劉朝陽，呂永波*，劉步實，李 倩，呂萬鈞

(1.北京交通大學(xué)交通運輸學(xué)院，北京100044；2.北京城建設(shè)計發(fā)展集團(tuán)股份有限公司，重慶401147)

0 引 言

城市軌道交通具有快速、大運量和污染小等優(yōu)勢，能有效緩解城市交通擁堵問題，部分城市的軌道交通網(wǎng)絡(luò)化正逐步形成并向網(wǎng)絡(luò)化運營階段邁進(jìn)[1].作為客流量特別密集的運輸載體，軌道交通網(wǎng)絡(luò)化的布局形式使得節(jié)點之間具有緊密的聯(lián)系.而軌道交通的客流量較大，這就要求相關(guān)的安全保障機制非常嚴(yán)苛，大力提升安全防護(hù)措施的有效性.一旦遭受到外界惡意破壞，或者是在城市軌道交通運營過程中系統(tǒng)設(shè)備故障，抑或是突發(fā)性的客流劇增，任何節(jié)點的故障都可能在網(wǎng)絡(luò)中迅速傳播與擴散，最終導(dǎo)致非常嚴(yán)重的后果[2].在網(wǎng)絡(luò)中，一個或少數(shù)節(jié)點或連線的失效會通過節(jié)點之間的耦合關(guān)系引發(fā)其他節(jié)點也發(fā)生失效，進(jìn)而產(chǎn)生級聯(lián)效應(yīng)，最終導(dǎo)致一部分節(jié)點甚至整個網(wǎng)絡(luò)的崩潰，這種現(xiàn)象就稱為級聯(lián)失效，有時也形象稱之為“雪崩”[3].對級聯(lián)失效的研究早期可追溯至電力、信息網(wǎng)絡(luò)等復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)效應(yīng)的研究[4-5].同樣，城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)也存在類似的現(xiàn)象，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點或者區(qū)間中斷運營會引發(fā)其他節(jié)點不堪流量壓力而產(chǎn)生級聯(lián)擁堵[6].

因此，為了保證城市軌道交通的安全運營，本文綜合考慮了軌道交通的基本性質(zhì)及動力學(xué)行為，而非僅僅停留在靜態(tài)研究上，從而減少整個交通網(wǎng)絡(luò)的損失.同時，本文的研究還為軌道交通的應(yīng)急預(yù)案設(shè)計、網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃和合理改擴建提供了良好的參考依據(jù).

1 城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型

本節(jié)將結(jié)合城市軌道交通特性，構(gòu)建城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型.由于節(jié)點的失效會更快速更嚴(yán)重的引發(fā)級聯(lián)失效，因此本文分析節(jié)點失效下的級聯(lián)失效過程，并假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中任何節(jié)點失效，在本文的研究期內(nèi)都不具有恢復(fù)能力.

1.1 交通流分配

軌道交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點少，網(wǎng)絡(luò)中邊的數(shù)量不多，在某一節(jié)點失效時，OD之間可替代的其他路徑有限，又由于邊權(quán)主要考慮時間因素，其他可替代路線的通行時間一般遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于最短路的通行時間，這種情況下乘客會優(yōu)先考慮最短路徑.全有全無配流方法算法簡單且適用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單、規(guī)模不大的軌道交通網(wǎng)絡(luò)，因此本文選擇全有全無的客流分配方式[7]，分配交通量的步驟如下：

Step1 初始化網(wǎng)絡(luò)，確定網(wǎng)絡(luò)中各條邊的時間阻抗.

Step2 運用Floyd算法計算網(wǎng)絡(luò)中每個出發(fā)地O到每個目的地D之間的最短路徑.

Step3 將O、D之間的OD交通量全部分配到相應(yīng)的最短路徑上.

