☉上海市嶺南中學(xué) 劉華為

☉上海市靜安區(qū)教育學(xué)院 程 慧

每學(xué)年末，靜安區(qū)都要對八年級進行一次全區(qū)質(zhì)量調(diào)研，主要意義有二：一方面，對初中前三年（六、七、八年級）綜合教學(xué)效果進行評估；另一方面，為九年級教學(xué)提供必要的數(shù)據(jù)分析與指導(dǎo)策略.因此，命題的基本原則是“注重基礎(chǔ)知識考查的同時兼顧引導(dǎo)教師強化對學(xué)生發(fā)展性學(xué)力的培養(yǎng)”，即所有考題均以課本知識點和例（習(xí)）題為背景，大膽進行改編與重組，既重視對“核心概念”“基本思想”“通性通法”的理解與運用，又突出對“知識生成過程”“解題思維過程”“能力形成過程”等學(xué)習(xí)過程的呈現(xiàn)與發(fā)展，以引導(dǎo)教師摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，步入培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展性學(xué)力的教學(xué)正軌.下面筆者由靜安區(qū)2017學(xué)年度期末質(zhì)量調(diào)研壓軸題的命制過程和測試結(jié)果引發(fā)的思考談幾點拙見，不當(dāng)之處，歡迎廣大同仁指正.

一、命題過程

1.命題立意

主要想以八年級教材中“平行四邊形”一章的某道或幾道例（習(xí)）題為素材，以圖形運動為載體，通過改編與整合，形成一道集函數(shù)與圖形存在性問題于一體的幾何綜合題，著重檢測“方程思想”“函數(shù)思想”“數(shù)形結(jié)合思想”，突出考查“閱讀能力”“轉(zhuǎn)化能力”“探究能力”“創(chuàng)新能力”.

2.試題改編

原題：已知：如圖1，EF是?ABCD的對角線AC的垂直平分線，EF與邊AD、BC分別交于點E、F.

求證：四邊形AFCE是菱形.

這是滬教版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第86頁例5，雖然難度不大，但涵蓋的基本圖形豐富，知識點覆蓋度高，可塑性強，是一道可改編的好題.第一感覺是讓點O動起來且EF與AC依然保持垂直，但考慮到E、F點需分別在邊AD、BC上，所以增加條件∠BAC=90°.另外，為了求值計算，再賦予邊AB、BC具體數(shù)值，于是得第一稿.

第一稿：如圖2，在?ABCD中，AB=6，BC=10，∠BAC=90°，O為對角線AC上一動點，EF經(jīng)過點O且垂直AC，分別交邊AD、BC于點E、F，連接AF、CE.

圖1

圖2

（1）試問：當(dāng)點O位于AC的何位置時，四邊形AFCE為菱形？請說明理由.

（2）設(shè)AO=x，BF=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.

（3）在點O運動的過程中，是否存在某一時刻，使△ABF為等腰三角形？若存在，請直接寫出CO的值；若不存在，請說明理由.

說明：對于第（1）題，學(xué)生根據(jù)菱形對角線互相垂直平分的性質(zhì)易知，當(dāng)O為AC的中點時，四邊形AFCE為菱形，證明也是手到擒來.

第（2）題對于八年級學(xué)生來說，只能用勾股定理構(gòu)造含三個變量的兩個方程消元來解，有一定的難度，不易得分.在Rt△COF和Rt△AOF中，由勾股定理得OF2=（10-y）2-（8-x）2和 （6-OF）2+x2=y2，兩式相減得OF=，代入第二個式子整理得y=x.可見此解法不僅計算量大，消元技巧性強，而且九年級學(xué)過平行線分線段成比例定理后，由可簡便而得，故放在八年級檢測有化易為難之嫌，有違“注重通性通法考查”的命題原則.

第（3）題顯然需分三種情況討論.若BF=AB=6，則由（2）得AO=，則CO=.若AF=BF，易證BF=BC=5，則AO=4，所以CO=4.若AF=AB=6，過A作AM⊥BC于M，由Rt△ABC的面積可求得斜邊上的高AM=，進而得BF=2BM=，則AO=，故CO=.雖然本小題對學(xué)生 來說比較容易入手，但其求解對第（2）題的依賴性較強，第（2）題一旦“失手”，則第（3）題必然一分不得，對得分率影響較大.若改為“直接寫出BF或CF的值”，則又與第（2）題沒有任何關(guān)聯(lián)，無法體現(xiàn)層層遞進的問題設(shè)置，考查價值也大打折扣.

