◎康海芯
代數(shù)式是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,也是各地中考命題的必考知識(shí).整式的有關(guān)概念、求代數(shù)式的值、整式的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí),在試卷中通常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),試題比較簡(jiǎn)單,分值占全卷的3%左右;其中整式的加減、整式的規(guī)律探究等知識(shí)仍然是考查的重點(diǎn),且背景新穎,通常以解答題的形式出現(xiàn),分值占全卷的5%左右.為幫助大家掌握代數(shù)式的有關(guān)考點(diǎn),本文將結(jié)合2018年中考題加以分析,供同學(xué)們參考.
例1(2018·廣西桂林)用代數(shù)式表示:a的2倍與3的和,下列表示正確的是( ).
A.2a-3 B.2a+3
C.2(a-3) D.2(a+3)
【分析】a的2倍就是2a,與3的和就是2a+3,根據(jù)題目中的運(yùn)算順序就可以列出式子,從而得出結(jié)論.
解:a的2倍與3的和可表示為:2a+3,故應(yīng)選B.
【點(diǎn)評(píng)】列代數(shù)式時(shí),要正確理解和、差、積、平方和、立方差等運(yùn)算關(guān)鍵詞的含義.
例2(2018·湖南岳陽)已知a2+2a=1,則3(a2+2a)+2的值為________.
【分析】將a2+2a=1整體代入所求代數(shù)式求值即可.
解:因?yàn)閍2+2a=1,
所以3(a2+2a)+2=3×1+2=5.
【點(diǎn)評(píng)】用整體思想解數(shù)學(xué)題,可使復(fù)雜的問題變簡(jiǎn)單,陌生的問題變熟悉,還往往使常規(guī)方法不易求解的問題得到解決.
例3(1)(2018·湖北荊州)下列代數(shù)式中,是整式的為( ).
(2)(2018·湖南株洲)單項(xiàng)式5mn2的次數(shù)是_______.
【分析】(1)根據(jù)整式的概念,B、C、D都不符合要求,只有選項(xiàng)A符合題意;(2)因?yàn)閙的指數(shù)是1,n的指數(shù)是2,所以單項(xiàng)式5mn2的次數(shù)是2+1=3.
解:(1)A;(2)3.
【點(diǎn)評(píng)】判定整式的關(guān)鍵是理解整式的有關(guān)概念及其分類.單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù);幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式;單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).
例4(2018·內(nèi)蒙古包頭)如果2xa+1y與x2yb-1是同類項(xiàng),那么的值是( ).
【分析】利用同類項(xiàng)的定義:字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同,求出a、b的值,然后代入求值.
解:根據(jù)同類項(xiàng)的特征可
【點(diǎn)評(píng)】判定兩個(gè)單項(xiàng)式是否為同類項(xiàng),主要從兩個(gè)方面考慮:(1)兩個(gè)相同——字母相同,相同字母的指數(shù)也相同;(2)兩個(gè)無關(guān)——與系數(shù)無關(guān),與字母順序無關(guān).同時(shí)所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).
例5 (2018·江蘇常州)下面是按一定規(guī)律排列的代數(shù)式:a2,3a4,5a6,7a8……則第8個(gè)代數(shù)式是_______.
【分析】觀察每個(gè)代數(shù)式的系數(shù)和字母部分,發(fā)現(xiàn)系數(shù)表示的是連續(xù)奇數(shù),字母部分表示的是a的連續(xù)偶數(shù)次冪,再將n=8代入計(jì)算即可求解.
解:觀察該組數(shù)發(fā)現(xiàn),單項(xiàng)式的系數(shù)為1,3,5,7……第n個(gè)數(shù)為2n-1;字母部分為a2,a4,a6,a8……第n個(gè)數(shù)為a2n,則第n個(gè)代數(shù)式為(2n-1)a2n.當(dāng)n=8時(shí),即第8個(gè)代數(shù)式為15a16.
【點(diǎn)評(píng)】解決數(shù)字變化規(guī)律的問題一般從特殊情形出發(fā),通過觀察分析數(shù)字之間的內(nèi)在聯(lián)系,歸納得出數(shù)字之間的規(guī)律(一般用“序數(shù)的代數(shù)式”來表示),并采用適當(dāng)?shù)姆椒?yàn)證結(jié)論.已知序數(shù)求規(guī)律中的數(shù)也就是求“序數(shù)的代數(shù)式”的值,已知規(guī)律中的數(shù)求序數(shù)一般根據(jù)“序數(shù)的代數(shù)式”的值列方程來解決問題.
例6 (2018·湖北武漢)將正整數(shù)1至2018按一定規(guī)律排列如下表:____________
__________________23 7____8 1_______9_1____7_2____5__________________________…10___18___26___11 19_27_____15___23___31___16_24_32_
平移表中帶陰影的方框,方框中三個(gè)數(shù)的和可能是( ).
A.2019 B.2018 C.2016 D.2013
【分析】相鄰三個(gè)整數(shù)的和是3的倍數(shù),所以給出的選項(xiàng)不是3的倍數(shù)的就不符合題意;表格中每一行8個(gè)數(shù),用所給選項(xiàng)除以3,再除以8,根據(jù)余數(shù)判斷平移后的三個(gè)數(shù)是否在一行,在一行的符合題意,得出答案.
解:設(shè)中間的數(shù)為x,則這三個(gè)數(shù)分別為x-1,x,x+1.而x-1+x+x+1=3x,三數(shù)之和是3的倍數(shù),則B選項(xiàng)可排除.又2019÷3=673,673除以8的余數(shù)為1,所以x在第1列(舍去);2016÷3=672,672除以8的余數(shù)為0,所以x在第8列(舍去);2013÷3=671,671除以8的余數(shù)為7,所以x在第7列,所以這三數(shù)的和是2013.故選D.
【點(diǎn)評(píng)】解答表格規(guī)律探究題時(shí),要注意尋找各部分之間的聯(lián)系,找到一般規(guī)律并用字母表示出來.
(2)他媽媽說:“你猜錯(cuò)了,我看到該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果是常數(shù).”通過計(jì)算說明原題中“”是幾?
【分析】(1)利用兩個(gè)多項(xiàng)式相加的法則進(jìn)行化簡(jiǎn).(2)結(jié)果是常數(shù),說明兩個(gè)多項(xiàng)式中非常數(shù)項(xiàng)的同類項(xiàng)的符號(hào)互為相反數(shù).
解:(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)=3x2+6x+8-6x-5x2-2=-2x2+6;
則原式=(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)=ax2+6x+8-6x-5x2-2=(a-5)x2+6,
∵標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果是常數(shù),∴a-5=0,解得:a=5.
【點(diǎn)評(píng)】解答整式化簡(jiǎn)求值問題的關(guān)鍵是要牢記運(yùn)算法則和運(yùn)算順序,并能靈活應(yīng)用.