在對流量進(jìn)行分配時，城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)中的換乘站需要區(qū)別于普通車站.由于換乘站的換乘次數(shù)和換乘時間對出行路徑的選擇有很大的影響，因此對換乘節(jié)點需要進(jìn)行加權(quán).為了恰當(dāng)?shù)靥幚頁Q乘站在網(wǎng)絡(luò)模型中的權(quán)重問題，本文引入換乘邊的概念，如圖1所示，將換乘站拆分為若干個虛擬的站點，分別位于換乘站所處的不同線路上，彼此之間用換乘邊連接，每條換乘邊兩端的兩個站點名稱相同，但是在對網(wǎng)絡(luò)中站點進(jìn)行編號時，站點的編號不同.

圖1 換乘站在網(wǎng)絡(luò)模型中的處理Fig.1 The processing of the transfer station in the network model

1.2 相關(guān)變量定義

1.2.1 城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點流量

在實際的城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)的負(fù)荷為各節(jié)點及各區(qū)間的客流量.因此本文假設(shè)乘客總是選擇出行起點至出行終點的最短路徑來完成出行，定義節(jié)點vi的初始流量Li(0)為所有OD對按照出行路徑最短分配后，經(jīng)過節(jié)點vi的交通量.

式中：Li(0)為節(jié)點的初始流量；lkj為節(jié)點vk與節(jié)點vj路徑上的流量；如果節(jié)點vi在節(jié)點vk與節(jié)點vj路徑上，則=1，否則=0.

1.2.2 城市軌道交通節(jié)點容量

車站客流集散能力是指車站在整體設(shè)備都正常的情況下車站所能通過的最大客流量[8]，本文假設(shè)城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點都存在一定客流承載能力，能力的大小受成本限制，設(shè)計者在前期規(guī)劃設(shè)計軌道交通車站時，根據(jù)預(yù)測的客流量及一定的預(yù)留空間確定車站的規(guī)模，城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的容量是“按需定容”，節(jié)點的容量與節(jié)點的預(yù)測客流量及備用能力系數(shù)有關(guān)，在確定節(jié)點的容量時，假設(shè)節(jié)點的容量與初始流量的關(guān)系為

式中：Ci為節(jié)點vi的容量；α為備用能力系數(shù)，α>0.軌道交通網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點具有基本固定的承載能力，即節(jié)點的容量確定后是不變的.

1.3 流量重分配方法

在城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)中，對于原本需要經(jīng)過失效節(jié)點的乘客，不得不在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生改變后的網(wǎng)絡(luò)中重新選擇1條最短路徑，因此會增加其他路徑上節(jié)點的交通壓力，當(dāng)經(jīng)過某節(jié)點的流量達(dá)到其容量時，則會導(dǎo)致該節(jié)點擁堵“失效”.軌道交通網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點流量過大只會導(dǎo)致乘客經(jīng)過該節(jié)點的擁擠成本增加，乘客經(jīng)過該節(jié)點的綜合阻抗變大，不會導(dǎo)致該節(jié)點完全喪失運輸功能.節(jié)點的綜合阻抗變大通過與該節(jié)點相連接的邊的權(quán)值變大體現(xiàn)，因此本文對此做出改進(jìn)，通過式(3)來表示節(jié)點狀態(tài)變化及相連的邊權(quán)的變化.

式中：eij(t+1)表示與節(jié)點vi相鄰的邊在t+1時刻的邊權(quán)；eij(t)為網(wǎng)絡(luò)中相應(yīng)邊的t時刻的邊權(quán)；β為罰系數(shù)，當(dāng)Li(t)/Ci值小于使網(wǎng)絡(luò)最短路發(fā)生變化的臨界值時，β充分大，邊權(quán)明顯增大，否則，β=1.

