史樹峰， 師鵬， 趙育善

(北京航空航天大學 宇航學院, 北京 100083)

天基全球作戰(zhàn)能力是未來航天軍事發(fā)展的一大方向，受到世界航天強國的普遍重視。此類研究一般以美國提出的通用航空飛行器(CAV)概念為藍本，重點突出從軌道或亞軌道高度再入大氣層對地面目標進行定點打擊的能力。CAV的待命軌道高度一般在400～500 km，當攻擊任務觸發(fā)時，飛行器脫離待命平臺并啟動離軌模塊，通過軌道制動脫離原軌道進入返回地球大氣層的下降軌道，進而穿過大氣層抵達地面目標[1-3]。

再入飛行器離軌過渡軌道的相關研究中，陳洪波和楊滌[4]分析了離軌推力對下降軌道再入角的影響；高浩等[5]解決的主要是攔截時間限制下離軌過渡軌道的優(yōu)化算法；筆者[6]對離軌過渡段軌道特性進行了分析，提出了離軌參數(shù)的規(guī)劃方法?，F(xiàn)有研究著重于離軌過程的性能，缺少對再入點位置精度的考慮。雖然對于具有大氣層內(nèi)機動能力的飛行器來說，其最終飛行落點并不嚴格受制于再入點位置精度，但精確的再入點參數(shù)控制能夠有效地增強落點覆蓋準確度，減少飛行器待機時間，從而增加任務可靠性。因此本文強化了對再入點位置精度的約束，在飛行器燃料允許的前提下，如果飛行器在當前軌道狀態(tài)不能準確離軌到預定再入點地理位置，則考慮依據(jù)其星下點軌跡進行預先的軌道調(diào)整，從而實現(xiàn)再入任務的精確實施。關于星下點軌跡的研究多側重于遙感衛(wèi)星的回歸軌道或星下點保持[7-9]，針對特定地理位置目標的星下點機動研究則較少。研究針對目標星下點軌跡所需的軌道機動，大多利用經(jīng)驗公式[10]、霍曼變軌[11-12]或小推力變軌控制[13]等傳統(tǒng)方法給出控制參數(shù)，本文結合離軌任務實際情況，提出單脈沖實現(xiàn)的星下點機動方法。

本文研究對象為再入飛行器從潛伏軌道轉移到大氣層上界(高度為120 km)的再入點之間的離軌段和過渡段軌道，通過對再入飛行器的離軌制動時機和離軌控制參數(shù)的規(guī)劃，實現(xiàn)指定再入點位置的飛行器離軌任務。

首先，對再入飛行器離軌任務特性進行分析，提出了以星下點軌跡為參考對象的直接離軌必要條件；然后，對于滿足直接離軌必要條件的情況，完善了固定有限推力模式下最優(yōu)離軌關鍵參數(shù)的確定方法；最后，針對不滿足直接離軌必要條件的離軌任務，提出能使軌道參數(shù)符合離軌條件的單脈沖星下點機動方法。

1 離軌制動沖量模型

再入飛行器從離開原停泊軌道返回地球大氣層到最終著陸于地球表面的過程可分成4段，即離軌段、過渡段、再入段和著陸段[14]，其中前2段在大氣層外，是本文的主要研究對象。

圖1具體展示了再入飛行器的離軌再入示意圖。再入飛行器于原軌道ε1上以速度v1飛行，在離軌點D處離軌任務觸發(fā)對飛行器施加制動速度Δv，使飛行器的速度變?yōu)関2，從原來的軌道進入橢圓過渡段軌道ε2上，過渡段軌道與大氣層上界(默認為120 km高度)的交點為飛行器再入點E，此處飛行器有2個特征參數(shù)再入速度ve和再入角?e，之后飛行器進入再入段軌道。再入點E的位置及其2個特征參數(shù)對飛行器返回任務能否成功起到?jīng)Q定性影響[15]。飛行器離軌任務設計的一般內(nèi)容即為已知初始軌道ε1及再入點E的位置和特征參數(shù)，再根據(jù)其他限制條件，計算離軌點D的位置及相應的制動速度Δv。

