李增亮, 孫召成, 張 琦, 馮 龍

(中國石油大學(xué)(華東)機(jī)電工程學(xué)院,山東青島 266580)

獲取海洋能量的途徑主要是通過轉(zhuǎn)能機(jī)械如水輪機(jī)將水流動能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能,其中水輪機(jī)轉(zhuǎn)子葉片是決定潮流能利用效率高低的決定性部件,而葉片的水動性能又與翼型密不可分,因此設(shè)計出滿足高水力性能要求的潮流能專用翼型對提高水輪機(jī)效率、潮流能的利用率具有極大意義。目前潮流能水輪機(jī)轉(zhuǎn)子葉片翼型設(shè)計方法一般都是由風(fēng)機(jī)葉片以及航空翼型設(shè)計理論發(fā)展而來,如美國的NACA標(biāo)準(zhǔn)系列翼型,至今已發(fā)展出多個系列,瑞典學(xué)者Bjorck設(shè)計的FFA-W系列翼型[1]優(yōu)化了升阻比和升力系數(shù); Laurens等[2]采用基于機(jī)翼截面的葉片動量理論設(shè)計獲得了逼近貝茨極限的葉片;Wu等[3]提出以Schmitz 理論為基礎(chǔ)的葉素動量理論設(shè)計葉片,在理論上充分論證了水輪機(jī)葉片各參數(shù)之間的關(guān)系;劉潤澤等[4]將樣條曲線及節(jié)點插入算法應(yīng)用到透平葉片造型中能夠構(gòu)造任意形狀的彎、扭、掠葉片;朱國俊等[5]采用貝齊兒曲線對水翼曲線進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計,并在多工況下對翼型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。在改進(jìn)葉片翼型設(shè)計理論之余,國內(nèi)外研究人員還對翼型優(yōu)化設(shè)計做了大量的研究工作,彭茂林等[6]將粒子群算法用于型線的優(yōu)化,該優(yōu)化方法對葉片形狀設(shè)計優(yōu)化起到顯著作用;楊陽等[7]基于多目標(biāo)遺傳算法對風(fēng)力機(jī)葉片進(jìn)行了全局優(yōu)化,在降低葉片質(zhì)量的基礎(chǔ)上,提高了年發(fā)電量。但是這些翼型設(shè)計理論在翼型構(gòu)造方面大都存在不能精確描述二次曲線弧的弊端。因此鑒于NURBS方法在曲線描述方面的優(yōu)勢,筆者基于NURBS曲線構(gòu)造理論對葉片翼型曲線進(jìn)行參數(shù)化擬合。多目標(biāo)遺傳算法的應(yīng)用可以有效地在給定區(qū)域內(nèi)尋找最優(yōu)解并解決目標(biāo)函數(shù)之間的矛盾[8],以多攻角工況下升阻比為優(yōu)化目標(biāo)結(jié)合NURBS方法建立一種適用于潮流能水輪機(jī)葉片優(yōu)化設(shè)計方法。

1 水輪機(jī)葉片翼型參數(shù)化設(shè)計

NURBS曲線是一種既能夠描述自由型曲面的B樣條曲線又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法,其表達(dá)式[9]為

(1)

其中

(2)

式中,Ri,k(u)(i=0,1,…,n)為k次有理基函數(shù);ωi(i=0,1,…,n)為權(quán)或權(quán)因子,分別與控制頂點di(i=0,1,…,n)相關(guān)聯(lián)。

首末權(quán)因子ω0>0、ωn>0,其他ωi≥0,以防止分母為零。Ni,k(u)稱作德布爾-考克斯遞推公式,定義為

(3)

式中,Ni,k(u)中下標(biāo)i表示序號;下標(biāo)k表示次數(shù)。

1.1 翼型數(shù)據(jù)點參數(shù)化設(shè)計

以NACA4415翼型為原始翼型曲線,在翼型曲線上選取n個坐標(biāo)點為原始數(shù)據(jù)點,然后利用B樣條插值方法反算出插值n個點的NURBS曲線控制頂點,利用初始曲線和計算出的控制頂點便可構(gòu)造出葉片翼型曲線。

確定NURBS曲線節(jié)點矢量,這里采用修正弦長參數(shù)化方法對數(shù)據(jù)點進(jìn)行參數(shù)化[10],如圖1所示。修正弦長參數(shù)化計算式為

(4)

