嚴(yán)運(yùn)華

2018年全國高考數(shù)學(xué)I卷文科第20題為：設(shè)拋物線C：y2=2x，點(diǎn)A（2， 0），B（-2， 0），過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn).（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；（2）證明：∠ABM=∠ABN.

2018年全國高考數(shù)學(xué)I卷理科第19題為：設(shè)橢圓C： +y2=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2， 0）.（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；（2）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

以上兩道試題，無論題設(shè)條件，還是問題結(jié)論，都具有極大的相似性，只是曲線的形狀不同. 兩道試題蘊(yùn)含的本質(zhì)如何？有怎樣的聯(lián)系？

對于上述文科卷試題的第二個(gè)問題，可分別抽象出一般結(jié)論：

命題1：設(shè)拋物線C：y2=2px，點(diǎn)A（2p， 0），B（-2p， 0），過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn). 則直線BN、BM與x軸成等角.

證明：顯然，直線l不與x軸重合，設(shè)直線l的方程為x=ty+2p，

聯(lián)立拋物線方程得y2-2pty-4p2=0，

設(shè)M（x1， y1），N（x2， y2），則y1+y2=2pt，y1y2=-4p2，

設(shè)直線BM和直線BN的斜率分別為kBM，kBN，

則kBM+kBN= + =

，

而x1=ty1+2p，x2=ty2+2p，代入上式得kBM+kBN= ，

將y1+y2=2pt，y1y2=-4p2代入上式得kBM+kBN=0，則∠ABM=∠ABN；

故直線BN、BM與x軸成等角.

若發(fā)現(xiàn)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為零，可得出以下一般結(jié)論：

命題2：設(shè)拋物線C：y2=2px，點(diǎn)

A（m， 0），B（-m， 0）（m≠0），過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn). 則直線BN、BM與x軸成等角.

證明：顯然，直線l不與x軸重合，設(shè)直線l的方程為，x=ty+m，

聯(lián)立拋物線方程得y2-2pty-2pm=0，設(shè)M（x1， y1），N（x2， y2），

則y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，設(shè)直線BM和直線BN的斜率分別為kBM，kBN，

則kBM+kBN= + =

，

而x1=ty1+m，x2=ty2+m，代入上式得kBM+kBN= ，

將y1+y2=2pt，y1y2=-2pm代入上式得kBM+kBN=0，則∠ABM=∠ABN，

故直線BN、BM與x軸成等角.

對于其他形式的拋物線，亦有類似結(jié)論：

命題3：設(shè)拋物線C：x2=2py，點(diǎn) A（0， m），B（0， -m）（m≠0），過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn). 則直線BN、BM與y軸成等角.

證明過程類似，此處不再詳述.

對于今年全國高考數(shù)學(xué)理科卷第19題的第二個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M恰好是橢圓準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，于是可以得出如下結(jié)論：

命題4：過橢圓C： + =1的右焦點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（ ， 0）. 其中c為C： + =1的焦半距，則直線MA、MB與x軸成等角.

證明：當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，結(jié)論顯然成立；

當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=my+c，

聯(lián)立橢圓方程得（b2m2+a2）y2+2b2mcy-b4=0，

設(shè)A（x1， y1），B（x2， y2），則y1+y2=

- ，y1y2=- ，

設(shè)直線MA和MB的斜率分別為kMA， kMB，

則kMA+kMB= + =

，

因此kMA+kMB= ，

將y1+y2=- ，y1y2=- ，代入上式得kBM+kAM=0，

故直線MA、MB與x軸成等角.

再探究發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)F和點(diǎn)M的橫坐標(biāo)之積為a2，于是可將命題3進(jìn)一步拓展為：

命題5：設(shè)橢圓C： + =1，過點(diǎn) N（n， 0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（m， 0）. 且mn=a2，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線MA、MB與x軸成等角.

證明：當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，結(jié)論顯然成立；

當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=ty+n，

聯(lián)立橢圓方程得（b2t2+a2）y2+2b2tny+b2n2-a2b2=0，

設(shè)A（x1， y1），B（x2， y2），則y1+y2=

- ，y1y2=- ，

設(shè)直線MA和MB的斜率分別為kMA， kMB，

則kMA+kMB= + =

，

因此kMA+kMB= ，

由y1+y2=- ，y1y2= 得

2ty1y2+（n-m）（y1+y2）= - = ，

又mn=a2，代入上式得kMA+kMB=0，故直線MA、MB與x軸成等角.

將橢圓的相關(guān)結(jié)論推廣到雙曲線，則有：

命題6：設(shè)雙曲線C： - =1，過點(diǎn)N（n， 0）的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（m， 0）. 且mn=a2，則直線MA與MB與x軸成等角.

證明方法與命題5類似，此處不再詳述.

將命題2、命題5、命題6整合后可統(tǒng)一成如下命題：

命題7：設(shè)M、N是圓錐曲線C的一對“等角點(diǎn)”，過點(diǎn)N的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，則直線MA與MB與x成等角.

若圓錐曲線C為拋物線y2=2px，則兩“等角點(diǎn)”的坐標(biāo)分別為 M（m， 0），N（n， 0），其中m+n=0，且m≠0.

若圓錐曲線C為橢圓 + =1或雙曲線 - =1，則兩“等角點(diǎn)”的坐標(biāo)分別為M（m， 0），N（n， 0），其中mn=a2.

顯然，2018年高考數(shù)學(xué)的兩道解析幾何試題就是命題7的具體呈現(xiàn)形式. 近年全國高考數(shù)學(xué)常以上述結(jié)論為背景命題，如2015年全國高考數(shù)學(xué)理科試題第20題：

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y= 與直線y=kx+a（a>0）交于M，N兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

這其中的第二個(gè)問題，就是命題3的特例.

由此可見，2018年高考數(shù)學(xué)文科卷、理科卷的兩道解析幾何的源頭相同，有著相同的根，只是呈現(xiàn)的形式不同. 文科卷試題以拋物線為背景，運(yùn)算過程較簡潔；理科卷的試題以橢圓為背景，運(yùn)算過程比拋物線稍復(fù)雜. 通過設(shè)置的位置和運(yùn)算過程的繁簡程度來實(shí)現(xiàn)文科與理科數(shù)學(xué)的區(qū)別. 事實(shí)上，不僅是解析幾何試題有此特點(diǎn)，其他內(nèi)容如函數(shù)試題等也是按此思路來命題.

注：本文是廣東省教育科研“十三五”規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)及評(píng)價(jià)研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：2017YQJK023）的階段性成果.

責(zé)任編輯 羅 峰