本文研究對象中離軌段軌道有制動推力，過渡段軌道是無動力滑行軌道。圖1中O表示地心，?1和?2分別為制動時刻前后飛行器速度相對于當?shù)厮椒较虻慕嵌取?/p>

圖1 離軌再入過程示意圖Fig.1 Schematic of deorbit and reentry process

在再入飛行器離軌規(guī)劃任務中，初始軌道一般為近地近圓停泊軌道，再入點特征參數(shù)一般由具體飛行器在大氣層內(nèi)飛行所需的氣動條件預先限定。粗略評估計算中會使用無旋轉地球模型，計算結果中只能體現(xiàn)離軌過渡軌道與再入點之間的幾何關系；實際在任務中由于涉及了再入點的經(jīng)緯度位置，需要考慮地球旋轉因素進行計算。本文再入飛行器離軌制動規(guī)劃的任務可以描述成：已知飛行器當前飛行參數(shù)，為使飛行器變軌到達指定的再入點經(jīng)緯度并滿足任務要求的再入點特征參數(shù)和最優(yōu)性能指標，規(guī)劃計算制動點位置和制動推力參數(shù)。

離軌過渡軌道與再入點參數(shù)間的幾何關系可以使用無旋轉地球模型和沖量式制動方式建立。一般的橢圓潛伏軌道制動的制動點與再入點關系如圖2所示，制動角φ為制動速度Δv與初始速度v1的夾角，且以向下為負值。r1為制動點原軌道地心距，r2為制動后地心距，re為再入點地心距，在沖量假設下制動過程瞬間完成，所以有r1=r2。

文獻[6]建立了沖量假設下圓軌道下制動速度參數(shù)與再入點參數(shù)之間的關系，并推導了最小沖量條件下制動角的計算方法，得到在一般情況下的制動任務中制動發(fā)動機的最佳推力方向應在圓軌道運動的反方向。本文任務內(nèi)容涉及初始軌道為橢圓軌道的情況，因此進一步推導沖量假設下橢圓初始軌道制動速度參數(shù)的計算方法。

由軌道力學可知

(1)

(2)

(3)

圖2 橢圓軌道制動的制動點與再入點關系Fig.2 Relationship between braking point and reentry point of ellipse orbit braking

(4)

式中：μ為引力常數(shù)。

從式(1)～式(4)可以看出，當已知re、ve和?e時，可以由式(1)和式(2)確定Δv和φ的大小。但如果?e已經(jīng)由氣動條件決定，且對ve的大小不作要求時，可以求出最佳的φ值使Δv最小。

由幾何關系可知

v2cos ?2=v1cos ?1+Δvcos(φ+?1)

(5)

由式(1)和式(3)可得

(6)

將式(5)和式(6)代入式(4)可得

(7)

對式(7)求導可得

sin ?1cosφ=0

(8)

求解式(8)可以得到使Δv/v1最小時，Δv/v1與φ的關系：

(9)

式中：

K1=(sin ?1+cosφsin(φ+?1))2-4sin(φ+?1)·

式(9)沒有顯式解，可使用牛頓迭代法求解，初值猜測可令φ=-π。

2 固定有限推力離軌規(guī)劃

離軌制動沖量模型使用無旋轉地球模型，主要解決離軌脈沖參數(shù)與任務給定再入點特征參數(shù)之間的關系。實際任務中的任務參數(shù)增加了對再入點的維度限制，即限定了再入點在地面上投影的經(jīng)緯度，因此必須考慮到地球旋轉的影響，引入星下點軌跡作為研究對象。直觀上看，軌道機動對星下點軌跡的影響如圖3所示，原軌道星下點軌跡以S0表示，如果在D點執(zhí)行不同的軌道機動，星下點軌跡會在東西2個方向上偏離S0，產(chǎn)生2類新軌跡S1和S2，隨著時間推移星下點軌跡偏移量會逐漸積累而使新軌跡與原軌跡的區(qū)別愈發(fā)明顯。實際上為了展示圖3中的星下點軌跡變化,對其進行了夸張?zhí)幚?，一般任務中的小幅度軌道調(diào)整對軌道本身的改變有限，只會對短弧段中的星下點軌跡造成微小改變。離軌過程從離軌點到再入點一般只經(jīng)過約1/4個軌道弧段，經(jīng)過計算其間星下點軌跡的變化可以忽略，其中產(chǎn)生的誤差可以在離軌參數(shù)規(guī)劃中得到彌補。