節(jié)點阻抗的變化與該節(jié)點的擁擠度相關(guān)，節(jié)點越擁擠，該節(jié)點的綜合阻抗也越大.當(dāng)節(jié)點的失效導(dǎo)致其他節(jié)點擁堵“失效”時，與擁堵失效節(jié)點的相連的邊權(quán)值變大，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中的最短路徑發(fā)生變化，產(chǎn)生新一輪的重新分配，直到?jīng)]有新的失效節(jié)點產(chǎn)生，這個過程才結(jié)束.節(jié)點的“失效”狀態(tài)，分為兩種情況：

(1)由于外界的蓄意破壞或者自身設(shè)備故障導(dǎo)致節(jié)點失效，將該節(jié)點及其相鄰的邊從網(wǎng)絡(luò)中刪除.

(2)因節(jié)點失效導(dǎo)致其他節(jié)點流量超過容量而擁堵“失效”，不將其從網(wǎng)絡(luò)中刪除，而是增大該節(jié)點的阻抗.

網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的狀態(tài)如圖2所示.

圖2 節(jié)點狀態(tài)示意圖Fig.2 Node state schematic diagram

1.4 級聯(lián)失效算法及仿真流程

根據(jù)本文建立的城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型，確定級聯(lián)失效模型算法如下：

Step1 給定城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)，確定網(wǎng)絡(luò)中各邊的邊權(quán)大小，形成無向加權(quán)網(wǎng)絡(luò).

Step2 應(yīng)用Floyd算法找到網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點之間的最短路徑，按照全有全無分配方法將交通需求分配到網(wǎng)絡(luò)中，得到網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點的初始流量和容量.

Step3 令網(wǎng)絡(luò)中某節(jié)點失效，從網(wǎng)絡(luò)中刪除該節(jié)點及其相鄰的邊，形成新的網(wǎng)絡(luò).

Step4 重新計算網(wǎng)絡(luò)的最短路徑集，將交通量分配到網(wǎng)絡(luò)中，得到各節(jié)點的流量，統(tǒng)計當(dāng)前時刻流量大于容量的節(jié)點.

Step5 判斷節(jié)點的狀態(tài)，對于流量大于容量的節(jié)點，根據(jù)式(3)更新網(wǎng)絡(luò)中相應(yīng)邊的權(quán)值大小，確保產(chǎn)生新的“失效”點，形成新的網(wǎng)絡(luò).對于經(jīng)過該“失效”點的OD最短路，重復(fù)Step4直到?jīng)]有新的失效節(jié)點產(chǎn)生，否則失效過程結(jié)束.仿真流程如圖3所示.

1.5 級聯(lián)失效抗毀性評估指標(biāo)

本文綜合考慮了評價指標(biāo)的合理性及計算復(fù)雜程度，選擇從網(wǎng)絡(luò)失效規(guī)模和破壞程度兩個方面來評估級聯(lián)失效對網(wǎng)絡(luò)的影響.

(1)有效節(jié)點比.

有效節(jié)點比是指節(jié)點失效后級聯(lián)失效過程中網(wǎng)絡(luò)的正常狀態(tài)的節(jié)點數(shù)與初始網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)的比值，該指標(biāo)是從網(wǎng)絡(luò)失效規(guī)模方面來評估級聯(lián)失效對網(wǎng)絡(luò)的影響.

式中：Ni為節(jié)點vi失效后級聯(lián)失效過程中網(wǎng)絡(luò)的正常狀態(tài)節(jié)點的數(shù)；N為初始網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)；Z1∈[0,1]，有效節(jié)點比越高，表明網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效抗毀性越強.

圖3 級聯(lián)失效仿真流程Fig.3 Schematic diagram of cascaded failure simulation process

(2)網(wǎng)絡(luò)效率比.

網(wǎng)絡(luò)效率是衡量城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效后破壞程度的一個有效指標(biāo)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點vi和節(jié)點vj之間最短距離的倒數(shù)為兩點之間的效率，在本節(jié)中節(jié)點vi和節(jié)點vj之間最短距離為最小阻抗.對于整個城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)而言，所有節(jié)點對之間的效率平均值為網(wǎng)絡(luò)效率，用E表示，計算公式為

網(wǎng)絡(luò)效率比為級聯(lián)失效過程中的網(wǎng)絡(luò)效率與初始網(wǎng)絡(luò)效率的比值，其計算公式為

式中：Ei為節(jié)點vi失效后級聯(lián)失效過程中的網(wǎng)絡(luò)效率；Z2∈[0,1]，該指標(biāo)值越大，表明網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效抗毀性越強.

