☉湖南省長沙長郡梅溪湖中學 王 靜

☉湖南省長沙一中岳麓中學 段有強

一、問題的提出

近年來，隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深化，人們越來越關(guān)注學生素質(zhì)的培養(yǎng).就數(shù)學學科而言，有關(guān)數(shù)學核心素養(yǎng)的問題引起了廣泛的討論和研究.馬云鵬教授認為：《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確提出了十個核心素養(yǎng)，即數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.這十個核心素養(yǎng)涉及學生在學習數(shù)學的過程中應(yīng)該建立和培養(yǎng)的關(guān)于數(shù)學的觀念、意識、思維和能力等，也是義務(wù)教育階段數(shù)學課程最應(yīng)該培養(yǎng)的數(shù)學素養(yǎng).本文中，筆者將以2018年湖南省長沙市中考數(shù)學第25題為例，談?wù)勚锌紝?shù)學核心素養(yǎng)的考查，以及在平時的教學中對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略.

二、基于數(shù)學核心素養(yǎng)的試題分析

1.真題再現(xiàn)

圖1

（1）求∠OCD的度數(shù).

（2）當m=3，1＜x＜3時，存在點M，使得△OPM △OCP，求此時點M的坐標.

（3）當m=5時，矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1？請說明你的理由.

2.試題的命題立意分析及對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查

這道題是2018年湖南省長沙市中考數(shù)學第25題，是一道反比例函數(shù)的綜合題.它重點考查學生對反比例函數(shù)、相似三角形、動點面積問題和其他有關(guān)三角形面積公式、一元二次方程的解法等具體知識的掌握情況，以及對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的理解和應(yīng)用情況.整體而言，此題知識覆蓋面廣，難度中等偏上，方法多種多樣，對考生思維的靈活性有較高要求.在數(shù)學核心素養(yǎng)的考查上，此題著重考查符號意識、幾何直觀、推理能力和運算能力等方面，同時兼顧對數(shù)學建模能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的考查.

3.問題分析、解法分析及學生答題分析

第（1）問之問題分析：

求什么？——求∠OCD的度數(shù).

有哪些方法可以用？——求出Rt△OCD的三邊，判斷三角形的形狀，或者通過求∠OCD的三角函數(shù)值求角度.

第（1）問之解法分析：

方法1：設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0）.

所以∠OCD=45°.

第（1）問之學生答題分析：

第（1）問的難度不大，先求出直線的解析式，再求出C、D兩點的坐標，最后得出等腰三角形，或者用三角函

所以直線PQ的解析式為y=-x+m+1.

所以點D（0，m+1）、C（m+1，0），OC=OD=m+1.

所以△OCD為等腰直角三角形，則∠OCD=45°.

方法2：同方法1可得OC=OD=m+1.

因為∠COD=90°，所以tan∠OCD=數(shù)求角度.但有很多學生思路是對的，但仍無法完全做對，究其原因，主要是這些學生在利用含有參數(shù)m的P、Q兩點的坐標求直線解析式的運算中出現(xiàn)問題.在數(shù)學核心素養(yǎng)的考查上，此問著重考查符號意識、運算能力等方面，同時兼顧對推理能力、模型思想的考查.

第（2）問之問題分析：

求什么？——求點M的坐標.

有哪些方法可以用？——利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出與M有關(guān)的線段長度，再根據(jù)兩點之間距離公式求M的坐標，或者利用相似三角形面積比等于相似比的平方，通過面積解決.

第（2）問之解法分析：

當m=3，1＜x＜3時，點P（3，1）、C（4，0），CP=，OP=，OC=4.

方法1：由上得OP2=OC·OM.

即（4x2-9）（x2-4）=0.

又因為1＜x＜3，所以x=2，

方法3：當m=3，1＜x＜3時，點P（3，1）、C（4，0）.

△OCP△OPM

12

又因為1＜x＜3，所以x=2.

