張 磊，李 彬，梁 潔，陸英棟

（1.海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033； 2.91206部隊，山東 青島 266102）

傳遞路徑分析（Transfer Path Analysis，TPA）方法[1–2]主要用于處理振源激勵—傳遞路徑—目標測點響應的問題，其能夠辨識振動響應系統(tǒng)的主要激勵源和相應傳遞路徑。依據(jù)辨識結(jié)果，研究人員可將相應的振源強度、路徑聲學靈敏度等參數(shù)控制在合理的范圍內(nèi)，使得振動或聲輻射控制在預定目標值內(nèi)。TPA方法主要涉及三個關(guān)鍵的問題：頻率響應函數(shù)獲取；工作載荷識別；TPA結(jié)果評價[3]。TPA方法涉及的工作載荷識別，可以通過力傳感器進行直接測量[2]。直接測量法僅適合在測量環(huán)境可控的實驗室中應用，在實際工程應用中，獲取路徑點激勵力最有效且應用最廣泛的方法仍是間接測量法。間接測量法主要有復剛度法（Complex Stiffness Method CSM）、參數(shù)化模型復剛度法、逆矩陣法（Matrix Inversion Method MIM）[4]。復剛度法測量需考慮實際結(jié)構(gòu)的正確預載荷、實際運行時邊界條件以及環(huán)境參數(shù)如溫度等影響。因準確的動剛度數(shù)據(jù)獲取比較困難，一種參數(shù)化表示的復剛度方法被提出來[5]，該方法以工況數(shù)據(jù)為主同時輔以少量的頻響函數(shù)數(shù)據(jù)，達到快速并較為準確地獲取工作載荷的目的，國內(nèi)宋海生等[6–7]將該方法應用到汽車車內(nèi)振動傳遞路徑分析，取得一定效果。但當耦合連接元件的剛度相對較大時，復剛度法獲取工作載荷將存在較大誤差，而在近似剛性連接的情況下，復剛度法將徹底失效。逆矩陣法[8]是獲取路徑點工作載荷的一種適應性更強的方法，是TPA方法中應用最廣泛的一種方法。但逆矩陣法需要將振動設(shè)備拆除或在設(shè)備尚未安裝在基座上時測量FRF，該項不足之處在很大程度上限制了逆矩陣法在工程實際中的有效應用。因此，若能在不拆卸振動端的情況下實現(xiàn)激勵源的識別，勢必將極大提高測量的效率，提高逆矩陣法的工程應用價值。為此，本文將系統(tǒng)深入地研究TPA方法中典型的路徑載荷識別方法，并提出不受振源移除影響的逆矩陣法，結(jié)合振動模型比較融入新策略的逆矩陣法(MIM)、復剛度法(CSM)以及參數(shù)化模型的動剛度法在載荷識別時的適用范圍、各自特點。

1 TPA方法基本理論

結(jié)構(gòu)振動傳遞過程為機械設(shè)備產(chǎn)生的振動激勵，通過基座的衰減或放大作用，傳遞到設(shè)備連接點上并表現(xiàn)為力激勵，力激勵使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動，從而輻射出噪聲。對于某一激勵源，如果已知某一路徑上的傳遞函數(shù)和工作載荷，該路徑對目標位置響應的貢獻量可表示為

式中：Hi(ω)是傳遞函數(shù)（通常為頻率響應函數(shù)），F(xiàn)i(ω)為激勵力的頻譜。如果有m條路徑，總響應可以是各路徑分量的線性疊加

式中：X(ω)為目標點上的響應，可以是聲壓或加速度響應等。建立一個TPA模型需要兩個要素：工作載荷和頻率響應函數(shù)(Frequency Response Function，F(xiàn)RF)。目前，工作載荷和FRF的準確、高效獲取仍存在較大難度，而這兩項工作直接決定著TPA方法計算結(jié)果能否準確地反映實際情況。

2 路徑載荷識別

為有效實現(xiàn)TPA算法，一項重要的工作就是確定路徑點的工作載荷。工作載荷識別的方法有很多，既有時域的也有頻域的。本節(jié)將主要研究幾種能夠運用到實際工程中的典型載荷識別方法，主要有直接測量法、復剛度法、參數(shù)化模型的動剛度法，并提出融入新策略的逆矩陣法。