另外，本設(shè)計太過“常規(guī)”，缺乏創(chuàng)新味，容易陷入師生題海訓(xùn)練的“套路”中，引發(fā)負(fù)面導(dǎo)向，所以只好放棄.既然讓點動起來過于普通，那就不妨讓形動起來.方案一：讓?ABCD動起來，即通過∠ABC大小的變化改變?ABCD的形狀，再針對特殊角度時的特殊平行四邊形（矩形、菱形和正方形）設(shè)置問題，但注意到角度作為變量構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式超出了學(xué)生的認(rèn)知范圍，所以放棄.方案二：保持?ABCD的基本形狀不變，讓邊長動起來，再提出類似第一稿的三個問題.如此設(shè)計不僅創(chuàng)新味兒濃，而且還可走出師生訓(xùn)練的老套路，對課堂教學(xué)發(fā)揮積極的導(dǎo)向作用.考慮到計算方便，最終把平行四邊形定位為矩形，其中一邊長為定值，另一邊長可變，讓學(xué)生在一動一靜中感受數(shù)學(xué)之美.

第二稿：如圖3，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，分別交射線AD與射線CB于點E和點F，連接CE、AF.

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）如果AB=1，設(shè)AD=x，菱形AFCE的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）如果△OBF是等腰三角形，且AB=a（a為已知常量，a＞0），求BC的長度（用含a的代數(shù)式表示）.

說明：把第一稿中第（2）題的求線段長函數(shù)關(guān)系式改為求菱形AFCE的面積函數(shù)關(guān)系式，除了突出與第（1）題的遞進關(guān)系，主要還是想引導(dǎo)教師在平時教學(xué)中加強對建立圖形面積類函數(shù)關(guān)系式問題的關(guān)注，全面提升學(xué)生處理函數(shù)類問題的能力.由于菱形AFCE的高AB=1，問題轉(zhuǎn)化為用含x的代數(shù)式表示底邊CF的長.在圖3中，注意到AF=CF，所以在Rt△ABF中，由勾股定理得（x-CF）2+12=CF2，解得CF=.當(dāng)點E、F分別在AD、CB的延長線上時，解法類似但結(jié)果不變，所以x的取值范圍為一切正實數(shù).

圖3

之所以把第一稿中第（3）題的△ABF改為△OBF，是因為∠ABF為直角.若仍以△ABF為等腰三角形存在性問題的考查對象，則只有BA=BF一種情形（雖然還需分點E在邊AD或其延長線上討論，但兩者的求法沒有本質(zhì)差異），結(jié)論太過顯性化，缺乏思維量.更麻煩的是，此時易知Rt△ABC的銳角∠ACB=22.5°，當(dāng)邊AB給定后，AC和BC也為定值，但又不易求解，難以設(shè)置問題.而連接對角線BD，以△OBF為考查對象，則可柳暗花明.雖然也只有FO=FB一種情形（由∠CFO為銳角知∠BFO為鈍角），但需經(jīng)過適當(dāng)?shù)挠^察分析，具有較強的隱蔽性.更有趣的是，此時由∠CFO=2∠FBO=2∠OCB可知∠ACB=30°，所以當(dāng)AB=a時，易求得BC=a，且求解過程需要學(xué)生具備一定的分析能力與智慧.另外，當(dāng)點E、F分別在AD、CB的延長線上時（如圖4），易知∠OBC（小于直角∠ABC）為銳角，所以只能BO=BF，故∠OCB=∠OBC=2∠BFO，可得∠ACB=60°，則BC=a.當(dāng)然，兩種情形下均可分FO=FB、BO=BF和OF=OB三種情況討論，不僅計算量驚人，而且要舍去兩解，從某種程度上也會倒逼考生求變，尋求更優(yōu)化的解法.總之，如此設(shè)計，可巧妙地避免教師“等三等（即等腰三角形存在性問題按三邊兩兩相等分三種情況討論）”的僵化教學(xué)模式，對引導(dǎo)教師培養(yǎng)學(xué)生思維的優(yōu)化能力大有裨益.

