馬英博，吳亞鋒，楊鑫博

（西北工業(yè)大學 動力與能源學院，西安 710129）

主動噪聲控制(Active Noise Control)是一種噪聲控制的新技術[1]。它根據(jù)源噪聲的特性，通過自適應控制系統(tǒng)(adaptive control system)人為地產(chǎn)生一同頻、反相、等幅的抵消聲場，從而達到降低源噪聲的目的。

在主動噪聲控制系統(tǒng)[1]中，自適應濾波器(Adaptive Filter)是其核心技術。其中最常用的濾波算法是濾波-x最小均方(Filter-x LMS)算法，該算法具有計算量小，易于實現(xiàn)，穩(wěn)定性好等特點。在FxLMS算法中，步長是決定算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的關鍵因素，增大步長可加快算法的收斂速度，但同時會增大穩(wěn)態(tài)誤差，甚至導致算法發(fā)散。為此，人們提出了變步長的改進思路[2–3]，即：在算法收斂初期步長較大，以便有較快的收斂速度和對時變系統(tǒng)的跟蹤速度；隨著算法收斂的進行，步長逐漸減小；在算法收斂末期步長很小，以便有較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

基于這一想法，本文在傳統(tǒng)FxLMS算法的理論基礎上，根據(jù)參考-誤差信號互相關函數(shù)，提出了一種變步長CFxLMS(Correlation FxLMS)算法。分別對FxLMS算法和本文提出的CFxLMS算法的收斂性能進行了仿真分析，并將其應用于電梯運行時轎廂內(nèi)部實測數(shù)據(jù)的仿真降噪中。

1 CFxLMS算法

1.1 傳統(tǒng)FxLMS算法

傳統(tǒng)FxLMS算法框圖如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)FxLMS算法框圖

圖中：W(z)是自適應濾波器；P(z)是噪聲源到誤差傳感器之間聲音傳播路徑的傳遞函數(shù)，稱為初級通道傳遞函數(shù)；S(z)是次級通道傳遞函數(shù)，S?(z)是次級通道傳遞函數(shù)的估計。x(n)是噪聲源信號，e(n)是誤差傳感器測量信號。x(n)經(jīng)S?(z)得到濾波參考信號r(n)，r(n)和e(n)作為控制器的輸入信號，經(jīng)處理后得到次級控制信號y(n)。y(n)經(jīng)次級通道傳遞函數(shù)，在誤差傳感器處得到一個和原噪聲d(n)幅值相等、相位相反的抵消噪聲y’(n)，從而達到降噪的目的。

傳統(tǒng)FxLMS算法具體如下[4–5]

式(5)中：步長μ是一個固定的常量，取值需滿足[6]

式(6)中：L是自適應濾波器W(z)的階數(shù)，Px是濾波參考信號r(n)的功率。FxLMS算法的固有矛盾在于μ取值較小能獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差，但算法收斂速度慢；μ取值增大，算法的收斂速度得以提高，但以較大的穩(wěn)態(tài)誤差為代價。

1.2 CFxLMS算法

式(5)中，步長μ是決定傳統(tǒng)FxLMS算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的關鍵因素，固定步長μ使得算法無法兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，需在這兩個性能間取折中。一種解決方法[7]是用步長μ除以誤差信號e(n)的歐式平方范數(shù)，即

式(7)中：固定收斂因子α需精心選擇，以便在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間達到平衡。是從算法迭代開始到n時刻迭代的過程中所有誤差量的平方值之和。隨著迭代次數(shù)的增加，||e(n)||2不斷增大，步長μ(n)是一個平滑下降的函數(shù)，從而保證在算法收斂末期步長較小，有效地減小了算法的穩(wěn)態(tài)誤差；但這一特點使該算法對于非平穩(wěn)隨機過程，系統(tǒng)跟蹤能力較弱。因此，有必要對這一算法加以改進，以提高算法的實時性。