第（2）問之學生答題分析：

第（2）問主要是對相似三角形的考查，其中最大的失分點在于兩個M點的取舍，有的學生僅考慮了1＜x＜3這個條件，從而沒有舍去M （， 2 ）這個點.第（2）問的方法2對于M點的取舍較易，但是在解方程組的時候，計算量相對較大，對學生的計算能力要求較高.此外，方程也是數(shù)學模型，因此方法2涉及數(shù)學建模能力的考查.事實上，從對數(shù)學模型的廣義理解來看，中考數(shù)學綜合題常常涉及對學生建模能力的考查.第（2）問的方法3有少量學生用到，主要利用兩個相似的三角形面積比等于相似比的平方，計算量不大，而且對于M點的取舍較易，是一種不錯的方法.

第（3）問之問題分析：

求什么？——求矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1，關(guān)鍵是求出重疊部分的面積表達式.

有哪些方法可以用？——分類討論，根據(jù)重疊部分的圖形，利用割補法、三角形面積公式等工具求出面積表達式，或者利用反比例函數(shù)的幾何意義判斷.

第（3）問之解法分析：

不能.理由如下.

當m=5時，P（5，1），Q（1，5）.

①當1＜x＜5時，如圖2.

圖2

化簡得x4-9x2+25=0.

令t=x2，則t2-9t+25=0.

由于Δ=81-100=-19＜0，此方程無解，所以不可能有S=4.1.

方法2：因為4，所以不可能有S=4.1.

②當0＜x≤1時，如圖2中，

方法1：如圖3，記MA與OQ交于點G，與OP交于點H.

因為0＜x≤1，所以無解，所以此時不可能有S=4.1.

圖3

方法2：如圖3，記MA與OQ交于點G，與OP交于點H.

此時不可能有S=4.1.

方法3：由幾何意義得：

此時不可能有S=4.1.

③當x≥5時，如圖4，記BN分別與OQ交于點S，與OP交于點T，

因為x≥5，所以無解.

所以此時不可能有S=4.1.

圖4

此時不可能有S=4.1.

綜上所述，矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積不可能等于4.1.

第（3）問之學生答題分析：

第三問主要考查動點形成的重疊部分的面積和分類討論思想，這一問最大的失分點在于因題目給出的是1＜x＜5時的圖，很多學生沒有考慮0＜x≤1和x≥5這兩種情況.當1＜x＜5時，重疊部分是一個四邊形，由于該四邊形不是特殊的四邊形，所以用割補法求面積比較簡單，得到面積表達式后，大部分學生會采取方法1，令面積等于4.1，此時通過化簡會得到一個一元四次方程，處理高次方程對初中生而言還是有一定難度的.至于方法2，利用配方法來確定S的最大值，從閱卷情況來看只有極少數(shù)考生采取這個方法.值得一提的是，在0＜x≤1和x≥5這兩種情況中，由于形成的重疊部分是三角形，可以采取方法3利用反比例函數(shù)的幾何意義解決.這一問對學生的綜合能力要求比較高，由動點形成的面積問題本就使學生難以理解和掌握，學生在平時的學習中要注重數(shù)學思維方法的培養(yǎng)，如分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等.另外，運算能力往往也是中考數(shù)學綜合題的重點考查目標之一.

三、數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

1.創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)數(shù)學意識

數(shù)學核心素養(yǎng)不是獨立于數(shù)學知識、數(shù)學技能以外的“概念”，它是一種綜合性的數(shù)學能力，這種綜合性的能力能夠幫助學生解決數(shù)學學習中的實際問題.因此，教師不能單純采用講授的方式培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，而要把“抽象的數(shù)學知識”轉(zhuǎn)向“合適情境”，讓學生在合適的具體情境中掌握知識，利用掌握的知識解決實際問題，讓學生感覺“數(shù)學源于現(xiàn)實，寓于現(xiàn)實，用于現(xiàn)實”.另外，創(chuàng)設(shè)的問題情境要從學生原有的認知基礎(chǔ)出發(fā)，讓學生親身感受知識的發(fā)生、發(fā)展過程，引導學生進行新知識和舊知識之間的對比.