2 實證研究

北京地鐵是我國最早的城市軌道交通系統(tǒng)，截止到2017年12月，已開通21條運營線路，共設(shè)置316個車站(換乘站不重復(fù)計算).為模擬北京市城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的級聯(lián)失效過程，構(gòu)建北京市城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)模型如圖4所示.

圖4 北京市軌道交通網(wǎng)絡(luò)模型Fig.4 Urban rail transit network model of Beijing

假設(shè)初始時網(wǎng)絡(luò)中邊的時間阻抗為3 min，換乘邊的時間阻抗為5 min，每個OD對之間產(chǎn)生1個單位的交通量.按照網(wǎng)絡(luò)中任意兩點之間的最短路徑將交通流量分配網(wǎng)絡(luò)中，得到各節(jié)點的初始流量.再通過Matlab編程模擬選擇性失效和隨機性失效兩種失效方式下的級聯(lián)失效過程，得到級聯(lián)失效抗毀性評估指標(biāo).

選擇性失效為移除網(wǎng)絡(luò)中重要度最高且流量最大的西直門節(jié)點，隨機性失效是隨機移除網(wǎng)絡(luò)中某節(jié)點.本文隨機性失效下的網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效抗毀性評價結(jié)果為10次隨機結(jié)果的平均值，隨機移除的節(jié)點分別為永安里、郭公莊、魏公村、萬源街、蓮花橋、成壽寺、東湖渠、來廣營、海淀五路居和次渠，涵蓋了起始站、普通站和換乘站.兩種失效方式下的有效節(jié)點比和網(wǎng)絡(luò)效率比如圖5和圖6所示，其中每次迭代為1次流量重分配.

從圖5和圖6可以看出，當(dāng)備用能力系數(shù)相同時(以0.2為例)，選擇性失效情況下，初始時網(wǎng)絡(luò)的有效節(jié)點比與網(wǎng)絡(luò)效率比下降較快，并隨著迭代次數(shù)的增加逐漸趨于穩(wěn)定.這說明了在節(jié)點失效的初期，由于失效節(jié)點的流量較大，這部分流量的重分配導(dǎo)致較多的節(jié)點發(fā)生了擁堵，使網(wǎng)絡(luò)效率快速下降.在迭代次數(shù)5和6之間，有效節(jié)點比下降，然而網(wǎng)絡(luò)效率趨于穩(wěn)定，表明隨著擁堵的傳播，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中發(fā)生大范圍的擁堵之后，擁堵節(jié)點的增加對網(wǎng)絡(luò)效率不再有明顯的影響，直到級聯(lián)失效過程結(jié)束.在這個過程中，重要度高的節(jié)點失效比隨機選擇節(jié)點失效更容易引發(fā)級聯(lián)失效且對網(wǎng)絡(luò)的影響范圍更廣，對網(wǎng)絡(luò)的整體破壞程度更嚴(yán)重，網(wǎng)絡(luò)在選擇性失效下的級聯(lián)失效抗毀性較弱.

圖5 不同失效方式下有效節(jié)點比Fig.5 The effective node ratio under different failure modes

圖6 不同失效方式下網(wǎng)絡(luò)效率比Fig.6 The network efficiency ratio under different failure modes

相比于選擇性失效，隨機性失效對網(wǎng)絡(luò)的影響程度較小，某些節(jié)點的失效甚至不會引發(fā)級聯(lián)效應(yīng)，原因是北京市軌道交通網(wǎng)絡(luò)中的大部分節(jié)點重要度較低具有較小的流量，隨機性失效大多發(fā)生在這類節(jié)點上，這部分節(jié)點的失效對網(wǎng)絡(luò)其他節(jié)點造成的流量壓力較小，因此不會引發(fā)大規(guī)模的擁堵，網(wǎng)絡(luò)在隨機性失效下的級聯(lián)失效抗毀性較強.

