楊新華

摘要：教數(shù)學(xué)不僅讓學(xué)生多做題目，更重要的是讓學(xué)生去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，“會”應(yīng)是我們教學(xué)與學(xué)習(xí)追求的目標(biāo)，“會”是知識內(nèi)化到認(rèn)知結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)，“會”是學(xué)生建構(gòu)了“自己的理解”，“會”是能力形成的體現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：薄弱高中；既懂又會；自己的理解

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）07-0091

薄弱高中一般泛指在一個(gè)地區(qū)中考錄取中，排在最后一個(gè)批次的二、三級或者非達(dá)標(biāo)普通高中學(xué)校，我校高一新生入學(xué)成績一般在全市高中排名在靠后20%。大多數(shù)是本地區(qū)學(xué)習(xí)相對落后的學(xué)生，有很多學(xué)生初中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱。如何提高這些學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，是擺在每一位薄弱高中數(shù)學(xué)教師面前不可回避的問題。

一、問題提出

在必修5的模塊考試中有一道解三角形的試題：在△ABC中，已知∠ABC= ，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的長。

評分標(biāo)準(zhǔn)給出的解法：解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC= = =- ，∴∠ADC= ，∠ADB= ，在△ABD中，AD=10，∠ABC= ，∠ADB= ，由正弦定理得， = ，

∴AB= = = =5

本題主要考查正、余弦定理的應(yīng)用，在解決問題的過程中要靈活應(yīng)用正弦定理和余弦定理，屬于基礎(chǔ)題。在考前復(fù)習(xí)提綱中學(xué)生做過同樣類型的題，也講評過，可是考后分析試卷，本題完成的情況比預(yù)想的要差，考試情況統(tǒng)計(jì)：總分12分，文科4個(gè)班平均分：3.08分，其中文科考生有169人中有97人得零分，理科4個(gè)班平均分6.09分，其中理科考生176人中有54人得零分，存在的主要問題：

（1）思路不清，無從下手，不知道要先解，分析解決問題的能力差。

（2）特殊角的三角函數(shù)值記錯(cuò)，如sin = ；特殊角的三角函數(shù)值記錯(cuò)。

在課堂上，筆者自我感覺主導(dǎo)作用發(fā)揮得比較恰當(dāng)，學(xué)生上課也比較注意聽講，為什么考試效果不盡如人意呢？教師的教與學(xué)生的學(xué)究竟存在什么問題？為了探明問題的根源，筆者對做錯(cuò)的學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，請他們詳細(xì)說明不能完成的原因。對反饋的情況進(jìn)行歸類，有以下幾類：

1. 源于教師的因素

大部分學(xué)生反映當(dāng)時(shí)講評時(shí)教師主要是講授為主，上課教師只是講了思路，時(shí)間比較緊，就抓緊講了下一題，沒有讓學(xué)生在課堂上探究，雖然當(dāng)時(shí)自己好像聽懂了，但是遇到新問題又不知道如何分析？

2. 源于學(xué)生的習(xí)慣因素

（1）課堂上由于沒有課堂筆記，沒能及時(shí)地演算、解題后也很少反思、歸納，導(dǎo)致“懂而不會”。

（2）作業(yè)不能獨(dú)立完成，有時(shí)抄作業(yè)，也不理解，只是應(yīng)付完成作業(yè)的任務(wù)，學(xué)習(xí)一知半解。

（3）對于正弦定理和余弦定理能夠解決哪幾類解三角形的問題沒有認(rèn)真復(fù)習(xí)，知識遺忘快。

二、讓學(xué)生建構(gòu)自己的理解

1. 創(chuàng)設(shè)學(xué)生自主發(fā)展的學(xué)習(xí)環(huán)境

高中數(shù)學(xué)由于內(nèi)容多、難度大、時(shí)間緊、無論是新授課還是復(fù)習(xí)課，課堂上教師多采用直接講授法，新課標(biāo)實(shí)施后，教師教學(xué)理念有變化，但常規(guī)課教學(xué)狀況改觀不大。與此相反的結(jié)果是，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果與教師的講似乎關(guān)系不大，很明顯學(xué)習(xí)效果主要取決于學(xué)生學(xué)的情況。這就要求教師在平時(shí)教學(xué)中改變學(xué)生被動(dòng)聽、懂而不會的情況，多創(chuàng)造學(xué)生自主發(fā)展的學(xué)的活動(dòng)環(huán)境，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)理解、主動(dòng)建構(gòu)、主動(dòng)應(yīng)用、主動(dòng)創(chuàng)造、主動(dòng)發(fā)展。教師要信任學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，給學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時(shí)間、空間和機(jī)會。

在試卷分析中，我們也看到了學(xué)生的潛能，有的學(xué)生給出了和評分標(biāo)準(zhǔn)不同的解答：

解法1. （評分標(biāo)準(zhǔn)提供的答案）先解三角形ADC，求出cos∠ADC，再解三角形ABD；

解法2. 也有學(xué)生先求出cos∠C，再解三角形ABC。

解法3. 通過作高，構(gòu)造RT△，列方程求解。

解法如下：過A點(diǎn)作，垂足為F，設(shè)FD=x，

∵AF2=AD2-FD2=102-x2

又AF2=AC2-FC2=142-（x+6）2

∴102-x2=142-（x+6）2

∴x=5

∴AF2=100-25=75

∴AF2=5

∵∠ABC=

∴AF=BF=5

∵AB2=AF2+BF2=150.