2.創(chuàng)建合作探究模式，培養(yǎng)自主學習能力

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出：“學生學習應(yīng)當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數(shù)學的重要方式.”合作學習是一種富有成效的、積極有效的學習方式，能夠培養(yǎng)學生的團隊合作意識，增加師生的溝通交流，提高學生解決數(shù)學問題的能力.因此，小組合作學習的方式越來越普遍地引入課堂，合作交流成為了學生學習的重要方式.

為了保證小組合作的有效性，教師在教學組織過程中，應(yīng)該合理分組，“組內(nèi)異質(zhì)，組間同質(zhì)，優(yōu)勢互補”是合作小組建組的基本原則.小組成立后，要真正發(fā)揮合作小組的功效，還必須對小組成員進行分工.每個小組成員要承擔不同的角色，常見的有領(lǐng)導者、激勵者、記錄者、報告者四種類型，每個角色有著不同的任務(wù)，培養(yǎng)著學生不同的能力.當然，小組合作學習進行一段時間后，角色應(yīng)該互換，這樣使每個學生都能積極參與，又能使每個學生都有機會展示自己，促進學生多方面的發(fā)展.在小組合作學習中，選擇合適的內(nèi)容，把握好時機，給足合作討論的時間，是保證小組合作學習成效的關(guān)鍵.在進行小組合作學習時，要根據(jù)教學內(nèi)容和學生的實際情況把握恰當?shù)臅r機進行，這樣才能取得最大的成效.另外，合作學習的內(nèi)容應(yīng)該體現(xiàn)學生的“最近發(fā)展區(qū)”，是學生“跳一跳能夠摘下的果子”.有效的小組合作學習，能夠培養(yǎng)學生的自主學習能力和創(chuàng)新意識，是培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑.

3.依托數(shù)學活動，培養(yǎng)探究能力

素養(yǎng)是一種在過程中形成的習慣，數(shù)學素養(yǎng)的形成需要以數(shù)學活動為載體，學生只有經(jīng)歷了運用數(shù)學知識解決問題的數(shù)學活動過程后，才能感悟數(shù)學思想、積累數(shù)學思維經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).由此可見，數(shù)學活動在教學過程中的重要性，這也就要求教師精心選擇學習素材，設(shè)計豐富的教學活動，讓學生在體驗數(shù)學活動的過程中，不斷地去觀察，去感受，去類比發(fā)現(xiàn)，去總結(jié)，最終實現(xiàn)培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目的.

4.設(shè)置提問環(huán)節(jié)，培養(yǎng)質(zhì)疑精神

提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，而創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，也是教育的基本任務(wù)和終極目標.創(chuàng)新意識也是初中數(shù)學核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，教師要鼓勵學生多思考，多提問，多質(zhì)疑，勇于發(fā)表自己的見解，培養(yǎng)學生思維的求異性.在數(shù)學新知內(nèi)容講解后，可以設(shè)置一個提問環(huán)節(jié)，教師對于學生所提出的質(zhì)疑要加以引導，幫助學生探索解決問題的方法，鍛煉他們的數(shù)學思維能力，讓他們將這種“思維形式”內(nèi)化為自己的“思維習慣”，從而教會學生進行數(shù)學思考，形成數(shù)學思維，形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

5.強化數(shù)學文化熏陶，培養(yǎng)數(shù)學思想方法

在課程改革的大背景下，強調(diào)數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而將數(shù)學文化融入數(shù)學課堂，用數(shù)學文化潤澤數(shù)學課堂，是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑.數(shù)學文化滲透于數(shù)學課堂主要是指數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學應(yīng)用、數(shù)學思想方法等的應(yīng)用.數(shù)學文化可以滲透到數(shù)學教學的各個環(huán)節(jié)，并發(fā)揮重要的作用.比如，在進行勾股定理的新課講授時，可以在創(chuàng)設(shè)情境和新知學習環(huán)節(jié)中引入數(shù)學史，讓學生了解歷史上勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明方法，這樣可以提高學生學習數(shù)學的興趣，豐富學生的數(shù)學文化知識，也能拓展學生的思維.在講授軸對稱、旋轉(zhuǎn)等內(nèi)容時，可以通過圖片和視頻等多媒體讓學生欣賞數(shù)學美，陶冶情操，體會數(shù)學與實際生活的聯(lián)系等.