吳 迪，王 熙，黃小林，張 偉

(桂林電子科技大學(xué) 建筑與交通工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引 言

功能梯度材料(簡稱FGM)問世以后，關(guān)于功能梯度材料板振動和屈曲特性的研究一直為人們所關(guān)注. 其中，文獻(xiàn)[1]對熱荷載作用下功能梯度板的后屈曲自由振動進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，當(dāng)溫度升高時，F(xiàn)GM板的自由振動在屈曲前后呈現(xiàn)出增加和減小兩種不同的狀態(tài). 文獻(xiàn)[2]根據(jù)漢密爾頓原理建立了熱環(huán)境下FGM板的運(yùn)動方程，分析了FGM板的振動和屈曲特性. 文獻(xiàn)[3]基于一階剪切變形理論研究了熱環(huán)境下FGM板的非線性振動與屈曲，結(jié)果表明，外部荷載達(dá)到臨界荷載時，F(xiàn)GM產(chǎn)生分叉屈曲. 文獻(xiàn)[4]研究了邊界條件、熱環(huán)境和材料組分指數(shù)等因素對FGM梁非線性振動和后屈曲性的影響. 文獻(xiàn)[5]通過對熱環(huán)境下功能梯度材料板后屈曲振動分析后指出，隨著溫度的升高，板的自振頻率在屈曲前逐漸減小，屈曲后逐漸增大.

迄今為止，討論熱荷載對板結(jié)構(gòu)自由振動和屈曲影響的文獻(xiàn)較多，而討論航空航天工程中飛行器壁板受高速氣流和熱環(huán)境影響的文獻(xiàn)較少，且大都集中于各向同性板和復(fù)合材料層合板[6-8]. 因此，本文基于復(fù)合材料薄板理論和考慮偏角影響的氣動壓力一階活塞理論，建立熱環(huán)境下超音速偏航飛行的FGM板的運(yùn)動方程，用Galerkin積分法求解，并通過參數(shù)分析討論氣流馬赫數(shù)、氣流偏角、熱環(huán)境溫度等因素對功能梯度材料板自由振動和屈曲特性的影響.

1 基本方法及求解過程

設(shè)長為a，寬為b，厚度為h的FGM薄板受超音速氣流作用. FGM板由金屬和陶瓷兩種材料組成，金屬材料由底部至頂部逐漸減少，而陶瓷材料逐漸增加，其彈性模量E、熱脹系數(shù)α，密度ρ和熱傳導(dǎo)系數(shù)κ等物性參數(shù)可以表示為[9]

式中： 下標(biāo)(U,L)表示FGM板的上下表面；N為材料組分指數(shù)； 彈性模量和線膨脹系數(shù)隨著環(huán)境溫度的變化而變化[10].

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3).

(2)

(3)

假定坐標(biāo)原點(diǎn)位于中面角點(diǎn)，則W為z方向位移，引入應(yīng)力函數(shù)F，且F與面內(nèi)力的關(guān)系可以表示為

(4)

基于復(fù)合材料薄板理論，可導(dǎo)出功能梯度薄板在氣動壓力和熱環(huán)境作用下的運(yùn)動方程為

L11(W)+L12(F)-L13(NT)-L14(MT)+

(5)

L21(F)-L22(W)-L23(NT)=0,

(6)

式中： 變量頂部的圓點(diǎn)表示對時間的偏導(dǎo)，Lij()為高階線性偏微分算子，具體見文獻(xiàn)[11]. 與氣動壓力有關(guān)的三個參數(shù)定義為

(7)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，式(5)和(6)中的熱荷載可表示為

(8)

式中： ΔT=T(z)-T0本文取T0=300 K，T(z)為溫度場沿板厚度方向的分布函數(shù)，考慮均勻溫度場時，則T為常量.Ax,Ay,Axy的定義見文獻(xiàn)[11,13].

設(shè)運(yùn)動方程(5)～(6)的解由兩部分疊加

(9)

(10)

L21(F*)-L22(W*)=0.

(11)

靜力方程組的形式解可假設(shè)為

(12)

式中：Xm,Ym,Φm,ψm為梁振動本征函數(shù)，即

Xm(x)=coshαmx-cosαmx-

γm(sinhαmx-sinαmx),

(13a)

Yn(y)=coshαny-cosαny-

γn(sinhαny-sinαny),

(13b)

Φm(x)=Am(coshβmx-cosβmx)+

Bmsinhβmx+sinβmx,

(13c)

Ψn(x)=An(coshβny-cosβny)+

Bnsinhβny+sinβny,

(13d)

式中： 常系數(shù)Ai,Bi,βi,αj,γj由板的邊界條件確定，具體數(shù)值可參見文獻(xiàn)[14].

