周園園，陳安軍，2

(1.江南大學(xué) 機械工程學(xué)院,江蘇 無錫 214122；2.國家輕工業(yè)包裝制品質(zhì)量監(jiān)督檢測中心,江蘇 無錫 214122)

振動與沖擊是產(chǎn)品運輸過程中損傷的2個主要動力學(xué)因素，產(chǎn)品的包裝結(jié)構(gòu)設(shè)計對其防護具有重要的意義。懸掛系統(tǒng)通過上下8根彈簧將包裝件懸吊于包裝容器內(nèi)，適用于低脆值精密儀器的減振防護[1]。針對單自由度懸掛系統(tǒng)，徐筱[2]研究了系統(tǒng)的跌落沖擊響應(yīng)特性，得到了產(chǎn)品的最大位移、最大加速度、沖擊持續(xù)時間并分別與線性緩沖包裝系統(tǒng)對比分析；王惠明等[3]以橡膠作為緩沖材料的懸掛系統(tǒng)為研究對象，建立系統(tǒng)非線性動力學(xué)方程，利用4階龍格-庫塔數(shù)值分析方法對方程求解，定量分析了系統(tǒng)參數(shù)對加速度和位移時間響應(yīng)歷程的影響；吳曉等[4–5]建立了懸掛系統(tǒng)的豎向振動控制方程，研究了系統(tǒng)豎向固有振動問題，討論了懸掛系統(tǒng)的彈簧傾角、豎向振幅等對系統(tǒng)自振特性的影響，并建立了基礎(chǔ)位移作用下該系統(tǒng)的非線性固有振動方程，采用L-P法推導(dǎo)出了系統(tǒng)固有振動的近似解，討論了基礎(chǔ)位移激勵頻率、激勵振幅、懸掛彈簧傾角對系統(tǒng)固有振動特性的影響；王蕾等[6–10]建立了懸掛式彈簧緩沖包裝系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，討論了相關(guān)參數(shù)對系統(tǒng)振動特性、沖擊響應(yīng)和跌落沖擊響應(yīng)的影響；宋爽等[11–15]以懸掛式彈簧緩沖系統(tǒng)作為研究對象，用變分迭代理論分析系統(tǒng)跌落沖擊條件下的動力學(xué)特性及影響因素?，F(xiàn)有懸掛系統(tǒng)的研究基于單自由度系統(tǒng)，李輝等[16]以考慮易損件懸掛系統(tǒng)為對象，建立2自由度系統(tǒng)動力學(xué)模型，但研究的是系統(tǒng)易損件跌落沖擊特性，典型脈沖激勵下系統(tǒng)易損件沖擊特性及其影響因素的分析有待進一步拓展。

本文以考慮易損件2自由度懸掛系統(tǒng)為研究對象，建立矩形脈沖激勵下系統(tǒng)無量綱動力學(xué)方程。利用4階龍格-庫塔數(shù)值分析方法對動力學(xué)方程進行求解，討論系統(tǒng)懸掛角、頻率比、主體與基礎(chǔ)連接部阻尼比以及無量綱脈沖幅值等參數(shù)對易損件沖擊響應(yīng)特性的影響規(guī)律，進而為懸掛系統(tǒng)的設(shè)計提供理論參考。

1 動力學(xué)方程及其無量綱化

考慮易損件2自由度懸掛系統(tǒng)模型如圖1所示，易損件和包裝件主體的質(zhì)量分別記為m1、m2，主體與易損件間阻尼系數(shù)記為c1，主體與基礎(chǔ)連接部間阻尼系數(shù)記為c2，彈簧未變形時的原長及懸掛角分別記為l0和?0，主體與易損件間連接剛度記為k1，8根懸掛彈簧的剛度記為k2。

圖1 2自由度懸掛系統(tǒng)模型

以豎直向下為正，靜平衡位置為坐標原點，參考文獻[6–16]，考慮易損件2自由度懸掛系統(tǒng)有阻尼動力學(xué)方程

分別為易損件、主體速度；分別為易損件、主體加速度。

設(shè)系統(tǒng)受基礎(chǔ)矩形脈沖激勵，其數(shù)學(xué)表達式為

式中：t0為脈沖寬度，u?0m為脈沖幅值。該激勵下系統(tǒng)沖擊動力學(xué)方程為

易損件及主體的初始條件分別為x1,2(0)=0，dx1,2(0)/dt=0。

，分別為易損件、主體無量綱加速度。

初始條件變?yōu)椋簓1,2(0)=0，dy1,2(0)/dτ=0。

無量綱矩形脈沖激勵數(shù)學(xué)表達式變?yōu)?/p>

2 易損件位移響應(yīng)