圖4

斟酌再三，考慮到八年級學(xué)生對用字母表示線段長度的心理障礙，減少分類討論情形和計算量，增加思維量，筆者又把第二稿做適當(dāng)調(diào)整.

第三稿：如圖3，在矩形ABCD中，AB=1，對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，分別交射線AD與射線CB于點E和點F，連接CE、AF.

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）當(dāng)點E、F分別在邊AD和BC上時，如果設(shè)AD=x，菱形AFCE的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的長度.

說明：把AB的長度由抽象字母a改為具體數(shù)值1，在計算的可行性上無疑讓學(xué)生吃了個定心丸，極大地降低了解題難度.第（2）題增加條件“點E、F分別在邊AD和BC上”，目的在于減少分類討論的情形，避免學(xué)生在形式上做低效的重復(fù)操作，同時讓求x的取值范圍生動起來.第（3）題把△OBF與BC分別用△ODE與AD調(diào)換，主要是考慮讀圖的直觀感受，便于學(xué)生觀察出∠AEO為銳角和△ABD為含30°的特殊直角三角形，從而減少分類討論情形，更有利于求出AD的值，可謂用心良苦.

二、結(jié)果分析

雖然命題時為突出考查能力和提高得分率，筆者可謂“費盡心思”，但從測試結(jié)果來看，卻不盡如人意，三小題的得分率分別為0.7、0.17和0.12，與預(yù)期的0.9、0.6和0.3皆有一定的差距.

事實上，第（1）題運用菱形常見的三種判定方法（一組鄰邊相等的平行四邊形、四條邊相等的四邊形和對角線互相垂直平分的四邊形）皆可證明，關(guān)鍵是要證明△AOE △COF.但從閱卷結(jié)果來看，有些學(xué)生根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出AE=CE和AF=CF后，想借助證明△AOE△AOF得四條邊相等，導(dǎo)致思路受阻；甚至有不少學(xué)生已經(jīng)證出△AOE △COF，卻不知道用“對角線互相垂直平分”來直接判定.這固然有學(xué)生臨場發(fā)揮不佳的原因，但也隱約折射出教師在例題講解時挖掘不到位，沒有引導(dǎo)學(xué)生對三種方法進行大膽嘗試與優(yōu)化選擇，就題論題的習(xí)題教學(xué)行為或許普遍存在，值得反思.

第（2）題求菱形面積的思路特別顯性，就是求底邊CF的值，但不少學(xué)生雖深諳其道卻又受困于此，不知道CF一定要用含x的代數(shù)式表示，方能求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.從答卷信息和考后調(diào)研結(jié)果來看，大部分學(xué)生要么不知利用菱形的性質(zhì)（即AF=CF）把問題轉(zhuǎn)化到Rt△ABF中利用勾股定理尋求CF與x的關(guān)系式，要么設(shè)CF=t機械地列出方程（x-t）2+12=t2后卻又不知下一步要干什么，甚至想尋求關(guān)于x、t的第二個方程，再聯(lián)立解方程組求出x與t的值.由此可見，學(xué)生平時做題并沒有養(yǎng)成目標(biāo)分析與轉(zhuǎn)化的良好習(xí)慣，不知要做什么（目標(biāo)是什么）和怎么做（如何轉(zhuǎn)化），只知“死做題”和“做死題”.

至于第（3）題，絕大部分能得分的學(xué)生基本上是依賴按三邊兩兩相等分類討論的解題套路得了些步驟分，能觀察到∠OED（如圖3）或∠ODE（如圖4）為鈍角從而避免分類討論者寥寥無幾，更不用說利用等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)推出△ABD是含30°角的特殊直角三角形并求出AD的長了.當(dāng)然，按三邊兩兩相等分類討論并沒有錯，也是處理等腰三角形存在性問題的基本策略，只不過等腰三角形并非只有“兩腰相等”這一性質(zhì)可用，還有“兩底角相等”和“三線合一”的性質(zhì)賴以轉(zhuǎn)化，適當(dāng)挖掘題目隱性條件減少分類討論的情形并靈活運用三個性質(zhì)適時轉(zhuǎn)化，才是處理等腰三角形存在性問題的上策.

