王 虎， 王 軻， 趙麗茹

(南京航空航天大學振動工程研究所 南京，210016)

引 言

隨機振動疲勞是指結構在受到隨機動態(tài)、交變載荷作用下發(fā)生的疲勞破壞[1]。結構在使用過程中長期處于隨機振動環(huán)境中，局部結構會出現嚴重的共振響應，由此引起的疲勞破壞是結構破壞的主要形式之一。因此，對隨機動載荷激勵下典型結構件進行疲勞壽命分析具有重要意義。

預測結構疲勞壽命的方法主要有頻域法和時域法兩種，基于功率譜密度(power spectral density,簡稱PSD)的頻域法憑借方法簡便、計算量小的特點得到了廣泛的應用。使用頻域法預估結構疲勞壽命，當前采用較多的有Bendat窄帶分析法和Dirlik寬帶分析法[2]。這兩種方法都是基于Miner線性損傷理論，這一理論雖然形式簡單、運用方便，但未考慮載荷作用次序對累計損傷的影響[3]，計算得到的壽命預估結果往往偏于危險。為此，研究者們提出了修正Miner理論[4]和雙線性理論[5]，但結果仍不理想。直到非線性疲勞累積損傷理論發(fā)展起來[6]，才能較好地描述疲勞累積損傷特性，其不足之處是模型較復雜，理論性很強，因而難以應用于壽命估算。筆者基于損傷曲線法提出了一種頻域修正方法，考慮了加載順序對疲勞壽命的影響，一方面能夠更準確預估譜激勵下結構的疲勞壽命，另一方面易于工程應用，為結構抗振動疲勞設計提供新的技術支撐。

1 振動疲勞壽命分析理論

1.1 多軸應力等效

結構件在動態(tài)載荷作用下一般處于復雜應力狀態(tài)(即多軸狀態(tài))，在確定載荷下，采用Von Mises等效準則將多軸應力轉化為單軸應力，再利用已有較為成熟的單軸疲勞分析理論預估結構件壽命，無疑是一條簡單而有效的途徑[7]。在頻譜范圍內進行Von Mises應力等效，由于頻譜是以復向量的形式表達各頻段范圍內的應力分布，因此，在進行應力等效時不會出現時域內部分相位信息和實際不相符的問題[8]。在平面應力狀態(tài)下，頻域內的Von Mises應力等效表達式為

(1)

1.2 損傷曲線法

目前應用較為廣泛的Bendat和Dirlik頻域壽命估算方法都是基于Miner線性累積準則進行推導的，它認為材料在各個應力水平下的疲勞損傷是獨立進行的，總損傷可以線性疊加。對于一定水平的應力循環(huán)，假設存在一個破壞壽命Nf，則可以得到一個循環(huán)內產生的損傷為1/Nf，那么當∑1/Nf=1時，即可認為材料發(fā)生了破壞。該理論形式簡單、使用方便，但卻沒有考慮載荷間的干涉效應，因而壽命預估結果與試驗值相差較大。而非線性累積損傷理論認為載荷歷程與損傷之間存在相互干涉作用，損傷累積速率隨著循環(huán)次數的增多而增大，與實際情況更為吻合，其中具有代表性的就是損傷曲線法[9]。

結構損傷可以用瞬時裂紋長度與最終裂紋長度的比值來表示。引用Manson和Halford[5]在1981年提出的裂紋擴展方程

(2)

其中：a0為初始裂紋長度；af為最終斷裂的裂紋長度；n,Nf分別為達到裂紋長度a,af時外加載荷的循環(huán)次數；αf為經驗參數，計算方法如下

(3)

因此，結構累積損傷D可以表示為

(4)

式(4)表示，當累積損傷D=1(即a=af)時，結構就會發(fā)生破壞。

考慮如圖1所示的二階高-低順序加載，其相應的累積損傷模型如圖2所示。由圖2可看出，如果按幅值先高后低的順序加載即先沿著OA施加強度較高而壽命較短的載荷，然后再沿著A′B′施加強度較低而壽命較長的載荷，循環(huán)比之和將小于1。相反，如果先沿著OA′施加應力水平較低的載荷，然后再沿著AB施加應力水平較高的載荷，則循環(huán)比之和大于1。因此，疲勞壽命的預測與加載順序有關。

圖1 二階高-低順序加載Fig.1 Two-step high-low sequence loading

圖2 非線性累積損傷Fig.2 Nonlinear damage accumulation

如圖2所示，兩個載荷水平在A點和A′點上的損傷相同，根據方程(4)可以得到循環(huán)比n1/N1,f和等效損傷循環(huán)比n2/N2,f之間的關系滿足方程

(5)

(6)

其中：n1，n2分別為在N1,f，N2,f壽命水平時的循環(huán)次數。

(7)

因此，另一個壽命水平(N2,f)的損傷曲線則可以表示為

(8)