圖3 軌道機動對星下點軌跡的影響Fig.3 Influence of orbit maneuver on ground track

因為實際任務增加了對再入點地理經(jīng)緯度的限定，所以能得到離軌過渡軌道的一項限制條件，即過渡段軌道的星下點應通過再入點地理經(jīng)緯度。結合對圖3的分析，可以得到能通過直接離軌制動使飛行器到達目標再入點位置的近似必要條件，即飛行器原軌道應通過任務指定的再入點地理經(jīng)緯度。因此離軌規(guī)劃任務需要解決2個問題：一是滿足直接離軌必要條件下對離軌參數(shù)的規(guī)劃問題，二是不滿足直接離軌必要條件的處理方法。

首先分析滿足直接離軌必要條件下的離軌參數(shù)規(guī)劃問題。離軌過程包括離軌段和過渡段軌道，實際任務執(zhí)行中離軌段的動力由軌控發(fā)動機提供，通常不會是大推力發(fā)動機，因此不能直接使用第1節(jié)中的沖量模型，而由于離軌所需的軌道機動幅度一般不大，離軌段軌道較短，發(fā)動機使用固定大小固定方向的推力模型即可。離軌規(guī)劃須要調(diào)整的參數(shù)包括制動點位置(即制動點的經(jīng)緯度)、發(fā)動機推力大小、方向和工作時間。

離軌段軌道使用有限推力下的動力學模型為

(10)

式中：r和v分別為飛行器位置和速度矢量；T為發(fā)動機推力；m為再入飛行器的質量；g0為標準重力加速度；Isp為發(fā)動機比沖。

文獻[6]提出了離軌制動問題的2層規(guī)劃方法，能解決初始軌道為圓軌道且滿足直接離軌必要條件的離軌規(guī)劃問題，本文對此略作修改，使其適應一般初始軌道的直接離軌規(guī)劃問題。

離軌參數(shù)規(guī)劃策略如下：

第1層選定初始猜測制動點位置(Bi,λi)，通過求解非線性規(guī)劃問題計算滿足再入點約束，且燃料最優(yōu)的制動角φ，由于采用固定推力模型，燃料最優(yōu)指標由發(fā)動機工作時間tp極小值表示。

軌道參數(shù)符合直接離軌條件，因此可以找到原軌道星下點軌跡通過指定再入點經(jīng)緯度的所在弧段，預估選取初始制動點經(jīng)緯度(Bi,λi)。對于每個制動點，由制動角φ和工作時間tp決定了離軌段軌道和過渡段軌道，繼而與大氣層上界(高度為120 km)相交于再入點位置。第1層規(guī)劃可以描述成帶約束的非線性規(guī)劃問題，即

mintp=f(φ)

(11)

式中：f(φ)為有限推力下離軌制動過程制動參數(shù)的隱函數(shù)，其中包括式(10)表示的有動力離軌段軌道，還包括自由下降的過渡段軌道；tmax為任務燃料容許的發(fā)動機最大開機時間；?e0為任務要求的再入點傾角；he為再入點高度。求解非線性規(guī)劃問題使用了SNOPT非線性規(guī)劃程序包[16]，規(guī)劃猜測初值選擇根據(jù)初始軌道類型決定，如果初始軌道為近圓軌道，則選擇φ初值為-π，如果初始軌道為橢圓軌道，則根據(jù)式(9)計算φ初值。

第2層由于第1層規(guī)劃僅針對再入點性能參數(shù)，其結果是滿足再入點傾角約束的最優(yōu)離軌，但對指定再入點經(jīng)緯度的任務而言，其結果中的再入點位置與任務要求存在偏差。因此根據(jù)第1層選定的制動點(Bi,λi)和制動點參數(shù)，計算再入點經(jīng)緯度誤差Δe，通過一維搜索方法尋找制動點在原軌道星下點軌跡上的位置，直到結果中再入點位置收斂到任務要求的經(jīng)緯度。