∴AB=5

這位學(xué)生通過添加輔助線把解一般三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，利用AF是兩個(gè)三角形的公共邊通過方程的思想列方程求解。我們該為他點(diǎn)贊，只要相信學(xué)生，他們會給我們帶來驚喜。

教師的教學(xué)不能以教師的思維取代學(xué)生的思維，替學(xué)生想得越多，學(xué)生很快也就會放棄獨(dú)立思考的習(xí)慣。

2. 創(chuàng)設(shè)學(xué)生建構(gòu)“自己的理解”的學(xué)習(xí)過程

建構(gòu)主義的核心觀點(diǎn)是：學(xué)習(xí)并非是學(xué)生對教師所授知識的被動(dòng)接受，而是一個(gè)以其已有知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過程。另一方面，由于任何活動(dòng)都是主體的主動(dòng)建構(gòu)，因此，即使就同一數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，不同的個(gè)體也完全可能由于知識背景和思維方法等的差異而具有不同的思維過程。因此，學(xué)習(xí)過程是學(xué)生個(gè)性理解的過程。盡管外在的知識結(jié)構(gòu)具有嚴(yán)密的邏輯性、完備性和結(jié)構(gòu)性，但是，人們在理解這些知識結(jié)構(gòu)時(shí)會根據(jù)個(gè)人的建構(gòu)做出不同的解釋，形成不同的表征系統(tǒng)。概念、公式等學(xué)習(xí)中要讓學(xué)生體會其中的關(guān)鍵詞，說出自己了理解，甚至自己舉出相關(guān)例子來反映自己的理解。學(xué)生思考問題是充滿個(gè)性化的，面對同一問題都有自己的理解，都有自己的思考視覺，從案例中可以看出，有些學(xué)生選擇先求cos∠ADC，有的學(xué)生先求cos∠C，有的學(xué)生從特殊化切入（將一般三角形轉(zhuǎn)化為特殊的直角三角形）。只有學(xué)生對概念、法則、公式等形成自己的理解，才能靈活運(yùn)用，由懂到會。堅(jiān)持“基于學(xué)生的理解”的原則，多了解學(xué)生可能出現(xiàn)的花樣繁多的錯(cuò)誤和各種可能的解法，并與他們一起討論、辨析、尋求通法，考試效果可能會更好。有時(shí)教師不辭辛苦地滔滔不絕地講解，其實(shí)學(xué)生并不“領(lǐng)情”，因?yàn)楸砻嫔鲜菍W(xué)生負(fù)責(zé)，實(shí)質(zhì)上是“剝奪”了本該屬于學(xué)生思考的時(shí)間與空間，改變了學(xué)生的思維方向，削弱了學(xué)生的積極性和主動(dòng)性。

3. 創(chuàng)設(shè)暴露解決問題的分析過程

平時(shí)要舍得花時(shí)間對問題進(jìn)行深入挖掘，多角度思考，縱橫聯(lián)系，充分暴露解決問題的思維過程，促進(jìn)學(xué)生由懂到會，要真正“研究”解題。

在試卷講評課上筆者在考題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式1：

在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC= ，AB=3 ，AD=3，則求BD的長。

教師先給予充分的時(shí)間讓學(xué)生討論、充分暴露學(xué)生的思維、在學(xué)生討論的過程中：

教師提問學(xué)生甲，學(xué)生甲面帶難色，教師在學(xué)生的疑難處進(jìn)行點(diǎn)撥：（1）要求BD的長，一般先考慮解哪個(gè)三角形？（生答：解三角形ABD） （2）三角形ABD是否具備可解的三個(gè)條件（其中至少有一條是邊）？生答：還缺一個(gè)條件。（3）可否根據(jù)已知條件求出呢？△ABD中哪個(gè)角與已知角有聯(lián)系呢？生答：發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠BAC有聯(lián)系，可以根據(jù)誘導(dǎo)公式求出。

學(xué)生甲在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下找到了思路，臉上也露出了開心的笑容。

要點(diǎn)如下：sin∠BAC=sin（∠BAD+ ）=cos∠BAD=

根據(jù)余弦定理可得：

cos∠BAD=

=

∴BD=

課后教師又布置變式2作為作業(yè)：

在四邊形ABCD中，已知?jiǎng)t求BC的長。

通過作業(yè)的批改，學(xué)生完成情況良好。

4. 創(chuàng)設(shè)方法論層面引導(dǎo)的學(xué)習(xí)過程

學(xué)生的“會”，需要有一定的思維固著點(diǎn)，即有能夠遷移的范例，有可資利用的通法，有解答數(shù)學(xué)問題的一些竅門。如涉及兩邊及其中一邊對角時(shí)一般用正弦定理，當(dāng)“已知+所求=三邊+一角一起玩?！睍r(shí)，就用余弦定理等。學(xué)生解題意識形成后仍舊會忘記，要在不斷應(yīng)用中鞏固。教師要提供恰當(dāng)評估和適當(dāng)?shù)姆答伋C正練習(xí)，不斷強(qiáng)化學(xué)生的解題意識。

薄弱高中的大部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣差，學(xué)習(xí)興趣低，基礎(chǔ)知識匱乏。知識遺忘較快，課堂上聽課容易分散注意力，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心不足，這更要求教師要放低起點(diǎn)，不能以教師的思維代替學(xué)生的思維，課堂上要給予學(xué)生充分動(dòng)手、動(dòng)腦的時(shí)間，首先要保證學(xué)生“懂”，然后將“懂”發(fā)展為“會”，繼而提高到“會學(xué)”。讓學(xué)生建構(gòu)“自己的理解”達(dá)到既懂又會。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李廣修，楊興軍.厘清“懂”和“會”的關(guān)系 促進(jìn)學(xué)生既“懂”又“會”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2013（6）.

（作者單位：福建省廈門市海滄中學(xué) 361000）