分析傳統(tǒng)FxLMS算法框圖可知，在算法收斂初期，自適應濾波器權值w(n)遠離最優(yōu)權值wo(n)，r(n)和e(n)相關度高，此時步長μ應較大以保證算法有較快的收斂速度；在算法收斂末期，自適應濾波器權值w(n)接近最優(yōu)權值wo(n)，r(n)和e(n)相關度低，此時步長μ應很小以保證算法有較小的穩(wěn)態(tài)誤差。由此可知，r(n)和e(n)的相關函數(shù)和步長的取值成正相關，故可在算法的迭代過程中使用r(n)和e(n)的相關函數(shù)來調(diào)整步長的取值。

CFxLMS算法將固定步長μ改為可變步長函數(shù)μ(n)，并取濾波參考信號r(n)和誤差信號e(n)的相關函數(shù)C(n)來調(diào)整步長函數(shù)μ(n)，即

式(8)中：n時刻C(n)為

n-1時刻C(n-1)為

式(9)、式(10)相減，得

CFxLMS算法將C(n)引入式(7)中，在保證步長函數(shù)μ(n)平滑下降的基礎上，提高了算法的實時性。綜上所述，CFxLMS算法具體如下

CFxLMS算法框圖如圖2所示。

由圖2可知，在算法收斂初期，由于r(n)和e(n)相關度高，C(n)的值較大，因此步長函數(shù)μ(n)也較大，算法有較快的收斂速度；在算法接近收斂時，r(n)和e(n)相關度降低，C(n)→0，因此步長函數(shù)μ(n)很小，算法有較小的穩(wěn)態(tài)誤差；此時若輸入信號x(n)發(fā)生突變，r(n)和e(n)的相關度迅速增加，C(n)由小變大，步長函數(shù)μ(n)也隨即由小變大，算法收斂速度變快。

圖2 CFxLMS算法框圖

CFxLMS算法有3個參數(shù)α、β和γ。α控制步長取值范圍；β是一個取值較小的正常量；γ控制濾波參考信號r(n)和誤差信號e(n)的相關函數(shù)C(n)在步長迭代中所占的權重比，取值0＜γ＜1，系統(tǒng)對實時性要求越高，γ取值應越小。

2 算法性能分析

本節(jié)通過仿真對比在不同信噪比條件下，傳統(tǒng)FxLMS算法和CFxLMS算法的收斂性能。具體做法是給定一輸入混合噪聲信號x(n)=s(n)+r(n)；其中s(n)=sin(2*pi*60*(n/fs))+0.4*sin(2*pi*120*(n/fs))+0.1*sin(2*pi*180*(n/fs))為正弦輸入噪聲，采樣頻率fs=1 000 Hz，n=0，1，2，…，10 000；r(n)為在已知s(n)和預期SNR條件下，推算出的背景白噪聲；自適應濾波器階數(shù)為32；傳統(tǒng)FxLMS算法初始參數(shù)設置為μ=0.01；CFxLMS算法初始參數(shù)設置為α=25，β=0.01，γ=0.7。

仿真結果如圖3－圖5所示。

圖3 SNR=30 dB時各算法收斂曲線

圖3－圖5分別是不同信噪比下，傳統(tǒng)FxLMS算法和CFxLMS算法的收斂曲線圖。圖3中SNR=30 dB，傳統(tǒng)FxLMS算法的收斂速度稍慢于CFxLMS算法的收斂速度，兩種算法的穩(wěn)態(tài)誤差均較小。圖4中，增加白噪聲的方差，此時傳統(tǒng)FxLMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差變大；CFxLMS算法仍可保持和此前SNR=30 dB條件下接近的穩(wěn)態(tài)誤差。圖5中，繼續(xù)增加白噪聲的方差，傳統(tǒng)FxLMS算法的收斂速度明顯變慢，穩(wěn)態(tài)誤差明顯增大；CFxLMS算法的收斂速度稍有變慢，穩(wěn)態(tài)誤差稍有變大。