同時，將熱彎矩也展開為

(14)

附加動撓度和應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足下列動力方程組

(15)

(16)

設(shè)運(yùn)動方程組解的形式為

將(17a)和(17b)代入運(yùn)動方程組(15)～(16)，在兩個方程的兩邊分別同時乘Xi(x)Yj(y),Φi(x)Ψj(y)進(jìn)行Galerkin積分，同時將系數(shù)fmn(t)用wmn(t)表達(dá)，可得到下面關(guān)于wmn(t)的二階線性常

微分方程組

(18)

式中：M,C,K為板的廣義質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣； {w(t)}=[w11(t),w12(t),…]T. 令{w(t)}={a}eωt，代入式(18)，因?yàn)閧a}=[a11,a12,…]T不全為零，為使方程存在非零解，必有

det(ω2[M]+ω[C]+[K])=0.

(19)

由式(19)可求得各模態(tài)(m,n)的自振頻率ωmn. 當(dāng)最小自振頻率ω11為零時，對應(yīng)的溫度和氣流速度即為屈曲臨界溫度和屈曲氣流速度.

2 比較算例

圖 1 將本文計算的四邊簡支FGM板屈曲前后的固有頻率與文獻(xiàn)[1]中的有限元結(jié)果進(jìn)行了對比，F(xiàn)GM板的材料自下而上由Ti-6Al-4V向Aluminum oxide逐步變化. Ti-6Al-4V和Aluminum oxide物性參數(shù)隨溫度變化的相關(guān)參數(shù)具體取值與文獻(xiàn)[15]一致，如表 1 所示. 其中，板的邊長與厚度分別為a=b=0.3 m，邊厚比a/h=100; 分別取材料組分指數(shù)N=0 和2 000兩種情況進(jìn)行分析，結(jié)果表明，本文與文獻(xiàn)[1]的結(jié)果比較接近.

圖 1 各向同性薄板屈曲前后自振頻率Ω*比較Fig.1 Comparisons of natural frequencies Ω* of the pre- and post-buckled isotropic thin plates表 1 Aluminum oxide和Ti-6Al-4V材料特性系數(shù)[15]Tab.1 Aluminum oxide and Ti-6Al-4V material characteristic coefficient

P0P-1P1P2P3Aluminum oxideE/Pa349.55×1090-3.853×10-44.027×10-7-1.673×10-10α/K-16.826 9×10-601.838×10-400Ti-6Al-4VE/Pa122.56×1090-4.586×10-400α/K-17.5788×10-606.638×10-4-3.147×10-60

3 參數(shù)分析

討論由兩組不同的金屬/陶瓷材料復(fù)合而成的功能梯度材料薄板，一組記為ZrO2/Ti-6Al-4V，另一組記為Si3N4/SUS304. ZrO2, Ti-6Al-4V, Si3N4和 SUS304的密度分別為3 000, 4 429, 2 370 和8166 kg/m3. 泊松比v均取0.28，材料的彈性模量和線膨脹系數(shù)隨溫度變化的相關(guān)參數(shù)取值與文獻(xiàn)[15]相同，具體如表 2 所示.

表 2 陶瓷和金屬的材料特性系數(shù)[15]Tab.2 Material properties of ceramic and metals

圖 2 馬赫數(shù)對FGM板屈曲前后自振頻率Ω的影響Fig.2 Effect of mach number on the natural vibration frequency before and after buckling of FGM plate

圖 4 顯示了表示偏航情況下氣流偏角對FGM板臨界屈曲溫度影響.

在M∞=1.5時，由圖 4 可以看到，當(dāng)氣流偏角從0°變化到90°時，屈曲臨界溫度的變化大約分為三個過程. 在0°～30°范圍內(nèi)，臨界屈曲溫度變化很較小，30°～70°范圍內(nèi),臨界屈曲溫度升高較快，而在70°～90°時，臨界屈曲溫度變化又比較小.

圖 5 邊厚比對FGM薄板臨界屈曲溫度的影響Fig.5 Effect of side-to-thickness ratio on the critical buckling temperature for FGM thin plate

4 結(jié) 論

本文基于復(fù)合材料薄板理論及氣動壓力的一階活塞理論建立了熱環(huán)境下FGM板的氣動彈性模型，研究了FGM板在氣動壓力與熱荷載作用下的自由振動和屈曲問題，通過參數(shù)討論了氣流馬赫數(shù)M∞、氣流偏角θ、材料組分指數(shù)N、邊厚比及邊界條件等因素對振動頻率和屈曲臨界溫度的影響. 結(jié)果表明，F(xiàn)GM板的臨界屈曲溫度Tcr和自振頻率隨氣流馬赫數(shù)的增大而增大，隨材料組分指數(shù)N的增大而減小. 氣流偏角θ對屈曲臨界溫度的影響不可忽視，當(dāng)氣流偏角在某一范圍內(nèi)變化時，板的臨界屈曲溫度Tcr會發(fā)生較大的變化.