式中,ki為修正系數(shù),其值大于等于1;|ΔPi-1|為數(shù)據(jù)點Pi-1與Pi之間的距離即Pi-Pi-1,其余相同;θi為弦線Pi-1Pi與弦線PiPi+1之間夾角的補(bǔ)角,并將其與π/2進(jìn)行比較,取小值。

圖1 NACA4415翼型型值點Fig.1 Airfoil value point of NACA4415

由于數(shù)據(jù)點增多,控制頂點數(shù)越多,曲線可控性越強(qiáng),但是計算參數(shù)會相應(yīng)增加,優(yōu)化設(shè)計變量數(shù)目也會增加,相應(yīng)的計算量和優(yōu)化難度直線上升,因此為了控制優(yōu)化難度及復(fù)雜性,選取原始翼型曲線上的17個翼型數(shù)據(jù)坐標(biāo)點進(jìn)行參數(shù)擬合。

通過修正弦長降低翼型曲線曲率,降低曲率突變段,使擬合后的翼型曲線更逼近原始翼型曲線,曲線光順度也較高。

1.2反算插值曲線控制頂點

用于插值17個數(shù)據(jù)點Pi(i=0,1,…,16)的插值曲線方程為

(5)

(6)

由于還缺少兩個方程才能解出所有控制點,因此需要補(bǔ)充兩個附加方程,以切矢邊界條件建立附加方程。由于三次B樣條曲線的首尾數(shù)據(jù)點(控制點)有

d0=P0,

(7)

dn+2=Pn.

(8)

則有

(9)

(10)

確定首尾端點切矢后,可得方程組

(11)

令Δi=ui+1-ui則有

(12)

求解方程組即可求得全部控制頂點。

圖2為NURBS擬合后的翼型曲線及控制頂點。由圖2可以看出,擬合后的翼型曲線十分逼近原始翼型曲線,擬合效果良好。

圖2 NURBS曲線擬合翼型Fig.2 NURBS fitting curve of foil

2 翼型水動力學(xué)性能計算

采用XFOIL軟件計算翼型在不同攻角范圍內(nèi)的升阻力系數(shù),XFOIL軟件最初應(yīng)用于空氣動力學(xué)計算,后來Bahaj等[11]采用該軟件做水動力學(xué)計算,證明XFOIL軟件可模擬計算翼型表面的升阻力系數(shù)分布及翼型表面壓力系數(shù)變化。圖3為NACA4415在不同攻角α?xí)r升、阻力系數(shù)變化情況,圖4為翼型升阻比與攻角關(guān)系。從圖3、4中可以看出,在α=6°時升阻比最大,在α=13°時升力系數(shù)達(dá)到最大值,當(dāng)攻角α超過13°時翼型升力系數(shù)會下降,進(jìn)入失速點。

圖3 翼型升阻力系數(shù)與攻角關(guān)系Fig.3 Relation between lift drag coefficient and attack angle for foil

圖4 翼型升阻比與攻角關(guān)系Fig.4 Relation between lift-drag ratio coefficient and attack angle for foil

3 多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法

遺傳算法是針對達(dá)爾文生物進(jìn)化理論進(jìn)行的一種計算機(jī)模擬技術(shù),模擬一個人工種群的進(jìn)化過程,通過選擇、雜交和變異等機(jī)制達(dá)到最優(yōu)解的狀態(tài)[12-15]。進(jìn)行優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)計算時,通常在選定的目標(biāo)區(qū)域內(nèi)讓所有的目標(biāo)函數(shù)存在最優(yōu)解但目標(biāo)之間往往存在相互沖突的矛盾,而作為一種快速有效的全局優(yōu)化算法,采用多目標(biāo)遺傳算法解決翼型優(yōu)化問題是一種最好的選擇。

多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為

(13)

式中,Vmin表示向量極小化。

遺傳算法流程如圖5所示。改進(jìn)的遺傳算法[16-19]首先根據(jù)適應(yīng)度目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行重新組序,同時考慮群體多樣化以及適應(yīng)度值的確定,并求解該值,剔除重復(fù)度較高的個體,將剩下的個體重新組群,然后根據(jù)群體規(guī)模確定是否進(jìn)行下一步操作并給出判斷值,不滿足則重復(fù)上一操作,最后判斷是否滿足結(jié)束要求,是則結(jié)束,否則返回第一步。

圖5 遺傳算法流程Fig.5 Flowchart of genetic algorithm

4 水輪機(jī)翼型優(yōu)化模型

4.1 優(yōu)化目標(biāo)

優(yōu)化目標(biāo)即高升阻比翼型,利用多目標(biāo)遺傳算法在多工況條件下進(jìn)行優(yōu)化計算。

高升阻比作為優(yōu)化目標(biāo),可以優(yōu)化得到在多攻角工況下具有良好升阻性能的水輪機(jī)葉片翼型,進(jìn)而提高水輪機(jī)的轉(zhuǎn)化效率和適應(yīng)性。在給定相應(yīng)的雷諾數(shù)和來流速度情況下,翼型在設(shè)計攻角α下的升阻比計算公式為

f(x)=Cl/Cd.

