惲 珍, 費為銀, 梁 勇

(安徽工程大學 數(shù)理學院, 安徽 蕪湖 241000)

最優(yōu)投資消費問題是金融學研究的重要方向之一, 早在1969年, 文獻[1]針對連續(xù)時間情形下最優(yōu)投資選擇問題已經(jīng)進行了研究, 文獻[2]探究了值函數(shù)的閉型解, 并提出了最優(yōu)投資-消費決策。

上述文獻報道均是最優(yōu)投資消費問題, 但在實際生活中, 人們可通過工作獲得勞動收入, 還可合理地投資從而增加財富, 使得退休后的生活更有保障。 把收入、閑暇和退休引入模型才可使投資-消費組合模型更貼合實際。文獻[3-4]考慮了勞動收入是隨機情形時的消費、投資、閑暇和退休問題, 均采用鞅方法解決最優(yōu)投資消費問題。 文獻[5]在使用動態(tài)規(guī)劃法解決投資消費問題時, 推廣了文獻[4]的結(jié)果, 并驗證了鞅方法和動態(tài)規(guī)劃法得到的解的等價性。 文獻[6]運用α-極大極小期望CES(constant elasticity of substitution)效用模型, 研究了代理人的最優(yōu)消費、閑暇、投資組合和退休選擇的問題, 其中區(qū)別了含糊與含糊態(tài)度。 文獻[7]考察了一個帶有CES型代理人的最優(yōu)投資消費、閑暇和退休選擇問題, 代理人可通過消費和閑暇獲得效用, 并在高于一個最低勞動時間后可以靈活地安排勞動和閑暇時間。 文獻[8]研究了帶有生存約束的代理人的最優(yōu)投資消費、閑暇和自愿退休的問題, 運用動態(tài)規(guī)劃原理, 給出了最優(yōu)決策和值函數(shù)。 文獻[9]考察了在Knight不確定下3種借款約束情形及保險和退休的最優(yōu)消費投資決策。

通貨膨脹(簡稱通脹)是一種無法避免的宏觀經(jīng)濟風險。 面對通脹帶來的壓力, 許多管理人重新調(diào)整了投資組合, 許多學者也在原來的最優(yōu)投資-消費組合的基礎(chǔ)上, 考慮了通脹對投資-消費的影響。文獻[10]證明了通脹對代理人的經(jīng)濟活動有重要的影響。 通脹會帶來物價的上漲, 導(dǎo)致代理人可以購買的消費品減少, 消費效用降低。 因此, 代理人需通過減少消費、增加投資來應(yīng)對通脹。 文獻[11]研究了消費籃子價格完全可觀察和部分可觀察兩種情況的通脹環(huán)境下的最優(yōu)消費和最優(yōu)投資決策。 文獻[12]考察了通脹環(huán)境下, 一個可投資于現(xiàn)金、名義債券和股票的冪效用投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置。 文獻[13]分析了在跳擴散環(huán)境下, 通脹因素和跳對投資者資產(chǎn)配置的影響。 文獻[14]研究了投資者在通脹環(huán)境下帶遞歸效用的最優(yōu)消費和投資問題。 文獻[15]基于連續(xù)時間均值-方差框架, 探究了通脹影響下投資終止時間不確定的最優(yōu)投資組合選擇問題．文獻[16]運用了隨機分析、動態(tài)規(guī)劃原理和魯棒控制方法，研究了在通脹和模型不確定下投資者的最優(yōu)消費和投資組合問題。

為考察代理人在通脹環(huán)境下的最優(yōu)投資-消費、閑暇和自愿退休問題, 本文在文獻[17]的基礎(chǔ)上引入了通脹因素, 運用動態(tài)規(guī)劃原理, 通過求解優(yōu)化問題值函數(shù)所滿足的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程, 獲得值函數(shù)的解析解和關(guān)于投資-消費、閑暇和自愿退休的最優(yōu)決策。

1 模型建立

在完備的金融市場中, 設(shè)(Ω,F,{Ft}t≥0,P)為一個帶有Wiener過程W(t)的帶流概率空間, 代理人可以將財富投資于兩種資產(chǎn)：一種是名義利率為R的無風險資產(chǎn), 如債券；另一種是預(yù)期收益率為μs和波動率為σs>0的風險資產(chǎn), 如股票。無風險資產(chǎn)名義價格BN(t)與風險資產(chǎn)名義價格SN(t)分別滿足式(1)和(2)。

(1)

(2)

居民消費價格指數(shù)(CPI)是度量通脹的重要指標,其是衡量所選定的一籃子消費品購買價格的指數(shù)。 文獻[10]中投資者的消費籃子指代幾種消費品及其權(quán)重。 本文為了簡化, 忽略了多維的情況, 直接考慮消費籃子中物品價格的加權(quán)和, 即消費籃子價格。 消費籃子價格的動力學表達式如式(3)所示。

