不確定度估計，測量結(jié)果的不確定度主要有儀器誤差造成的B類不確定度和由擬合誤差造成的A類不確定度. 相較于擬合誤差，溫度、時間、質(zhì)量等測量的儀器誤差很小可忽略不計. 所以這里在進(jìn)行不確定度合成，僅對擬合誤差造成的A類不確定度進(jìn)行合成.

由第一次擬合關(guān)系式(12)，結(jié)合回歸系數(shù)不確定度的計算方法可求得

(15)

同理由第二次擬合關(guān)系式(11)可求得

(16)

由式(15)和(16)結(jié)合式(14)以及不確定度的合成原則可求得

按照上述方法，本節(jié)算例中的不確定度u(J)計算結(jié)果為u(J)=0.036 2≈0.04,所以本算例熱功當(dāng)量的最終表達(dá)為J=1.05±0.04.

3.3 2種方法的比較

2種方法均可對散熱進(jìn)行修正，得出較準(zhǔn)確的熱功當(dāng)量結(jié)果，在原理和具體實踐中都是可行的. 相較而言，溫度補償方法借助圖形工具，將系統(tǒng)與環(huán)境的散熱量轉(zhuǎn)化為T-t圖像中的面積，省卻了復(fù)雜的散熱微分方程的求解，使數(shù)據(jù)處理更加直觀簡便.

二重線性回歸法可通過求解散熱常量恒定假設(shè)下的散熱微分方程，得出完整而嚴(yán)格的數(shù)據(jù)處理原理. 然而該方法處理過程相對較復(fù)雜計算量大. 并且實際過程中的散熱常量并非恒定，而是和系統(tǒng)與環(huán)境的溫度差有關(guān)[6]，由此引入的近似也會帶來實驗誤差.

4 關(guān)于二重線性回歸方法的進(jìn)一步討論

二重線性回歸方法可以得到完整嚴(yán)格的數(shù)據(jù)處理原理，但計算量過大的問題仍需解決.

理論上，在不影響結(jié)果準(zhǔn)確度的前提下適當(dāng)減少測量點的數(shù)目可以減少數(shù)據(jù)處理的工作量. 一般而言，在總時間不變的前提下增大相鄰測點的時間間隔Δt，或在時間間隔不變的情況下減少測點的數(shù)目n均可減少測量點的數(shù)目. 為討論這2種方法對準(zhǔn)確度的影響，在相同條件下改變測點數(shù)目進(jìn)行了多次實驗，圖5為加熱升溫階段測點間隔及測點數(shù)目同計算結(jié)果的關(guān)系對比.

圖5 加熱升溫測點間隔和測點數(shù)目對計算結(jié)果影響

總體而言，測點數(shù)目和相鄰測點的時間間隔對實驗結(jié)果存在影響. 加長實驗時間并密集測點有助于降低實驗結(jié)果的誤差，提高實驗結(jié)果的準(zhǔn)確度. 然而過長的實驗時間將會增加實驗過程中環(huán)境因素的不確定性，不利于結(jié)果的準(zhǔn)確.

由圖5可得，當(dāng)Δt取為30 s時，在n≥20的情況下實驗結(jié)果的分布較密集，數(shù)據(jù)的重復(fù)性好；在n=10或5時，實驗結(jié)果分布則較分散，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性欠佳，且出現(xiàn)了較大不確定度的情況，說明擬合相關(guān)性不好.

當(dāng)Δt由30 s增加到60 s而n不變時，計算結(jié)果的重復(fù)性和準(zhǔn)確度即可得到改善，說明在測點數(shù)量不變時，適當(dāng)增加實驗的總時間，即增加相鄰測點的時間間隔可降低實驗結(jié)果的不確定性，使結(jié)果更穩(wěn)定. 當(dāng)Δt=60 s時，若n減小至5則同樣會出現(xiàn)結(jié)果分散，此時實驗結(jié)果的可信度低.

所以為了保證實驗結(jié)果的準(zhǔn)確性，測點間的時間間隔不宜過小，一般不能小于60 s；測點數(shù)量不宜過少，一般不能小于10；當(dāng)時間間隔加長至90 s時，測點數(shù)量也需為10. Δt和n的最佳取值分別為Δt=60，n=10.

5 結(jié)束語

基于牛頓冷卻定律，提出了2種對熱功當(dāng)量實驗的數(shù)據(jù)處理方法，即溫度補償法和二重線性回歸法，二者均可降低散熱帶來的系統(tǒng)誤差，得到較準(zhǔn)確的實驗結(jié)果. 溫度補償法不涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，數(shù)據(jù)處理更加直觀和簡便；線性回歸方法來源于對散熱微分方程的求解，在數(shù)學(xué)上更加嚴(yán)格，且能給出實驗結(jié)果的不確定度估計. 為解決線性回歸方法數(shù)據(jù)處理工作量大的問題，可在保證實驗準(zhǔn)確度的前提下適當(dāng)減少實驗測點的數(shù)目，合適的Δt和n取值為：Δt=60，n=10. 使用此方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，可以明顯解決“差分代替微分求解散熱量”方法中線性相關(guān)系數(shù)低、誤差較大的問題，得到準(zhǔn)確的結(jié)果.