對于多個壽命水平(N1,f,N2,f,…,Nn,f)，通過將最低壽命水平的損傷曲線作為基準壽命Nref，可以快速構建損傷曲線。各個壽命水平的應力產生的累積損傷量為

(9)

(10)

(11)

其中：ni為在Ni,f壽命水平時的循環(huán)次數;ni,eq為前i-1次加載的等效循環(huán)次數；Di為i次加載后的累積損傷，該值為1時認為結構破壞。

2 試 驗

2.1 試驗件

簡單試驗件的尺寸和形狀如圖3所示，所使用材料為2024-O鋁合金，材料物理屬性如表1所示。試驗件一端夾持在特定夾具上，利用振動臺對其施加加速度隨機振動基礎激勵，同時為了縮短疲勞試驗的時間，在試驗件另一端加上配重塊，材料為Q235鋼。

圖3 試驗件尺寸(單位：mm)Fig.3 The size of specimens(unit:mm)

材料彈性模量/GPa泊松比密度/(kg·m-3)2024-O61.80.332 780

2.2 有限元仿真

使用Hypermesh和Patran&Nastran軟件建立有限元模型如圖4所示，設置好相關參數后，對結構進行模態(tài)分析并對照模態(tài)試驗結果修正模型，引入結構阻尼。

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model

采用模態(tài)法對模型在頻率10～650 Hz范圍內進行頻響分析：施加單位加速度載荷作用于基礎，計算得到整個結構的頻率響應。然后輸入加速度平直激勵譜(頻率為10～650 Hz，幅值為0.015g2/Hz，均方根值(root mean square,簡稱RMS)值為3.098g)，進行隨機響應分析，得到結構應力響應云圖如圖5所示。提取危險位置處的應力響應功率譜密度(power spectral density,簡稱PSD)曲線如圖6所示，RMS值為77.84 MPa。

圖5 應力云圖Fig.5 Stress nephogram

圖6 危險位置的應力響應PSD曲線Fig.6 The stress response PSD curves of dangerous location

2.3 頻域壽命估算結果

對試驗件進行隨機振動疲勞試驗，得到試驗壽命結果[10]如表2所示。由于加工的試驗件尺寸存在一定誤差、人工緊固螺栓不能保證約束狀態(tài)完全相同等原因，各試驗件壽命結果存在一定的分散性。

表2 試驗件壽命試驗結果

基于Matlab編程實現了Dirlik法和Bendat法頻域壽命分析算法，結合危險位置處的應力響應PSD曲線，對結構進行疲勞壽命預估計算，計算結果如表3所示。

表3 試驗件壽命預估結果

由表3可見，使用兩種頻域算法預估的疲勞壽命均比試驗結果平均值偏高。究其原因，這兩種方法都是基于Miner線性損傷準則的，沒有考慮加載順序對疲勞壽命的影響。因此，筆者提出下述修正方法對預估結果進行修正。

2.4 頻域壽命結果修正

非線性累積損傷準則在以往的研究當中都是用于時域算法的，得到了較為理想的結果，因此可以考慮將該準則的基本思想引入到頻域算法中去。

根據Miner線性損傷準則，不考慮加載順序時，若將預估的壽命結果平分為N段，每段時長ΔT，則每次施加ΔT時長的載荷將固定產生1/N的損傷量，N次加載后結構破壞；然而當考慮順序效應影響時，根據損傷曲線法可知，第2次以后每次加載產生的損傷量均大于1/N，且隨著加載次數的增加，每次加載產生的損傷量越來越大。換言之，若想要使第2次以后每次加載產生的損傷量依然等于1/N，那么加載的載荷時長應該均小于ΔT，假設結構從開始加載到破壞每產生1/N損傷所需的時間依次為ΔT(1),ΔT(2),…,ΔT(N)，則有ΔT(1)>ΔT(2)>…>ΔT(N)，其中ΔT(1)=ΔT，即產生同樣大小損傷量所需的載荷時長會隨著加載次數的增加而減少。

當ΔT足夠小時，可以假設前3次加載產生1/N損傷量所需的載荷時長均為ΔT，即ΔT(1)=ΔT(2)=ΔT(3)=ΔT；而最后一次加載產生1/N損傷所需的時間為零，結構瞬間破壞，即ΔT(N)=0。

通過將應力響應PSD曲線進行時域模擬可以得到一個時長ΔT的時域信號，根據損傷曲線法準則，由式(9)～(11)可以計算得到每次加載該時域信號產生的損傷量。時長ΔT的選取應該適當：過大則上述假設不成立，過小則隨機時域信號無法準確反映數據特征。計算得到ΔT分別等于5,8,10,12,15,20 s時加載次數與單次加載產生損傷量之間的關系曲線，如圖7所示。

圖7 加載次數與單次加載產生損傷量的關系曲線Fig.7 The relation between the number of loading and the amount of damage produced by single loading

