連夢(mèng)磊，楊德健，王清龍

（天津城建大學(xué) 土木工程學(xué)院，天津 300384）

近年來，西部大開發(fā)的大力發(fā)展，促進(jìn)了西部山區(qū)交通的快速發(fā)展.公路、橋梁的大量修建給西部發(fā)展提供了必要的條件[1].由于西部多山區(qū)，溝谷，山區(qū)地形復(fù)雜，山高坡陡，修建跨越溝谷山頭的橋梁成為首要解決的任務(wù).因?yàn)檫@些橋梁要跨過河谷或深溝[2-4]，所以這些橋梁表現(xiàn)為上部結(jié)構(gòu)一般為連續(xù)剛構(gòu)或多跨連續(xù)梁的特點(diǎn)，而下部相鄰橋墩墩高則相差懸殊[5].拱橋跨越能力較大，能充分做到就地取材，與梁式橋相比可以省大量的鋼材和水泥，耐久性好，而且養(yǎng)護(hù)和維修費(fèi)用少，因此在橋梁工程中得到越來越多的應(yīng)用.地震現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)測(cè)資料表明，即使在50 m的范圍內(nèi)，地基各點(diǎn)振動(dòng)的幅值和相位也有很大差別[6].因此需要對(duì)存在墩高差的大跨橋梁進(jìn)行多點(diǎn)激勵(lì)和考慮墩高差的多點(diǎn)激勵(lì)，以此來確保抗震設(shè)計(jì)的安全性.

1 多點(diǎn)激勵(lì)運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于大型的空間結(jié)構(gòu)，地震時(shí)地面各支撐點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不應(yīng)視作相同的.一方面是由于行波效應(yīng)所導(dǎo)致地面運(yùn)動(dòng)的多樣性，另一方面是由于局部土壤的不同導(dǎo)致地震波中各種頻率成分的含量不同，即局部場(chǎng)地效應(yīng).因此，地震方面的研究已不僅局限于結(jié)構(gòu)的每個(gè)支座均承受相同地震激勵(lì)影響，多點(diǎn)激勵(lì)輸入下的響應(yīng)分析已成為結(jié)構(gòu)抗震研究和工程設(shè)計(jì)需要考慮的熱點(diǎn)問題.多點(diǎn)激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力不僅取決于相對(duì)位移，還與結(jié)構(gòu)支座處地震動(dòng)輸入差異相關(guān).

對(duì)一個(gè)自由度為n的線彈性離散結(jié)構(gòu)體系，在有m個(gè)支點(diǎn)受到地面運(yùn)動(dòng)的非一致激勵(lì)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方程可以寫成矩陣形式，具體形式如下

其中：M為結(jié)構(gòu)非約束自由度的N×N維質(zhì)量矩陣；C為結(jié)構(gòu)非約束自由度的N×N維阻尼矩陣；K為結(jié)構(gòu)非約束自由度的N×N維剛度矩陣；Mg為結(jié)構(gòu)非約束自由度的m×m維質(zhì)量矩陣；Cg為結(jié)構(gòu)非約束自由度的m×m維阻尼矩陣；Kg為結(jié)構(gòu)非約束自由度的m×m維剛度矩陣；Mc為M和Mg這兩組自由度耦合的N×m維質(zhì)量矩陣；Cc為C和Cg這兩組自由度耦合的N×m維阻尼矩陣；Kc為K和Kg這兩組自由度耦合的N×m維剛度矩陣；y¨、y˙、y 分別表示絕對(duì)坐標(biāo)系下非支座節(jié)點(diǎn)的 N維絕對(duì)加速度、速度和位移列向量；u¨、u˙、u 分別表示絕對(duì)坐標(biāo)系下支座節(jié)點(diǎn)的m維加速度、速度和位移列向量；P為m維支座反力列向量.

從運(yùn)動(dòng)方程（1）可以得到：My¨+Mcu¨+Cy˙+Ccu˙+Ky+Kcu=0，即

為了求解上式，將結(jié)構(gòu)非支座節(jié)點(diǎn)處的絕對(duì)位移分為兩部分，即

式中：ys為不考慮慣性力時(shí)由于地面運(yùn)動(dòng)所引起的擬靜力位移向量；yd為結(jié)構(gòu)由于慣性力所引起的動(dòng)位移向量.

將方程（3）代入方程（2）中得

實(shí)際上，對(duì)于每個(gè)瞬間，Kys+Kcu=0，從而可以得到

其中：R=-K-1Kc稱為影響矩陣.