(3)

式中:μp為預(yù)期通脹率;σp>0為波動率。

設(shè)XN(t)為代理人在時刻t的名義財富量,πN(t)為代理人在時刻t投資于風險資產(chǎn)的名義資金額, 則XN(t)-πN(t)為代理人投資于無風險資產(chǎn)的名義資金額，cN(t)為代理人在時刻t的名義消費率, 且cN(t)>0，wN(t)為名義工資率。

(4)

且名義財富過程滿足

(5)

設(shè)Xt表示代理人在時刻t的真實財富量, 則

根據(jù)伊藤公式可得

(6)

考慮到模型簡化和代理人心理, 假設(shè)真實工資率為常數(shù)w； 不受通脹的影響, 則名義工資率滿足wN(t)=w·P(t)。

真實財富過程滿足

(7)

式中:X0為零時刻財富水平；x為零時刻財富水平的具體數(shù)值。

設(shè)BN(t)為代理人在時刻t的名義無風險資產(chǎn)價格,B(t)為代理人在時刻t的真實無風險資產(chǎn)價格, 則

(8)

(9)

2 優(yōu)化問題

為使消費和閑暇都能得到滿足, 根據(jù)文獻[3-4, 17]中定義的效用函數(shù), 本文引入Cobb-Douglas效用函數(shù)，如式(10)所示。

(10)

式中:γ為相對風險厭惡系數(shù);α為一個常數(shù)參數(shù), 用來度量代理人的消費在就業(yè)階段中的份額。若定義γ1: =1-α(1-γ), 則Cobb-Douglas效用函數(shù)可寫為

(11)

期望折現(xiàn)效用的最大化為模型中代理人的目標, 則

(12)

假設(shè)1

(13)

由于式(12)中退休后的值函數(shù)U(·)和經(jīng)典Merton問題類似, 參照文獻[17], 定義退休后的值函數(shù)為

定義二次方程為

(14)

該方程有兩個根k+>0和k-<-1。

在假設(shè)1下, 值函數(shù)有如下表達式

命題1

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

證明: 退休前將控制變量l分為兩部分: 閑暇率lt為一個控制變量, 閑暇率lt為常數(shù)L。

當0≤t<τ, 0≤l

(24)

由一階條件, 可得

(25)

將式(25)代入HJB方程(24), 可得

(26)

假設(shè)財富函數(shù)c=C(x),X(c)=C-1(x), 則

(27)

把式(27)代入式(26), 得

(28)

兩邊關(guān)于c求導(dǎo), 得

(29)

式(29)的解如式(30)所示。

(30)

式中:k-<-1為方程(14)的一個根。

將式(30)代入式(28), 得

(31)

式中:ξ為式(22)的解．

當0≤t<τ，l=L時, 優(yōu)化問題的HJB方程可寫為

(32)

由一階條件, 可得

(33)

同理, 可得式(32)的解和值函數(shù)如式(34)和(35)所示。

(34)

(35)

式中:ζ為式(23)的解．

將式(30)和(34)求導(dǎo), 代入上式, 得

(36)

(37)

即

(38)

由式(36)～(38)可知, 若可知B2, 則可求得式(18)中的B1和式(20)中的A2。

簡化得

(39)

由式(34)定義

(40)

將式(39)代入式(40), 可得

(41)

(42)

將式(39)代入式(42), 可得

(43)

由式(41)和(43)可得B2。

命題2

式中:ξ和ζ為式(44)和(45)的解。

(44)

(45)

證明: 根據(jù)一階條件(25)和(33), 可得定理中的最優(yōu)消費、閑暇、投資決策。 根據(jù)命題1中的式(23), 可得代理人在時刻t的財富Xt, 證畢。

3 數(shù)值模擬與經(jīng)濟學分析

為更好地分析財富水平和通脹因素對消費與投資的影響, 本文結(jié)合文獻[7-11]中的數(shù)據(jù), 利用Matlab進行了數(shù)值模擬。

3.1 財富水平對消費和投資的影響

由圖1可知:相對風險厭惡系數(shù)越大, 越厭惡風險的投資者消費相對更低, 可適當控制消費; 消費的整體趨勢均是單調(diào)增加的, 這是由于隨著財富的積累, 消費水平隨之提高; 在財富水平達到[-40, -20]之間時, 出現(xiàn)了一個向上的跳, 這是由于第2階段時, 代理人閑暇達到了退休前的最大且固定, 工作時間也相對固定, 收入穩(wěn)定可增加消費。在第2階段和第3階段之間出現(xiàn)了一個向下的跳, 這是由于代理人已經(jīng)退休, 沒有了收入來源, 此階段投資者更愿意將所持有的資產(chǎn)用于風險資產(chǎn)的投資, 以期獲得更多的財富, 減少了消費。

