☉江蘇省海門市首開東洲初級中學 夏冬平

我們知道，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》對一元二次方程的教學提出了明確而細致的要求，特別是對一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（本文以下簡稱“韋達定理”）給出了“選學內(nèi)容”的規(guī)定，按要求，“選學內(nèi)容”不得列入中考.然而從數(shù)學能力的可持續(xù)發(fā)展上看，韋達定理確實關(guān)乎后續(xù)很多內(nèi)容的學習，在高中階段韋達定理也有著廣泛的應用，所以全國很多地區(qū)的中考命題雖然不再“明考”韋達定理，但是“暗考”（即隱性考查）韋達定理的命題現(xiàn)象一直是公開的秘密.所以很多地區(qū)的師生，無論是新授課教學還是在中考備考過程中，都沒有放棄對韋達定理的教學與要求.那么隱性考查韋達定理都會有怎樣的方式？又該如何應對這類考題的思路突破？本文以某市2018年中考卷為例，選取該卷選擇題、填空題、解答題的最后一題，從運用韋達定理的視角貫通思路，實現(xiàn)求解，最后提出一些教學建議，供研討.

一、從韋達定理視角看把關(guān)題的思路突破

考題1：已知關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數(shù)根，下列判斷正確的是（ ）.

A.1一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

B.0一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

C.1和-1都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

D.1和-1不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

思路講解：由一元二次方程的定義知a+1≠0.

由方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數(shù)根，得判別式Δ=（2b）2-4（a+1）（a+1）=0，則a-b+1=0 ①，或a+b+1=0 ②.

結(jié)合a+1≠0，可得b≠0 ③.

逐個分析4個選項：

對于選項A，把x=1代入方程x2+bx+a=0，得a+b+1=0，符合①式，故選項A錯誤；

對于選項B，把x=0代入方程x2+bx+a=0，得a=0，代入原方程，符合題意，故選項B錯誤；

對于選項C，若1和-1都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根，由韋達定理得b=1+（-1）=0，這與③式矛盾，故選項C錯誤；

對于選項D，把1和-1分別代入方程x2+bx+a=0，可得1+b+a=0，1-b+a=0，符合①式和②式，這里“不都是”對應著上面“或”的關(guān)系，所以選項D成立.

考題2：如圖1，直線y=x+m與雙曲線y=交于A、B兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，則△ABC面積的最小值是_______.

網(wǎng)傳解答1：當AB過原點時，AB最小，則△ABC的面積最小，最小值為6.

網(wǎng)傳解答2：當m=0時，△ABC面積的值最小，此時a=b.設(shè)點A的坐標為（a，b），則ab=3，B（-b，-a），C（a，-a），于是AC=2b，BC=2a，則△ABC的面積的最小值是：AC×BC=×2a×2b=2ab=2×3=6.

解法改進：上面兩種“網(wǎng)傳解答”雖然解法簡潔，但是直覺成分多，理性分析少.解法主要不足是“當AB過原點時，AB最小”屬于直觀判斷，缺少演算解釋.以下給出這方面的解釋：

因為A、B是直線與曲線的兩個交點，則它們的橫坐標a和b可視為方程x2+mx-3=0的兩個實數(shù)根.

由韋達定理有：a+b=-m ①，ab=-3 ②.

由直線y=x+m的斜率為1，可確認△ABC是等腰直角三角形.

AC=BC=a-b.

這樣就有力解釋了當m=0時，△ABC的面積有最小值6.

考題3：已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），且拋物線上任意不同兩點M（x1，y1）、N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1-x2）（y1-y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1-x2）（y1-y2）＜0.以原點O為圓心、OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B、C，且B在C的左側(cè)，△ABC有一個內(nèi)角為60°.若MN與直線y=-2x平行，且M、N位于直線BC的兩側(cè)，y1＞y2，求證：BC平分∠MBN.

思路講解：根據(jù)題意，先畫出草圖分析，如圖2.

關(guān)鍵步驟之一：求出拋物線的解析式.

因為拋物線過點A（0，2），所以c=2.

已知條件“當x1＜x2＜0時，（x1-x2）（y1-y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1-x2）（y1-y2）＜0”，結(jié)合二次函數(shù)的增減性，可解讀出：當x＜0時，y隨x的增大而增大；當x＞0時，y隨x的增大而減小.這樣可推定、確認拋物線的對稱軸為y軸且開口向下，即b=0.

圖2

接下來，由以“O為圓心、OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點B、C”，容易確定△ABC是等腰三角形.再根據(jù)條件“△ABC有一個內(nèi)角為60°”，可得△ABC為等邊三角形.又OC=OA=2，可求出點B的坐標為（-，-1）.

將點B的坐標代入y=ax2+2，可得a=-1，所以拋物線的解析式為y=-x2+2.

關(guān)鍵步驟之二：證出tan∠MBC=tan∠NBC.

構(gòu)造圖3，作ME⊥BC于E點，NF⊥BC于F點.

設(shè)點M（x1，-x12+2）、N（x2，-x22+2）.

圖3

根據(jù)韋達定理，可得x1+x2=2.

到此，若能分析出-x1+=x2-即貫通思路.而由韋達定理得出的x1+x2=2，恰好提供了這個橋梁作用.于是tan∠MBE=tan∠NBF，所以∠MBE=∠NBF，即BC平分∠MBN.

二、關(guān)于韋達定理的教學建議

1.從數(shù)學的邏輯連貫來看，韋達定理的新授課教學不宜弱化

數(shù)學各個分支學科或知識模塊都具有邏輯連貫、層層遞進、前后呼應的學科特點.就一元二次方程來看，從直接開方出發(fā)到配方法解一元二次方程，再演算推導出求根公式，在此過程中對根的判別式進行了研究，而通過對大量一元二次方程兩個實數(shù)根的觀察發(fā)現(xiàn)了根與系數(shù)的關(guān)系，并且可以給出證明，也就是韋達定理.這樣來看，就是新授課期間也不宜對韋達定理進行弱化，這不只是數(shù)學知識的增刪，而是破壞了一元二次方程整章知識的系統(tǒng)性、邏輯性.以筆者所見的教學現(xiàn)實，初三新授課期間，沒有哪個老師真的把韋達定理弱化為簡單介紹，而是都安排了不止一個課時的教學時間.另外，高中階段對二次函數(shù)的學習將更加系統(tǒng)和深入，與韋達定理高度關(guān)聯(lián)，這也決定了很多學校在新授課和復習期間都沒有放松對其教學和考查的要求.

2.從命題的現(xiàn)實引領(lǐng)來看，幫助學生識別韋達定理隱性考查

如本文開篇所指出的那樣，從各地命題現(xiàn)實來看，不少地區(qū)是以填空題或選擇題的形式明考根與系數(shù)的關(guān)系，如果不掌握韋達定理，則繞著用求根公式或其他思路會耗時費力；而有些地區(qū)就會在全卷把關(guān)題位置上設(shè)置隱性考查的方式.從這種現(xiàn)實引領(lǐng)來看，在隱性考查韋達定理的解題教學時，除了常規(guī)思路要講，還可引導學生從韋達定理的視角貫通思路，加深對韋達定理的理解.特別是，在使用韋達定理解決類似上面考題3的過程中，還要在講評或解后回顧階段，引導學生體會“數(shù)形結(jié)合”的解題策略，也就是體會比例式之間的數(shù)形對應關(guān)系.