離軌制動參數(shù)規(guī)則流程如圖4所示，其中下標j表示第1層規(guī)劃迭代過程中的參數(shù)估計，ε表示再入點經(jīng)緯度的容許誤差。

圖4 離軌制動參數(shù)規(guī)劃流程Fig.4 Flowchart of deorbit braking parametric programming

3 再入點星下點機動

對于不滿足直接離軌必要條件的情況而言，目標再入點位置偏離飛行器原軌道的星下點軌跡，無法直接從原軌道離軌達到目標再入點。因此考慮使飛行器在離軌前預先調(diào)整自身軌道，使新軌道星下點軌跡通過目標經(jīng)緯度。

假設以軌道切向脈沖改變原軌道高度，則軌道周期會相應變化，從而改變目標經(jīng)緯度附近軌道星下點位置。如果以目標緯度為基準，對原軌道施加正切向脈沖可以使星下點軌跡相對西移，同理施加負切向脈沖可以使星下點軌跡相對東移。因此需要研究改變星下點軌跡所需機動的參數(shù)。

假設星下點機動初始時刻為t0，飛行器以上升軌道運行到目標再入點緯度時的赤經(jīng)為

αt=Ω0+arctan(cositanut)

(12)

式中：Ω0為初始軌道升交點赤經(jīng)；i為軌道傾角；ut為飛行器從上升段軌道運行至目標緯度時的軌道緯度幅角。

定義飛行器軌道面與目標再入點的經(jīng)度差值為

Δλ=αt-α0

(13)

式中：α0為初始時刻目標位置的對應赤經(jīng)。

一方面，以軌道面為參照，由于地球自轉和軌道進動，可以認為目標再入點沿著自身緯度線繞軌道面旋轉。從初始時刻開始，目標第1次穿過軌道面上升段的時間為

(14)

如果整個機動過程更長，那么目標第N次穿過軌道面上升段的時間為

(15)

目標再入點位置每2次穿過軌道面上升段的過程，對應著飛行器星下點軌跡與赤道的交點在赤道面上移動了一周，以時間計約為1 d。tN時刻目標穿過軌道面但不一定落在星下點軌跡上，因此在tN時刻前后必然存在2條上升軌道的星下點軌跡，使目標再入點經(jīng)緯度落在這2條軌跡之間。

另一方面，飛行器從上升段軌道飛臨目標再入點緯度處所需時間為

(16)

那么飛行器星下點第M次從上升軌道穿過目標緯度的時間為

tM=t2+(M-1)TΩM=1,2,…

(17)

式中：TΩ為交點周期，其表達式為

如果對飛行器施加脈沖Δv，存在某個數(shù)對(N,M)使得式(15)和式(17)中的tN=tM，則可以判斷軌道機動后的星下點軌跡經(jīng)過了目標再入點經(jīng)緯度。

具體仿真中，首先需要確定參數(shù)N，其決定了軌道調(diào)整過程的時間跨度。對于全球定點打擊一類的飛行任務，必然要求實施時間盡可能短，因此在恰當選擇負責實施任務的再入飛行器情況下，將N值設為1，也就是限定任務在1 d內(nèi)完成。對于確定的N值，則必然存在2個接近最優(yōu)的M值可行解，分別對應了原軌道星下點軌跡上，位于目標位置東側的軌道段，由于施加正切向脈沖而西移的Meast，以及位于目標位置西側的軌道段，由于施加負切向脈沖而東移的Mwest。即

(18)

式中：?」、「?分別表示向下、向上取整。而這2個值中必有一個能使Δv取最小值，也就是最省燃料的軌道機動方案。

4 離軌制動規(guī)劃仿真

以不滿足直接離軌必要條件下的仿真案例展示離軌制動規(guī)劃整體過程。

選擇初始軌道的軌道根數(shù)如表1所示，表中a、e、i、Ω、ω和f分別表示軌道半徑、偏心率、傾角、升交點赤經(jīng)、近地點幅角和真近點角。任務初始歷元為UTC 2016-10-01 20:00:00。飛行器質量為3 000 kg，軌控發(fā)動機推力固定為1 175 N，發(fā)動機比沖為300 s。

目標再入點參數(shù)要求如表2所示。

表1 初始軌道根數(shù)

表2 再入點參數(shù)