將方程（5）代入方程（4）中，得

對(duì)于將質(zhì)量理想化為集中在自由度處的結(jié)構(gòu)，質(zhì)量矩陣是對(duì)角陣，這意味著Mc為一個(gè)空矩陣，即Mc=0.且通常普遍認(rèn)為，雖然速度項(xiàng)（即阻尼項(xiàng)）-（CR+Cc）u˙不為 0，但是與加速度項(xiàng)（即慣性項(xiàng)）-MRu¨相比，速度項(xiàng)很小，可以忽略不計(jì).則方程（6）轉(zhuǎn)化為

式（7）即求解結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的多點(diǎn)加速度輸入模型.

2 高低墩橋梁模型概況

跨越山谷的橋梁往往兩側(cè)橋墩較低，中間橋墩較高，為詳細(xì)研究高低墩橋梁在多點(diǎn)激勵(lì)下的地震響應(yīng)分析，建立了兩個(gè)橋梁模型.模型一為2跨連續(xù)拱橋，橋墩固結(jié)，兩側(cè)橋墩高6 m，中間橋墩高19 m，墩高差13 m.跨徑布置為25 m+100 m+100 m+25 m.橋梁模型正視圖如圖1所示.模型二除2號(hào)橋墩為19 m外，其余布置和模型一相同，橋梁模型正視圖如圖2所示.

運(yùn)用abaqus軟件建立橋梁有限元模型，兩個(gè)橋梁模型梁?jiǎn)卧捎肂32單元，小于500 mm的梁?jiǎn)卧捎肂31單元，橋面板單元采用S4R.結(jié)構(gòu)自振周期采用的是特征向量法求解，動(dòng)力方程求解方法采用的是直接積分法.

對(duì)于模型一和模型二各橋墩的土層參數(shù)如表1所示.

表1 土層參數(shù)

圖1 橋梁模型1正視圖（單位：m）

圖2 橋梁模型2正視圖（單位：m）

3 輸入地震波分析

多點(diǎn)地震動(dòng)輸入是指在隨機(jī)地震動(dòng)合成時(shí)考慮地面的空間變化（如局部場(chǎng)地效應(yīng)、行波效應(yīng)以及相干效應(yīng)等）的影響[7].該橋梁場(chǎng)地類型按Ⅱ，設(shè)防烈度按8（0.2 g），特征周期按0.25 s考慮.

（1）多點(diǎn)激勵(lì)地震波.由目標(biāo)反應(yīng)譜擬合，通過目標(biāo)功率譜[8]和相干函數(shù)[9]，生成只考慮多點(diǎn)激勵(lì)的地震波.對(duì)于橋梁的影響，模型一和模型二在各點(diǎn)的地震波是相同的.根據(jù)人工生成地震波的原理，對(duì)幅值譜和相位差譜經(jīng)快速傅里葉逆變換可以得到地震波的時(shí)程曲線[10].1至5點(diǎn)的地震波時(shí)程曲線如圖3所示.

目標(biāo)功率譜采用Clough-Penzien譜，水平地震波的遲滯相干函數(shù)選擇Hao模型，擬合的規(guī)范反應(yīng)譜分別依據(jù)現(xiàn)行公路橋梁規(guī)范生成目標(biāo)場(chǎng)地多點(diǎn)地震動(dòng)[11].1點(diǎn)和3點(diǎn)的實(shí)際功率譜和目標(biāo)功率譜的擬合曲線如圖4所示，從圖中可以看出曲線擬合良好.

圖3 地震動(dòng)加速度時(shí)程曲線

（2）考慮墩高差的多點(diǎn)激勵(lì)地震波.對(duì)于存在墩高差的橋梁，橋梁的墩高差對(duì)橋梁的抗震性能的影響主要由橋墩多處地層厚度及土層性質(zhì)差異所致.文獻(xiàn)[12]中結(jié)合多層土體的傳遞函數(shù)給出了地下地震動(dòng)反應(yīng)譜和功率譜模型的推導(dǎo)方法.結(jié)合地下多點(diǎn)地震動(dòng)合成方法，利用文獻(xiàn)[12]中求出的地下功率譜、反應(yīng)譜和相干函數(shù)可得到考慮墩高差的地震波.