圖1 財富水平Xt對最優(yōu)消費Ct的影響Fig.1 Effect of wealth level Xton optimal consumption Ct

圖2 財富水平Xt對最優(yōu)投資π的影響Fig.2 Effect of wealth level Xton optimal investment π

由圖2可知:對風險更加厭惡的投資者, 會將更少的財富投資于風險資產(chǎn)上; 投資的整體趨勢均是單調(diào)增加的, 這是由于隨著財富的積累, 投資隨之增加。在第1階段和第2階段之間出現(xiàn)了一個向上的跳, 這是由于在第2階段代理人具有穩(wěn)定的收入, 財富的逐漸積累使其可以增加投資。 在第2階段和第3階段之間出現(xiàn)了一個向下的跳, 這是由于代理人已經(jīng)退休, 沒有了收入來源, 增加投資會不利于未來的消費, 因此投資會出現(xiàn)一個大幅度的下降．

3.2 通脹波動率對消費和投資的影響

(a)第1階段

(b)第2階段

(c)第3階段圖3 3個階段通脹波動率σp對最優(yōu)投資π的影響Fig.3 Effect of inflation volatility σpon optimal investment π of three stages

(a)第1階段

(b)第2階段

(c)第3階段圖4 3個階段通脹波動率σp 對最優(yōu)消費Ct 的影響Fig.4 Effect of inflation volatility σp on optimal consumption Ct of three stages

由圖3(a)可知, 隨著通脹波動率的增加, 投資先增加后減少。 投資先增加的原因：一方面是通脹剛剛出現(xiàn), 代理人心理上認為市場的預(yù)期走勢好, 增加投資可以增值保值; 另一方面是此階段代理人的收入不是固定的, 如果某個時刻的投資出現(xiàn)虧損, 可通過減少閑暇、增加工作來增加收入，彌補虧損。 之后投資下降是由于通脹波動率的增加, 使得市場的不確定性增強, 代理人心理上更加擔憂, 因此降低了投資。

由圖3(b)可知, 隨著通脹波動率的增加, 投資一直減少。 一方面是此階段的收入沒有前一階段的高, 可用于投資的財富減少。 隨著通脹波動率的增加, 市場越來越不穩(wěn)定, 代理人更加擔心投資虧損。另一方面是此階段收入是個定值, 如果某個時刻的投資出現(xiàn)虧損, 代理人不能通過調(diào)節(jié)收入彌補虧損。因此第2階段投資呈現(xiàn)下降的趨勢。

由圖3(c)可知, 此階段隨著通脹波動率的增加, 投資一直增加。這是由于退休之后, 財富有一定的積累, 但不會再有收入來源, 需要增加投資從而獲得收益．

由圖3可知, 相比于對風險厭惡更高的代理人，對風險厭惡更低的代理人而言, 無論在哪個階段, 其投資都會更高。這是由于其會認為市場預(yù)期走勢好, 將財富更多地投資在風險資產(chǎn)上可獲得更高的收益．

由圖4(a)可知, 隨著通脹波動率的增加, 消費先減小后增加。消費先減小的原因：一方面是此時投資增加的原因另一方面是從消費者的心理來看, 通脹剛剛出現(xiàn), 消費欲望降低, 導(dǎo)致財富購買力的下降。 之后消費增加的原因：一方面是市場波動越來越大, 代理人不愿進行更多的投資, 用于消費的資金將會更多; 另一方面是當通脹出現(xiàn)時, 相同的貨幣量消費越晚買到的東西越少。 代理人可能提前消費, 提前消費使等量貨幣價值最大化, 因此消費會增加。

由圖4(b)可知, 消費水平隨著通脹波動率的增加而增加。 這是由于在這個階段投資隨著通脹波動率增加而減小, 而代理人在此階段收入是個定值, 可以適當?shù)卦黾酉M。

由圖4(c)可知, 這個階段消費隨通脹波動率增加而持續(xù)增加, 這是由于退休之后, 代理人已經(jīng)積累了一定的財富, 可以承擔更高的消費

由圖4可知,相比于對風險厭惡更高的代理人，對風險厭惡更低的代理人而言, 無論在哪個階段, 其消費都會更低。這是由于此時的代理人已經(jīng)將更多的財富投資在風險資產(chǎn), 進而消費水平降低。

4 結(jié) 語

本文在通脹環(huán)境下建立模型, 推導(dǎo)了通脹折現(xiàn)后的財富過程。將代理人的生命周期依據(jù)閑暇率分為3個階段, 在每個階段建立相應(yīng)的HJB方程, 求解方程后得出關(guān)于投資-消費、閑暇和自愿退休時間的最優(yōu)決策。數(shù)值模擬分析表明, 消費和投資均隨著財富水平增加而增加, 在面對變化的通脹波動率時, 代理人為了減小風險、增加收益, 在不同的階段會選擇不同的最優(yōu)投資消費策略?？傮w而言, 適當?shù)耐洉碳ね顿Y和消費。