(14)

式中,Cl和Cd分別為翼型的升力系數(shù)和阻力系數(shù);x為優(yōu)化設(shè)計變量。

4.2 約束條件

由于翼型的升力主要是翼型背面的壓降產(chǎn)生的,翼型的升阻力系數(shù)以及失速性能均由翼型背面型線決定,同時為了控制優(yōu)化設(shè)計變量范圍,選取翼型背面NURBS擬合曲線7個控制頂點和正面3個控制頂點作為優(yōu)化目標(biāo)。

將擬合后得到的翼型曲線的控制頂點作為優(yōu)化設(shè)計變量,通過調(diào)整控制頂點的坐標(biāo)改變其位置進(jìn)而改變翼型曲線形狀;將控制頂點的橫坐標(biāo)固定,只改變其縱坐標(biāo)值,這樣既可通過修改控制點的坐標(biāo)修改翼型曲線并改變翼型形狀以獲得較優(yōu)升阻性能的翼型。此外,兼顧水輪機(jī)葉片強(qiáng)度設(shè)計要求等,對翼型面積S進(jìn)行約束。

4.3 遺傳算法優(yōu)化命題

由于海底洋流的隨機(jī)性,水輪機(jī)經(jīng)常會在變工況條件下工作,因此為了能夠保證水輪機(jī)葉輪翼型的變工況性,提高其效率,同時又能夠盡量提高升阻比,選擇在U=3.5 m/s,雷諾數(shù)Re=0.8×106,對攻角為1°(阻力系數(shù)小)、6°(升阻比最大)和13°(失速區(qū))3種攻角工況下優(yōu)化翼型升阻比。

以水輪機(jī)翼型升阻比作為優(yōu)化目標(biāo),約束函數(shù)為外形面積約束,其優(yōu)化命題可表述為

(15)

式中,F0(x)、F1(x)和F2(x)代表3種工況下的升阻比;x為控制頂點的縱坐標(biāo)值;S′和S分別為初始翼型和優(yōu)化后翼型截面積。

具體的優(yōu)化流程如圖6所示。

在進(jìn)行多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化時,種群數(shù)設(shè)置為50,進(jìn)化代數(shù)為80,交叉概率設(shè)為0.8,變異概率設(shè)為0.1。結(jié)果顯示,在進(jìn)化到65代時求得最佳樣本個體。

圖6 翼型優(yōu)化設(shè)計方案流程Fig.6 Flowchart of optimal design of turbine foil

5 結(jié)果及其分析

圖7為優(yōu)化前后的翼型曲線形狀對比效果。通過對比可以發(fā)現(xiàn),優(yōu)化后的翼型前緣半徑略有增大,上翼面較原始翼型也更加突出,隨著弦長增大,優(yōu)化后翼型尾緣處開始收縮。優(yōu)化前后翼型升力系數(shù)、阻力系數(shù)以及升阻比對比如表1所示。由表1可知,優(yōu)化后的翼型升力系數(shù)在3種攻角工況下均有所提高,阻力系數(shù)相比原始翼型均有所下降,優(yōu)化后的翼型升阻比相比原始翼型在3種攻角工況下分別提高了3.93%、4.71%和17.31%,隨著攻角增大,升阻比增加幅度越大。

圖7 優(yōu)化前后翼型形狀對比Fig.7 Contrast of airfoils before and after optimization

表1 初始翼型和優(yōu)化翼型升阻比對比Table 1 Contrast of lift-drag-ratio of original and optimized airfoils

翼型壓力系數(shù)Cp(無量綱)能夠反映翼型升阻力性能,其定義為

(16)

