劉 濤，張 勇，陳沛芝，盛光英，姜昱祥

(1.煙臺南山學(xué)院，山東 煙臺 265713； 2.河南省計(jì)量科學(xué)研究院，鄭州 450008)

振動(dòng)控制在實(shí)際工程中已得到充分的重視。自從文獻(xiàn)[1]提出非線性減振器（Nonlinear Energy Sink，NES）的概念以來，NES得到了深入和廣泛的關(guān)注和研究。傳統(tǒng)的線性減振器只能對固有頻率段減振效果明顯。相比于傳統(tǒng)減振器，非線性減振器具有優(yōu)越的寬頻減振特性[2]，并能提高減振效率。

NES的振動(dòng)抑制機(jī)理是靶能量傳遞（Targeted Energy Transfer，TET）。TET的定義是能量在非線性晶格中快速向特定的方向傳遞[3]。TET在振動(dòng)抑制中應(yīng)用非常廣泛[4]。文獻(xiàn)[5]提出可實(shí)現(xiàn)靶能量傳遞的立方剛度方法，文獻(xiàn)[6]驗(yàn)證了TET在單自由度立方非線性振子的保守系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)的可能性，文獻(xiàn)[7]對2自由度的非線性減振器進(jìn)行了研究。研究表明，在設(shè)計(jì)得當(dāng)?shù)那疤嵯?，NES具有良好的減振效果。

一般NES構(gòu)建是用強(qiáng)非線性剛度彈簧替代傳統(tǒng)減振器上的線性剛度彈簧，非線性剛度彈簧無特定的固有頻率，可以吸收主結(jié)構(gòu)的多階頻率振動(dòng)能量[8]，但NES構(gòu)成的非線性力學(xué)系統(tǒng)是復(fù)雜的，求多自由度非線性振動(dòng)的高精度解是困難的，精細(xì)積分法[9–10]在求解線性定常振動(dòng)方程時(shí)，可得到較高精度的解。利用增維精細(xì)積分法化非線性動(dòng)力方程為形式上的齊次方程再求解，使高精度的計(jì)算多自由度非線性方程得以實(shí)現(xiàn)[11]。

本文主要提出一種NES立方非線性剛度的設(shè)計(jì)思路，利用普通線性彈簧的空間組合構(gòu)建Duffing振子，來提高非線性減振器的減振頻率，通過建立含立方剛度的2自由度、3自由度非線性動(dòng)力減振系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，利用增維精細(xì)積分法，探討非線性能量陷減振系統(tǒng)的減振頻率范圍。建立外部連續(xù)隨機(jī)激勵(lì)的仿真模型，通過仿真分析表明，在其他條件確定下，非線性能量陷減振系統(tǒng)，對連續(xù)線性和隨機(jī)外部激勵(lì)，都具有較大的吸振頻率范圍，并取得良好減振效果。

1 線性減振系統(tǒng)分析

線性減振系統(tǒng)構(gòu)件運(yùn)動(dòng)分析如圖1所示。

圖1 線性減振系統(tǒng)分析圖

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程為

考慮保守系統(tǒng)，式（1）可簡化為

這是一個(gè)2階線性常系數(shù)非齊次微分方程組，現(xiàn)在討論由激振力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)的解，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的解[12]。

設(shè)微分方程的特解為

式中：B1，B2，是質(zhì)量m1,m2的振幅，代入式（2）求解得

要想減振效果盡可能好，則ω2≈c,顯然，在已知m2和k2的前提下，ω的取值范圍確定，線性減振系統(tǒng)只能對特定的頻率段起到減振作用；同時(shí)還要注意y的大小，必須使其在規(guī)定范圍內(nèi)，否則此減振系統(tǒng)無法應(yīng)用。

2 2自由度非線性能量陷減振分析

改變線性彈簧的空間組合，構(gòu)建如圖2所示的Duffing振子，建立具有非線性能量陷的減振系統(tǒng)，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，非線性能量陷減振系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程為

圖2 2自由度非線性減振分析圖

考慮保守系統(tǒng)，令

則上式可化為

利用增維精細(xì)積分法[13]求上述方程，令x1=x，x?1=x2，y1=y，y?1=y2，x5≡ 1。

（7）式可轉(zhuǎn)化為

式（9）在形式上已化為線性齊次方程，記時(shí)間步長τ，在很小的時(shí)間間隙內(nèi)，方程式（9）可看成是定常系統(tǒng)，則可以用精細(xì)積分法。

方程的通解可表示為

利用指數(shù)函數(shù)的加法定理

其中：m為任意正整數(shù)，且m=2N，由于τ是一個(gè)很小的時(shí)間區(qū)段，則η=τ/m是一個(gè)非常小的時(shí)間區(qū)段，對于η，有