三、教研啟示

總體來說，本測試題難度并不大，但測試結(jié)果遠遠出乎意料之外，細(xì)細(xì)想來也在情理之中，筆者“讓形動起來”“利用兩角相等轉(zhuǎn)化”“挖掘含特殊角的直角三角形求線段長”也遠遠超出教師的意料之外，更擊中習(xí)題教學(xué)“靠題量練套路”的軟肋，結(jié)果可想而知.為此，筆者也不斷反思：如何借用區(qū)教研活動平臺全面提升教師習(xí)題教學(xué)水平呢？

1.開展研討活動是強化教師重視教材例、習(xí)題開發(fā)的重要抓手

雖然每次教研活動中，筆者總提醒教師要重視課本例、習(xí)題的開發(fā)，杜絕題海戰(zhàn)術(shù)；每次命題也都以課本例、習(xí)題為母題進行重新包裝設(shè)計與改編，以引導(dǎo)教師加強對課本例、習(xí)題的研討，但從歷次測試效果來看，僅僅依賴“說”與“引”還遠遠不夠，關(guān)鍵是要落實在“行”上.首先，要把每次有價值的命題心得與數(shù)據(jù)分析像本文一樣撰寫成文供大家參考，同時要求教師針對考卷中某一具體題目從教學(xué)角度撰寫得與失，并把優(yōu)秀案例集結(jié)成冊，相互學(xué)習(xí)共同提高.其次，邀請區(qū)域內(nèi)專家和優(yōu)秀教師開展編題技巧講座與經(jīng)驗介紹，提升教師編題水平.最后，從“怎樣教”和“怎樣編”兩方面入手，開展課本例、習(xí)題說題比賽，掀起區(qū)域內(nèi)教師對課本例、習(xí)題研發(fā)的高潮.

2.強化學(xué)法指導(dǎo)是提升教師習(xí)題教學(xué)水平和學(xué)生解題能力的重要推手

毋庸諱言，學(xué)生測試結(jié)果往往是教師教學(xué)水平的具體反映，學(xué)生答題存在問題，說明教師的教學(xué)存在改進之處.據(jù)每次到各校調(diào)研可知，教師習(xí)題教學(xué)大都采用“就題論題”常規(guī)模式，只教“怎樣做”，很少教“為什么這樣做”，嚴(yán)重缺乏學(xué)法指導(dǎo).一提學(xué)法指導(dǎo)，教師總把它與傳授解題技巧等同起來，其實不然.就習(xí)題教學(xué)而言，講清解題思路的生成過程，教會學(xué)生“怎樣想”顯得更為重要.其實所有數(shù)學(xué)問題都是運用所學(xué)過的知識處理的，等腰三角形存在性問題也不例外.教學(xué)中若能通過適當(dāng)例題，借助知識溯源讓學(xué)生知曉處理此類問題有“兩邊相等”“兩角相等”“三線合一”三大轉(zhuǎn)化法寶，并結(jié)合條件和所求目標(biāo)靈活處理，那么在這次質(zhì)量監(jiān)測中，學(xué)生就不會束手無策，或一條道走到黑而死抱“按邊分類討論”不放了.其實，習(xí)題教學(xué)若能做到三個“堅持”：堅持以知識溯源為思路引領(lǐng)，明確思考方向；堅持以“教會學(xué)生怎么想”為能力抓手，強化學(xué)法指導(dǎo)；堅持以“同一類型還可怎么做”為拓展方向，力求“以題會類”，著重培養(yǎng)學(xué)生分析問題的轉(zhuǎn)化能力和解決同類問題的類化能力，那么學(xué)生在處理新問題時就會得心應(yīng)手了.

毫無疑問，從考查內(nèi)容與能力導(dǎo)向來看，本題不存在任何問題，雖然由于筆者出乎教師意料之外的創(chuàng)新設(shè)計影響了得分率，但這恰恰彰顯了本題的價值之所在，也必將引領(lǐng)教師進一步走出“死練套路”的僵化習(xí)題教學(xué)模式，轉(zhuǎn)而更加注重思路生成過程的方法指導(dǎo)，即教學(xué)生“怎樣想”，而不僅僅教“怎樣做”.