圖5 飛行器原軌道的星下點軌跡Fig.5 Ground track of original orbit of vehicle

作為規(guī)劃計算前的準備，首先生成原軌道在1 d內(nèi)的星下點軌跡如圖5所示。為了使規(guī)劃計算更為精確，軌道預報中考慮了地球扁率攝動，采用了高階地球引力場模型。圖5中實線表示飛行器星下點軌跡，點劃線表示目標再入點所處緯度，實心圓表示任務初始時刻再入飛行器所處位置，星號表示目標再入點的經(jīng)緯度位置，箭頭指示了飛行器運動方向。從圖5可看到,再入點位置約處于上升軌道段的第11軌與第12軌的星下點軌跡之間，因此其初始軌道并不符合直接離軌必要條件。

根據(jù)第3節(jié)的理論分析計算星下點軌跡調(diào)整的機動策略，若限定軌道調(diào)整時間在1 d以內(nèi)，求解的2個脈沖近優(yōu)解為[-85.137，152.083] m/s，分別對應將目標位置西側的第11個上升段星下點軌跡調(diào)整到目標位置，以及將目標位置東側的第12個上升段星下點軌跡調(diào)整到目標位置。比較發(fā)現(xiàn)第1個脈沖更小，可作為最優(yōu)解。以最優(yōu)脈沖進行星下點機動的結果如圖6所示，其中實線表示飛行器原軌道星下點軌跡，虛線表示機動后星下點軌跡，點劃線和星號分別表示目標再入點所處緯度和經(jīng)緯度位置星下點軌跡在機動調(diào)整后經(jīng)過了目標位置，而且最優(yōu)解所進行的軌道改變幅度最小。由于仿真中使用的是J2模型，結果與實際軌道有微小誤差，計算得到的星下點軌跡在目標緯度處經(jīng)度與目標經(jīng)度相差0.016 8°，精度滿足任務要求。

經(jīng)過星下點機動調(diào)整，得到了滿足直接離軌必要條件的新軌道，經(jīng)過機動后軌道形狀由原來的近圓軌道變成了小偏心率橢圓軌道，在此基礎上繼續(xù)進行離軌制動規(guī)劃仿真。

圖6 星下點機動結果Fig.6 Results of ground track manipulation

離軌制動仿真中使用第2節(jié)中的2層規(guī)劃方法，以脈沖模型式(9)的計算結果為初始值，計算有限推力下的最優(yōu)離軌參數(shù)。規(guī)劃結果如圖7所示，虛線表示星下點機動后軌道星下點軌跡通過再入點經(jīng)緯度位置的所在弧段，粗實線表示發(fā)動機施加制動推力的離軌段軌道星下點軌跡，細實線表示之后自由下降的過渡段軌道星下點軌跡，實心圓表示離軌點經(jīng)緯度位置(224.741 5°，-32.241 2°)，方形表示制動推力結束點經(jīng)緯度位置，點劃線和星號分別表示目標再入點所處緯度和經(jīng)緯度位置。仿真得到的再入點位置符合任務要求(經(jīng)緯度誤差0.020 7°)，具體的離軌點參數(shù)見表3。

從表3得到的仿真結果可知，通過再入點的星下點機動后，飛行器軌道滿足直接離軌必要條件，就可以順利通過有限推力的離軌規(guī)劃方法計算得到最優(yōu)離軌的一系列參數(shù)。

圖7 離軌過程的星下點軌跡Fig.7 Ground track of deorbit process

參 數(shù)數(shù) 值離軌時間/s61676.763制動角/(°)-153.635推力時間/s164.783燃料/kg64.457

5 結 論

本文分析研究了再入飛行器限制再入點經(jīng)緯度位置情況下的離軌制動任務規(guī)劃方法。

1) 建立了沖量條件下計算橢圓軌道最優(yōu)離軌參數(shù)的模型，并提出了限定再入點地理經(jīng)緯度前提下直接離軌的必要條件。

2) 當軌道參數(shù)滿足直接離軌必要條件時，完善以固定有限推力規(guī)劃計算離軌點位置和離軌推力參數(shù)的方法。但對于一般任務來說，初始軌道參數(shù)往往不滿足直接離軌條件，因此隨后研究了一般初始軌道情況下對指定星下點目標經(jīng)緯度的軌道機動方法。

3) 以具體任務參數(shù)對星下點機動調(diào)整和離軌制動理論進行了仿真驗證，得到的仿真結果符合理論推導，滿足任務精度要求。