林 立，彭正苗，萬炳呈，石書琪，陳紅專，陳鴻蔚

(1.邵陽學院 多電源地區(qū)電網(wǎng)運行與控制湖南省重點實驗室，湖南 邵陽，422000；(2.湖南耐為電控技術有限公司，湖南 長沙，410000；(3.邵陽市電機廠有限公司，湖南 邵陽，422000；(4.湘潭電機集團有限公司，湖南 湘潭，411100)

雙三相永磁同步電機具有轉矩脈動小、低壓大功率、容錯能力強等突出優(yōu)點，在全電飛機、艦船電力推進、電動汽車、風力發(fā)電等領域具有廣泛的應用前景，因此成為目前的研究熱點，備受廣大學者的青睞[1-10]。文章應用雙d-q變換方法與矢量空間解耦變換方法建立雙三相永磁同步電機數(shù)學模型，并進行了仿真建模，對其應用于電動汽車上實現(xiàn)高性能控制具有重要意義。

1 雙三相永磁同步電機數(shù)學模型

相移30°雙三相永磁同步電機結構如圖1所示，具有A、B、C，X、Y、Z兩套Y型三相定子繞組，兩套繞組相距30°電角度。uA、uB、uC、uX、uY、uZ、iA、iB、iC、iX、iY、iZ分別為ABCXYZ六相定子相電壓、定子相電流，ωe為電角速度。雙三相永磁同步電機具有單三相和雙三相疊加兩種供電模式，其中單三相供電模式與傳統(tǒng)三相永磁同步電機一致。在雙三相供電模式下，電機的兩套空間相差30°電角度的三相繞組分別供給對應時間相差30°的三相交流電源[6-11]。

圖1 雙三相永磁同步電機結構圖Fig.1 A schematic diagram of the geometry of a dual three-phase permanent magnet synchronous motor

1.1 自然坐標系下數(shù)學模型

為簡化雙三相永磁同步電機的數(shù)學模型，假設：1)氣隙磁場正弦分布；2)忽略鐵芯磁飽和效應、集膚效應以及渦流和磁滯損耗；3)忽略繞組間互漏感；4)轉子上沒有阻尼繞組。

根據(jù)圖1與電機及電磁理論可得雙三相永磁同步電機自然坐標下的數(shù)學模型為：

電壓方程：

(1)

磁鏈方程：

ψs=Lsis+γsψfd

(2)

式中：

us=[uAuBuCuXuYuZ]T

is=[iAiBiCiXiYiZ]T

ψs=[ψAψBψCψXψYψZ]T

Rs=diag[RsRsRsRsRsRs]

γs=[sinθsin(θ-2π/3) sin(θ+2π/3) sin(θ-π/6) sin(θ-5π/6) sin(θ+π/2)]T

其中：us為定子相電壓矢量；is為定子相電流矢量；ψs為定子磁鏈矢量；Rs為電阻系數(shù)矩陣；Ls為電感系數(shù)矩陣；γs為磁鏈系數(shù)矩陣；ψfd為磁鏈幅值；θ為轉子磁極與A相繞組軸線電角度夾角；L11為第一套繞組自感和互感；L22為第二套繞組自感和互感；M12、M21為第一套繞組與第二套繞組之間互感，并且M12=M21。

L11與三相永磁同步電機電感系數(shù)矩陣一樣，L11為

其中：Laal為漏自感；I3為三階單位矩陣；Laad、Laaq分別為繞組d軸、q軸主自感。

M12、M21為

L22為

電磁轉矩：

(3)

運動方程：

(4)

式中：J為轉動慣量；ωm為機械角速度；TL為負載轉矩；B為阻尼系數(shù)。

從式(1)-(4)可知，雙三相永磁同步電機是一個高價、多變量、強耦合的非線性系統(tǒng)，難以實施有效控制。為簡化其數(shù)學模型，便于控制，分析雙d-q變換和矢量空間解耦變換兩種簡易建模方法。

1.2 雙d-q變換數(shù)學模型

將雙三相永磁同步電機每一套三相繞組看成是一個基本單元，采用傳統(tǒng)三相電機建模方法，分別對其進行建模。雙d-q坐標變換如圖2所示，兩套三相繞組clarke變換，分別得到兩相靜止坐標下數(shù)學模型，采用轉子磁鏈定向，對其進行park變換得到兩相旋轉坐標系下數(shù)學模型，其中第一套繞組A相與轉子磁鏈夾角為θ，第二套繞組X相與轉子磁鏈夾角為θ-π/6。

第一套繞組坐標變換

第二套繞組坐標變換

兩套繞組clarke坐標變換矩陣Tαβ1，Tαβ2為

(5)