可寫為

其中：Ta陣是一個(gè)小量矩陣，當(dāng)它與單位陣In相加時(shí)，取前4項(xiàng)的結(jié)果即可滿足要求。

為了計(jì)算T有

注意由于

由（16）式相當(dāng)于執(zhí)行語句

當(dāng)循環(huán)結(jié)構(gòu)結(jié)束時(shí)，有

在已知初始條件Y0，設(shè)定步長，作用時(shí)間，將每次所求T的結(jié)果代入式（9），依次求出Y1,Y2,Y3…的高精度解。

3 案例分析：

利用增維積分法求解2自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，設(shè)置邊界條件：m1=m2=1 kg，k1=k2=1，f=sinωt（周期為2π/ω），x1=x2=x?1=x?2=0，假定|x|＜0.01時(shí)，達(dá)到規(guī)定減振效果，則根據(jù)圖3所示方法計(jì)算，角頻率在ω=1～100rad/s范圍(最大周期2π217)，求出可以減振的角頻率范圍。

圖3 計(jì)算步驟

求解2自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，所得結(jié)果如表1所示，2自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)可有效減振角頻率為

ω=30,31,32,33,93,94,95,96rad/s，由公式（4）可知，在此案例所定的條件下，線性減振系統(tǒng)的可有效減振角頻率為ω≈1rad/s，2自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)的可減振范圍明顯優(yōu)于線性減振系統(tǒng)。

表1 2自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)減振頻率/(rad·s-1)

理論上，若增大x的取值范圍，則ω的可取值范圍會(huì)變大，2自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)的可減振頻率會(huì)增多。

圖4為y(m2運(yùn)動(dòng))的軌跡圖，在|x|＜0.01范圍內(nèi)，y的位移軌跡為連續(xù)平滑曲線，上下極值的絕對值和很小，沒有位移上的突變，y的運(yùn)動(dòng)不會(huì)對2自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)造成影響，此種減振設(shè)計(jì)合理。

圖4 m2的位移圖

4 3自由度非線性能量陷的減振

增加圖2所示Duffing振子的自由度，建立如圖5所示的3自由度非線性能量陷的減振系統(tǒng)，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，非線性能量陷減振系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程為

圖5 3自由度非線性減振分析圖

按照案例分析所示的過程，在其他條件不變前提下，利用增維精細(xì)積分法求方程式（19），所得結(jié)果如表2所示，3自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)可有效減振角頻率為ω=30,31,32,33,61,62,63,64,93,94,95,96(rad/s),可見，3自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)相比較于2自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)，其減振范圍更大。

根據(jù)以上所得結(jié)果，得到以下結(jié)論：在外界激勵(lì)為線性連續(xù)激勵(lì)前提下，增加非線性能量陷減振系統(tǒng)的自由度，可以有效增加其減振角頻率范圍。

5 隨機(jī)連續(xù)振動(dòng)激勵(lì)的減振分析

以上分析證明了非線性能量陷減振系統(tǒng)對外界激勵(lì)為線性連續(xù)激勵(lì)，具有良好的減振頻率范圍，現(xiàn)引入外部隨機(jī)連續(xù)振動(dòng)激勵(lì)，給定振動(dòng)頻率為0～100 Hz的外部激勵(lì)，分別在2自由度和3自由度非線性減振系統(tǒng)下進(jìn)行仿真。m1的運(yùn)動(dòng)位移如、圖6（a）、圖 6（b）所示。

由圖6（a）、圖6（b）仿真結(jié)果可看出，忽略運(yùn)動(dòng)初期（1秒～3秒）振動(dòng)，非線性能量陷減振系統(tǒng)對隨機(jī)連續(xù)振動(dòng)具有較好的減振效果；3自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)較2自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)，均值線到平衡位置的距離小，振動(dòng)幅值圍繞均值線上下振動(dòng)波動(dòng)小，減振效果更為明顯。

根據(jù)以上所得結(jié)果，可得到以下結(jié)論：在條件允許的前提下，增加非線性能量陷減振系統(tǒng)的自由度，不僅可增加其減振頻率范圍，減振效果也會(huì)增強(qiáng)。

6 結(jié)語

（1）本文通過利用線性減振彈簧空間的改變，提出一種切實(shí)可行的非線性能量陷減振系統(tǒng)構(gòu)建方法。

（2）利用增維精細(xì)積分法得到非線性能量陷減振系統(tǒng)的高精度解，對比非線性能量陷減振系統(tǒng)與線性減振系統(tǒng)的減振范圍，肯定了非線性能量陷減振系統(tǒng)的優(yōu)越性。

表2 3自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)減振頻率

圖6 位移圖

（3）通過比較2自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)和三自由度非線性能量陷減振系統(tǒng)的減振范圍，得出增加非線性能量陷減振系統(tǒng)的自由度，可以有效增加其減振角頻率范圍的結(jié)論。

（4）進(jìn)行外部連續(xù)隨機(jī)激勵(lì)的仿真分析，進(jìn)一步確定了所構(gòu)建的非線性能量陷Duffing振子的可行性。