式中,pL為本地壓強(qiáng),Pa;p0為局部壓強(qiáng),Pa;v為遠(yuǎn)流場來速,m/s。

經(jīng)過XFOIL計算后的優(yōu)化翼型與原始翼型在不同攻角工況下的壓力系數(shù)對比如圖8所示。

由圖8可以看出，在所設(shè)計攻角工況下，翼型前中段優(yōu)化翼型壓力系數(shù)相對于原始翼型明顯降低，靠近翼型后端優(yōu)化翼型壓差幅度變化變小，翼型受力更加均勻。翼型下表面壓力變化幅度相比較原始翼型變化微小。優(yōu)化后的翼型上下翼型面壓力系數(shù)差增大，進(jìn)而提高優(yōu)化翼型的升阻比。

圖8 翼型表面壓力系數(shù)分布對比Fig.8 Contrast of pressure coefficient of airfoil surface

從圖8中還可以看出在攻角為1°和4°時,優(yōu)化后的翼型壓力系數(shù)最小峰值分別為-1.2和-1.5,相比較原始翼型壓力系數(shù)峰值下降速度較快,因為翼型空化系數(shù)由翼型壓力系數(shù)最小值決定,所以在這兩個攻角工況下會對優(yōu)化后的翼型空化性能帶來一定的負(fù)面影響。從圖8(c)中可知,當(dāng)攻角為13°時,優(yōu)化后翼型壓力系數(shù)最小峰值為-3.5,其絕對值小于原始翼型,空化性能得到提升。

水輪機(jī)的水能利用系數(shù)即功率系數(shù)與水輪機(jī)葉片翼型性能密不可分。由貝茲理論可知，水平軸潮流能水輪機(jī)功率系數(shù)定義為

CP=P/(0.5ρSv3).

(17)

式中，ρ為海水密度，kg/m3;S為葉片掃略面積，m2;vc為海水流速，m/s;CP為葉片功率系數(shù)。

葉片功率系數(shù)受翼型本身參數(shù)和葉片安裝角及弦長關(guān)系等因素影響，在安裝角不變時，其與葉尖速比呈一定的函數(shù)關(guān)系。

潮流能發(fā)電水輪機(jī)的額定功率設(shè)定50 kW，葉片數(shù)設(shè)為3，功率系數(shù)為0.3，葉輪直徑為7.3 m，海水流速為2 m/s，根據(jù)兩種翼型分別建立水輪機(jī)葉片模型，用計算流體軟件Fluent對其進(jìn)行數(shù)值模擬，對比兩種翼型下水輪機(jī)的獲能性能。

將優(yōu)化葉片與原始葉片沿展向分為10個截面,分別采用優(yōu)化后的翼型與原始翼型按照參考文獻(xiàn)[20]中的方法建立各個葉片截面弦長和扭角的關(guān)系如表2所示。

根據(jù)水輪機(jī)實際運行工況模擬采用兩種翼型建立的葉片在不同槳距角下的功率系數(shù)如圖9所示。

圖9 原始和優(yōu)化翼型功率系數(shù)Fig.9 Power coefficient of original and optimal blades

從圖9可以看出，采用優(yōu)化翼型后的水輪機(jī)與采用原始翼型的水輪機(jī)功率系數(shù)變化趨勢一致，即保持槳距角不變時，隨葉尖速比升高呈現(xiàn)先增大后減小趨勢。當(dāng)槳距角為3°時優(yōu)化后的水輪機(jī)功率系數(shù)相比原始翼型提高了約3.9%，槳距角為6°時提高了約7%，當(dāng)槳距角增大到10°時提高了6.4%。可以看出在3種不同槳距角下，采用優(yōu)化翼型水輪機(jī)的功率系數(shù)均得到提高。

表2 水輪機(jī)葉片結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Turbine blade structure parameters

6 結(jié) 論

(1)采用NURBS曲線對翼型曲線進(jìn)行參數(shù)化擬合后的翼型曲線與原始翼型相比吻合精度較高,驗證了該方法的可行性與高效性。

(2)優(yōu)化后的翼型升阻比性能在多個攻角工況下均得到明顯提升,提高了水輪機(jī)的適應(yīng)性。隨著攻角增大，優(yōu)化后翼型相比較原始翼型上、下面壓力系數(shù)差值逐漸增大，但最小壓力系數(shù)絕對值相比原始翼型先增大后減??；采用優(yōu)化翼型的水輪機(jī)在多個槳距角下水輪機(jī)的功率系數(shù)相比原始翼型水輪機(jī)有一定的提升，優(yōu)化后的翼型對提高水輪機(jī)的效率是有效的。