圖4 實(shí)際功率譜和規(guī)范功率譜擬合曲線

對(duì)于模型一，橋墩3和各橋墩的墩底高度差為13 m，除3#點(diǎn)的地震波之外，其余各點(diǎn)地震動(dòng)均與多點(diǎn)激勵(lì)地震波一樣，故僅介紹3#點(diǎn)地震波.考慮墩高差影響的3#點(diǎn)地震動(dòng)時(shí)程曲線（見圖5），圖6畫出了考慮墩高差影響的3#點(diǎn)實(shí)際功率譜和目標(biāo)功率譜的擬合圖，從圖中可以看出曲線擬合良好.

對(duì)于模型二，橋墩2和橋墩3與各橋墩的墩底高度差為13 m，除2#點(diǎn)的地震波外，其余各點(diǎn)的地震波均與模型一在考慮墩高差時(shí)各點(diǎn)的地震波一樣.圖7給出了2#點(diǎn)的地震動(dòng)加速度時(shí)程，考慮墩高差影響的2#點(diǎn)實(shí)際功率譜和目標(biāo)功率譜以及實(shí)際反應(yīng)譜和目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合曲線良好.

圖5 3#點(diǎn)地震動(dòng)加速度時(shí)程曲線

圖6 3#點(diǎn)實(shí)際功率譜和規(guī)范功率譜擬合曲線

圖7 模型二2#點(diǎn)地震動(dòng)加速度時(shí)程曲線

綜上所述，兩種激勵(lì)形式下的輸入地震波其實(shí)際功率譜和反應(yīng)譜均與所選擇的目標(biāo)函數(shù)之間擬合良好，因此這些輸入地震波具有良好的實(shí)用性及可靠性.

4 不同激勵(lì)方式下橋梁的時(shí)程分析與對(duì)比

連續(xù)拱橋在多點(diǎn)激勵(lì)，考慮墩高差的多點(diǎn)激勵(lì)下，各個(gè)橋墩墩底剪力和彎矩的峰值詳見表2-3.為了更清楚地進(jìn)行對(duì)比，采用的是兩兩對(duì)比.

表2 各個(gè)橋墩墩底剪力峰值比較 kN

表3 各個(gè)橋墩墩底彎矩峰值比較 kN·m

從表2-3可知，在考慮墩高差影響的多點(diǎn)激勵(lì)下各橋墩墩底剪力和彎矩均小于在多點(diǎn)激勵(lì)下各橋墩墩底的剪力和彎矩，但相比之下相差很小.

模型二在多點(diǎn)激勵(lì)，考慮墩高差的多點(diǎn)激勵(lì)下，各個(gè)橋墩墩底剪力和彎矩的峰值詳見表4-5.

表4 各個(gè)橋墩墩底剪力峰值比較 kN

表5 各個(gè)橋墩墩底彎矩峰值比較 kN·m

從表4-5可以看出，多點(diǎn)激勵(lì)和考慮了墩高差的多點(diǎn)激勵(lì)相比，各橋墩墩底剪力和彎矩變化較為顯著，并且在這兩種不同激勵(lì)方式下，不同橋墩墩底剪力和彎矩大小變化不一，各有增減.

從表2、4以及表3、5可以看出，兩個(gè)模型在同一種激勵(lì)方式下，相同的橋墩墩底剪力和彎矩變化顯著，并且大小變化不一，各有增減，相同位置內(nèi)力相差最大可達(dá)50%.

5 結(jié)論

（1）模型一和模型二在同一種激勵(lì)方式下，相同點(diǎn)地震內(nèi)力相差很大，因高墩數(shù)量的增加，使得橋梁的整體柔性變大，同時(shí)改變了橋梁的頻率，使橋梁在同一種激勵(lì)方式下地震響應(yīng)相差很大.

（2）對(duì)于大跨高低墩連續(xù)拱橋，當(dāng)高墩數(shù)量較少時(shí)，在考慮墩高差影響的多點(diǎn)激勵(lì)下各橋墩墩底剪力和彎矩均小于在多點(diǎn)激勵(lì)下各橋墩墩底的剪力和彎矩，但相差很小.隨著高墩數(shù)量的增加，在考慮了墩高差影響的多點(diǎn)激勵(lì)下，各橋墩墩底剪力和彎矩與多點(diǎn)激勵(lì)相比變化較為顯著.但是在這兩種不同激勵(lì)下，不同橋墩墩底剪力和彎矩大小變化不一，各有增減.

（3）對(duì)于大跨高低墩連續(xù)拱橋，在進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，不同工況下橋梁的地震響應(yīng)有所不同且最危險(xiǎn)的狀態(tài)并不一定出現(xiàn)在某一特定工況下.因此，建議各工況取包絡(luò)的方式選取最不利狀態(tài)作為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)依據(jù).