圖4 SNR=10 dB時各算法收斂曲線

圖5 SNR=0 dB時各算法收斂曲線

由圖3－圖5的對比可以看出，當信噪比較高時，傳統(tǒng)FxLMS算法和CFxLMS算法均有較好的收斂性能和穩(wěn)態(tài)性能。當信噪比較低時，傳統(tǒng)FxLMS算法收斂速度慢，穩(wěn)態(tài)誤差大；而CFxLMS算法仍保持較快的收斂速度，且穩(wěn)態(tài)誤差較小，因此傳統(tǒng)FxLMS算法對噪聲更敏感，相比之下CFxLMS算法抗噪性能更好。

3 高速電梯轎廂噪聲主動控制仿真

在高速電梯(額定速度大于500 m/min[8])加、減速運行階段，電梯速度急劇變化，導輪與導軌之間的摩擦、旋轉部件與曳引繩之間的摩擦等會在電梯轎廂內(nèi)部產(chǎn)生嚴重的低頻(400 Hz以下)、非平穩(wěn)振動噪聲[9]。本節(jié)通過計算機仿真對比傳統(tǒng)FxLMS算法和本文提出的CFxLMS算法對某型高速電梯實際減速運行時轎廂內(nèi)部所錄制的實測噪聲ANC效果。實測噪聲如圖6所示，仿真結果見圖6－圖8。圖6(a)為高速電梯轎廂內(nèi)高度1.7 m中心位置處測得的噪聲時域圖，圖6(b)為其頻譜分布圖(部分)。

圖6 實測噪聲時域圖與頻域圖

由圖可知，電梯轎廂內(nèi)的噪聲能量主要集中在0～300 Hz的頻段。

圖7是傳統(tǒng)FxLMS算法和CFxLMS算法對該噪聲進行主動控制的算法收斂曲線對比圖。

圖7 算法收斂曲線對比圖

由圖7的曲線看到，傳統(tǒng)FxLMS算法收斂性能差，穩(wěn)態(tài)誤差大，而本文提出的CFxLMS算法收斂速度更快，穩(wěn)態(tài)誤差更小。

圖8繪出了對電梯轎廂噪聲進行ANC后的噪聲變化情況。

圖8 頻域降噪效果對比圖

結果顯示，傳統(tǒng)FxLMS算法和CFxLMS算法對于實測數(shù)據(jù)均有降噪效果，相比之下CFxLMS算法對電梯減速運行噪聲ANC處理結果較傳統(tǒng)FxLMS算法平均可再降4 dB～5 dB，最高頻率點可再降9.4 dB。

表1是使用傳統(tǒng)FxLMS算法和CFxLMS算法分別對電梯加速、勻速、減速運行的3個階段轎廂內(nèi)部實測噪聲數(shù)據(jù)20次主動仿真降噪的平均降噪量。

表1 高速電梯加速、勻速、減速運行時算法平均降噪量/dB

由表1可以看出，CFxLMS算法在電梯運行的3個階段與FxLMS算法相比的降噪量變化依次為6.3 dB、4.7 dB、6.1 dB，說明CFxLMS算法實時性好，系統(tǒng)跟蹤能力強。

4 結語

傳統(tǒng)FxLMS算法由于其固定的步長無法兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。本文在傳統(tǒng)FxLMS算法和變步長理論基礎上提出了一種新的變步長FxLMS算法，新算法將步長函數(shù)與濾波參考信號與誤差信號的相關函數(shù)相關聯(lián)。在算法收斂初期步長取較大值，使其有較快的收斂速度，在算法收斂末期步長取較小值，使其有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，從而較好地解決了傳統(tǒng)FxLMS算法的固有矛盾。仿真結果表明，新算法與傳統(tǒng)FxLMS算法相比可以更好地兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，且有更好的抗噪性能。為進一步驗證改進算法的性能，將其應用于高速電梯噪聲ANC仿真處理，取得了滿意的效果。