圖7和圖8顯示了選擇性失效情況下，不同的備用能力系數(shù)對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效抗毀性的影響，從圖中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，網(wǎng)絡(luò)的有效節(jié)點比和網(wǎng)絡(luò)效率比隨之降低，且備用能力系數(shù)越小曲線下降越快，表明對網(wǎng)絡(luò)的影響范圍越廣及破壞程度越嚴(yán)重，原因是節(jié)點容量較小時，需要更多的節(jié)點的富余容量分擔(dān)失效節(jié)點的流量，隨著容量的增大，剩余節(jié)點的分擔(dān)能力也隨之增大，節(jié)點失效對網(wǎng)絡(luò)的影響范圍也就越小.

圖7 不同備用能力系數(shù)下的有效節(jié)點比Fig.7 The effective node ratio under different reserve capacity coefficients

圖8 不同備用能力系數(shù)下的網(wǎng)絡(luò)效率比Fig.8 The network efficiency ratio under different reserve capacity coefficients

從圖7和圖8可以看出，當(dāng)備用能力系數(shù)α為0.5時，網(wǎng)絡(luò)的有效節(jié)點與網(wǎng)絡(luò)效率比在級聯(lián)失效傳播初期明顯高于其他備用能力系數(shù)下的有效節(jié)點比與網(wǎng)絡(luò)效率比.因此在對軌道交通改擴建時，可適當(dāng)增加網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵節(jié)點及關(guān)鍵節(jié)點失效后容易引發(fā)擁堵的節(jié)點的容量，在級聯(lián)失效初期有效減少擁堵節(jié)點，以減小級聯(lián)失效影響范圍.此外，在級聯(lián)失效傳播后期，不同備用能力系數(shù)下的網(wǎng)絡(luò)效率比逐漸趨于穩(wěn)定，且當(dāng)備用能力增大時，網(wǎng)絡(luò)效率比沒有明顯提高，這表明當(dāng)節(jié)點失效時，越早采取應(yīng)急措施對減小級聯(lián)失效的影響程度效果越顯著，當(dāng)擁堵增大一定范圍時，網(wǎng)絡(luò)容量的增加不能明顯提高網(wǎng)絡(luò)效率.圖中更加直觀、具體量化了選擇性失效情況中有效節(jié)點比和效率比的各個趨勢，有助于為實際運營過程中軌道交通網(wǎng)絡(luò)的合理規(guī)劃，以及應(yīng)急方案的制定提供更詳細(xì)、更客觀、更有效的參考意義.因此在軌道交通網(wǎng)絡(luò)實際運營過程中，應(yīng)及時響應(yīng)應(yīng)急方案并準(zhǔn)確定位擁堵節(jié)點，降低網(wǎng)絡(luò)受影響程度，提高網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效抗毀性.

3 結(jié)論

本文結(jié)合軌道交通特性，建立了城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型，確定了交通流分配方法，對模型中的變量做出了定義，確立了節(jié)點失效下的流量重分配方法，并對北京市城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)不同失效方式下的級聯(lián)失效過程進(jìn)行了仿真.結(jié)果表明，當(dāng)北京軌道交通網(wǎng)絡(luò)某些重要度高的節(jié)點失效時，網(wǎng)絡(luò)的有效節(jié)點比及網(wǎng)絡(luò)效率比在級聯(lián)失效過程中下降較快，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性較弱，對于節(jié)點隨機性失效，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性較強.同時通過比較分析發(fā)現(xiàn)，在級聯(lián)失效傳播初期，網(wǎng)絡(luò)容量的增大能較為明顯的減小級聯(lián)失效影響范圍，當(dāng)擁堵增大一定范圍時，網(wǎng)絡(luò)容量的增加不能明顯提高網(wǎng)絡(luò)效率.