兩套繞組park坐標變換矩陣Tdq1，Tdq2為

(6)

(7)

將兩套繞組Clarke-Park變換陣組合為

(8)

式中：

將變換陣P代入原始方程中，可以得到每套繞d-q坐標系下的電壓和磁鏈方程。

電壓方程：

(9)

磁鏈方程：

(10)

式中：Ld=1.5Laad+Laal，Lq=1.5Laaq+Laal，Ldd=1.5Laad，Lqq=1.5Laaq。

電磁轉矩：

(11)

運動方程：

(12)

將磁鏈方程(10)代入電壓方程(9)中，寫成以電流為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，即兩套繞組在d-q坐標系下電壓和電流的關系，表達式為

(13)

式中：

從式(9)-(12)可知，雙三相永磁同步電機經(jīng)雙d-q變換矩陣變換后，其數(shù)學模型得到簡化，從磁鏈方程可知，兩套繞組磁鏈仍存在耦合。

1.3 矢量空間解耦變換的數(shù)學模型

將雙三相電機看成一個整體，采用矢量空間解耦坐標變換，可將雙三相永磁同步電機各變量映射到α-β、z1-z2、o1-o2三個相互正交平面。坐標變換陣為

(14)

由于機電能量轉換只發(fā)生在α-β平面中，為了便于電機控制，將α-β平面上各變量進行park變換，得到旋轉坐標系下方程，z1-z2、o1-o2平面保持不變，則變化矩陣Tdq為

(15)

總變化矩陣Tr=Tdq·Ts為

(16)

將變換陣Tr代入原始方程中，可以得到α-β平面上d-q坐標系與z1-z2平面上的電壓和磁鏈方程，各變量完全解耦，如圖3所示。

d-q坐標系

z1-z2平面坐標系

由于o1-o2零序分量平面各變量都為零，因此可以把該平面變量去掉，電壓方程為

(17)

磁鏈方程：

(18)

轉矩方程：

Te=3np(iqψd-idψq)

(19)

運動方程：

(20)

式中：LD=3Laad+Laal；LQ=3Laaq+Laal；Lz=Laal。

從方程(17)-(20)可知，矢量空間解耦變換建模使雙三相永磁同步電機數(shù)學模型得到簡化，實現(xiàn)磁鏈完全解耦，并且把電機中6k±1(k=1,3,5…)次諧波映射到z1-z2平面，便于對諧波的控制，降低電機損耗[17]。

2 雙三相永磁同步電機仿真模型

根據(jù)雙三相永磁同步電機雙d-q變換數(shù)學模型式(9)-(11)與空間矢量解耦變換數(shù)學模型式(17)-(20)，在Matlab/Simulink環(huán)境下建立雙三相永磁同步電機兩種仿真模型，如圖4和圖5所示。

圖4 雙d-q變換仿真模型Fig.4 A simulation model of dual d-q transformation

圖5 矢量空間解耦變換仿真模型Fig.5 A simulation model of vector space decoupling transformation

電機仿真參數(shù)為：np=3；Rs=1.4Ω；Laad=Laaq=1.6mH；Laal=2.4mH；ψfd=0.68Wb；轉動慣量J=0.015kg·m2；阻尼系數(shù)為：B=0.008。負載轉矩TL=50N·m，電壓幅值為311V，頻率為50Hz，在兩種仿真模型上分別給雙三相電源信號，仿真結果如圖6和圖7所示。從圖6和圖7中可以看出電機穩(wěn)定運行時電磁轉矩為50N·m、轉速為1000r/min，分別與給定的負載轉矩和相應頻率對應的轉速一致，模型建立是正確的。兩種仿真模型得到的電流、轉矩、速度響應曲線一致，可知確定兩種模型是等價的。

(a)相電流

(a)相電流

(b)轉矩

(b)轉矩

(c)轉速圖6 雙d-q變換模型響應曲線圖Fig.6 Response curve of a dual d-q transform model

(c)轉速圖7 矢量空間解耦變換模型響應曲線圖Fig.7 Response curve of a vector space decoupling transformation model

3 總結

文中闡述了雙三相永磁同步電機自然坐標系下的數(shù)學模型與雙d-q坐標變換、矢量空間解耦變換兩種旋轉坐標系下的數(shù)學模型，并在Matlab/Simulink環(huán)境中搭建了基于雙d-q坐標變換與矢量空間解耦變換的仿真模型，仿真結果驗證了所建模型的正確性。并且兩種模型的電流、轉矩、速度響應曲線一致，從而可確定兩種模型是等價的，為研究安全、可靠、舒適的電動汽車高性能控制奠定了基礎。