文中取ΔT=5 s，并嘗試通過指數函數和多項式函數對該曲線進行擬合，結果如圖8所示。

圖8 曲線擬合結果Fig.8 Curve fitting result

可以看出，3次多項式足以滿足擬合要求，故文中采用3次多項式擬合上述曲線。不妨假設每產生1/N損傷所需的時間ΔT(i)隨加載次數的變化曲線也是一個3次多項式曲線，表達式為

ΔT(i)=a3i3+a2i2+a1i+a0

(12)

由前文假設可以確定式(12)的條件為

(13)

根據上述條件可以確定式(12)中a1,a2,a3,a44個參數，得出單次加載產生1/N損傷量所需載荷的時長ΔT(i)隨加載次數的變化曲線如圖9所示。將N次加載的時域信號長度疊加，即可得到修正后的壽命結果。即

(14)

圖9 ΔT(i)隨加載次數的變化曲線Fig.9 The relation between ΔT(i) and loading times

圖9中各部分面積可以表示為

(15)

其中：曲線AC與坐標軸所圍成區(qū)域(1)的面積S1就是基于損傷曲線法理論修正后的壽命結果；而四邊形OABC的面積SOABC則表示基于Miner累積損傷準則預估的壽命結果；區(qū)域(2)的面積S2為上述二者的差值，即采用線性準則預估壽命時不考慮加載順序的影響所造成的誤差。

2.5 修正后的頻域壽命結果

按照上述修正方法對2.3節(jié)中通過兩種頻域算法預估的壽命結果進行修正，分別得到ΔT(i)隨加載次數的變化曲線表達式為

(16)

將式(16)帶入到式(14)中可以得到修正后的疲勞壽命，并與疲勞試驗結果平均值3 652.8 s進行對比，結果如表4所示。

表4 疲勞壽命修正結果

由表4可見，經過壽命修正后的結果更接近于試驗結果。初步驗證了基于損傷曲線法的壽命結果修正方法有效可行。

3 工程算例

圖10 九宮格壁板有限元模型Fig.10 The finite element model of stiffened plate

某航空典型結構件九宮格壁板的有限元模型如圖10所示，長為1 000 mm，寬為800 mm，共劃分為10 020個有限元單元。該結構振動呈現固有頻率密集和動態(tài)應力多軸性的特點，而且破壞部位較為分散，在工程上很難做到準確地預估和分析疲勞壽命。

模型加強筋和壁板均采用殼單元，二者之間的連接方式用RBE2的方式進行模擬。結構四周固定在特定夾具上，并施加垂直于壁板方向的加速度隨機振動基礎激勵，所使用的材料為2024-O鋁合金。

使用Patran&Nastran軟件，通過調整模型內部連接關系和外部邊界條件，調用Nastran 103模態(tài)計算，得出前3階固有頻率如表5所示。

表5模態(tài)分析仿真結果

Tab.5 Simulation result of natural frequency Hz

在頻率范圍65～350 Hz內對模型進行頻響分析，輸入加速度平直激勵譜(頻率為65～350 Hz，幅值為0.990 3g2/Hz，RMS值為16.8 g)，進行隨機響應分析得到九宮格壁板應力云圖如圖11所示。提取危險部位(即九宮格壁板中心點)x方向應力響應RMS值為30.8 MPa，處于試驗所測得的27.2～32.6 MPa區(qū)間內，驗證了所建模型的準確性。

圖11 九宮格壁板x方向應力響應云圖Fig.11 x directional stress response nephogram of stiffened plate

圖12 各分量方向應力響應PSD曲線 圖13 等效應力響應PSD曲線Fig.12 Stress response PSD curves of each component direction Fig.13 Equivalent stress response PSD curve

危險部位各分量方向的應力響應PSD曲線如圖12所示，結合Von Mises等效準則的使用，將多軸應力轉化為單軸應力，得到等效應力響應PSD曲線如圖13所示。然后利用Dirlik法和Bendat法進行疲勞壽命預估計算并進行結果修正，取ΔT=5 s，得出每產生1/N損傷所需的時間ΔT(i)隨加載次數的變化曲線表達式為

(17)

將上式帶入到式(14)中得到修正后的結果壽命，與疲勞試驗所測得的壽命平均結果4 080 s進行對比，結果如表6所示。

表6 九宮格壁板壽命預估結果

由表6結果數據可知，采用線性準則計算的結果遠大于試驗值，而基于損傷曲線法對壽命結果修正后計算精度明顯提高，得到了較為滿意的結果，進一步驗證了新方法的可行性。

4 結束語

通過對線性累積損傷和非線性累積損傷的對比分析，筆者提出了一種可以提高壽命預估精度的新方法。該方法基于考慮加載順序的損傷曲線法這一非線性累積損傷模型，對兩種頻域分析結果進行了修正，將非線性準則的基本思想引入到了頻域算法中。相比于直接運用非線性準則預估結構的疲勞壽命，該方法更為簡單，且使用方便。通過簡單試驗件和九宮格壁板的試驗驗證可知，使用新方法得到的壽命預估結果精度提高了30%以上，更為接近試驗值，具有工程推廣價值。