2.1 絕對位移響應(yīng)

記易損件無量綱絕對位移為X1=y2-y1,取，不同系統(tǒng)懸掛角（?0取60°，70°，80°，90°）易損件絕對位移響應(yīng)如圖 2(a)所示；取λ2=0.01，?0=60°，ζ1=ζ2=0，βu?0m=0.1，不同頻率比（λ1取0.5，1，3，5，7）易損件絕對位移響應(yīng)如圖2(b)所示；取λ1=3，λ2=0.01，?0=60°，ζ1=0，βu?0m=0.1，不同阻尼比（ζ2取0.01，0.05，0.1，0.2）易損件絕對位移響應(yīng)如圖2(c)所示；取λ1=3，λ2=0.01，?0=60°，ζ1=ζ2=0，不同無量綱脈沖幅值（βu?0m取0.01，0.05，0.1，0.2）易損件絕對位移響應(yīng)如圖2(d)所示。

2.2 相對位移響應(yīng)

記易損件無量綱相對位移為X2=y1，相關(guān)參數(shù)的選取同2.1，系統(tǒng)懸掛角、頻率比、阻尼比、無量綱脈沖幅值對易損件相對位移的影響如圖3所示。

圖2 易損件絕對位移響應(yīng)

圖3 易損件相對位移響應(yīng)

3 易損件加速度響應(yīng)

記易損件加速度為X3=y?2-y?1-βu?0m，相關(guān)參數(shù)的選取同2.1，系統(tǒng)懸掛角、頻率比、阻尼比、無量綱脈沖幅值對易損件相對位移的影響如圖4所示。

4 易損件沖擊響應(yīng)影響因素分析

(1)系統(tǒng)懸掛角的影響。與線性系統(tǒng)（?0=90°）相比，無阻尼條件下，隨系統(tǒng)懸掛角的減小，易損件無量綱絕對位移幅值增加，相對位移幅值減少，加速度幅值減少，響應(yīng)周期延長，其減振效果優(yōu)于線性系統(tǒng)。

圖4 易損件加速度響應(yīng)

(2)頻率比的影響。給定脈沖幅值、質(zhì)量比及懸掛角條件下，無阻尼條件下，易損件位移及加速度響應(yīng)對低頻率比敏感，且當頻率比λ1在1的附近時，易損件響應(yīng)幅值變化顯著，存在內(nèi)共振現(xiàn)象。

(3)阻尼比的影響。矩形脈沖激勵下，給定系統(tǒng)懸掛角、頻率比以及質(zhì)量比，易損件位移響應(yīng)對主體與基礎(chǔ)連接部阻尼比敏感，增加阻尼比可有效抑制易損件絕對位移響應(yīng)幅值；隨響應(yīng)時間的增加，阻尼比抑制響應(yīng)幅值效果更加明顯。

(4)無量綱脈沖幅值的影響。無阻尼條件下，給定系統(tǒng)懸掛角、頻率比以及質(zhì)量比，易損件響應(yīng)隨無量綱脈沖幅值的增加而增加。

5 結(jié)語

在矩形脈沖激勵作用下，考慮易損件2自由度懸掛系統(tǒng)沖擊動力特性分析表明：易損件響應(yīng)對頻率比、主體與基礎(chǔ)連接部阻尼比以及脈沖幅值較為敏感。較低頻率比，易損件響應(yīng)幅值變化顯著，系統(tǒng)設(shè)計時選擇較高頻率比（建議λ1＞5）能有效的降低響應(yīng)幅值，提高系統(tǒng)抗沖擊能力；增加基礎(chǔ)與連接部阻尼比，能有效抑制易損件響應(yīng)幅值；易損件響應(yīng)隨無量綱脈沖幅值的增加而增加，其幅值βu?0m與系統(tǒng)特征參數(shù)β=T2/l0有關(guān)，可以通過改變懸掛彈簧長度l0獲得較佳的減振效果。系統(tǒng)懸掛角?0對易損件響應(yīng)周期的影響較為顯著，隨懸掛角減少易損件響應(yīng)周期延長，相對位移及加速度響應(yīng)幅值減少，表現(xiàn)出較好的減振特性。