2.1 激勵力直接測量法

設(shè)備振動通過機腳傳遞到基座上的動態(tài)力，可以通過力傳感器進行測量。通常力傳感器安裝在機腳和基座之間，使得設(shè)備產(chǎn)生的作用力通過力傳感器傳遞到基座上。力傳感器直接測量方法，可以減少測量中的不確定度的來源，在準確度上具有一定優(yōu)勢。但直接測量路徑點的激勵力在實際操作中會遇到很多問題：力傳感器尺寸和安裝條件會受到限制（尤其在汽車、艦船等復雜結(jié)構(gòu)上，其內(nèi)部空間有限，設(shè)備布置緊密）；嵌入的力傳感器有可能改變路徑點的實際工作狀態(tài)，導致測量值與實際情況不符；要完全滿足力傳感器的安裝要求在工程中頗為不易，而安裝出現(xiàn)極小的偏差也會導致測量誤差急劇增加。由此可見，直接測量法僅適合在測量環(huán)境可控的實驗室中應用，在實際工程中并不適用。而在實際工程應用中，獲取路徑點激勵力最有效且應用最廣泛的方法仍是間接測量法。間接測量法不需要嵌入力傳感器，僅需要振動設(shè)備的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)及振動響應等條件就能獲取路徑點的工作載荷。

2.2 動（復）剛度法(CSM)

圖1為典型的振動結(jié)構(gòu)系統(tǒng)示意圖，源S為主動設(shè)備端，接受體R為被動端，由圖可知主動端S與被動端R經(jīng)剛性或彈性元件連接，主動端設(shè)備激勵產(chǎn)生振動能量通過連接元件傳遞到被動端，引起振動響應。與連接件相連的主動端和被動端，在連接處均產(chǎn)生不同振動方向、大小的位移。若結(jié)合實驗測得的不同耦合元件的復剛度曲線函數(shù)，可利用復剛度法計算作用于被動側(cè)上的工作載荷，其計算公式如下所示

圖1 振動結(jié)構(gòu)系統(tǒng)示意圖

式中：Fi(ω)為第i條路徑上的工作載荷；Ki(ω)為第i條路徑的復剛度曲線函數(shù)；Xsi(ω)為第i條路徑上主動側(cè)與耦合元件連接處的位移響應；Xpi(ω)為第i條路徑上被動側(cè)與耦合元件連接處的位移響應。為更有效地實現(xiàn)復剛度法，在實際應用中應特別關(guān)注以下幾點：

(1)復剛度測量應考慮實際結(jié)構(gòu)的正確預載荷、實際運行時邊界條件，以及環(huán)境參數(shù)如溫度等影響。

(2)當連接被動側(cè)和主動側(cè)的耦合元件的剛度相對于主被動側(cè)的局部剛度較大時，耦合元件兩端產(chǎn)生的位移差相對于主動方和被動方的變形很小，實測位移差值較小易導致測量誤差變大，進而使得載荷識別精度變差。此時復剛度法將不適合用于獲取工作載荷，可采用下文給出的逆矩陣法。

2.3 參數(shù)化模型的動剛度法

以上復剛度法獲取工作載荷時，需要準確地測量動剛度數(shù)據(jù)，然而受到諸多實際因素的影響，準確的動剛度數(shù)據(jù)獲取比較困難，致使復剛度法的應用受到一定限制。為克服上述問題，引入一種參數(shù)化的處理方法表示動剛度，該方法以工況數(shù)據(jù)為主同時輔以少量的頻響函數(shù)數(shù)據(jù)，達到快速并較為準確地獲取工作載荷的目的。首先構(gòu)造工作載荷的參數(shù)化模型。

式中：Fi(ω)為第i條路徑上的工作載荷；X?si，X?pi分別為主被動端的振動加速度響應。上式還可表示為

式中：Ki(ω)第i條路徑的動剛度數(shù)據(jù)，將其分兩種方式表示，一種是單自由度估計模型，利用單自由度系統(tǒng)模型擬合出一個參數(shù)化的動剛度表達式為

式中：mi，ci，ki表示該模型系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度。該單自由度估計模型適用于彈性的耦合連接件，作用在該結(jié)構(gòu)的耦合激勵力就屬于單自由度模型。而另一種方法則適用于剛性連接的多級等寬帶估計模型，其核心是假設(shè)在整個分析頻帶內(nèi)用等帶寬的剛度常數(shù)擬合動剛度，動剛度具體表達式為

式中：kn表示某固定頻率段內(nèi)的等效常數(shù)值。此處，以單自由度模型來分析其具體實施過程，首先，選擇恰當參考測點（如振動響應點或聲場的聲壓響應點），參考測點的響應（以振動加速度為例）可表示為

將式(8)表示成矩陣的形式，對r種不同的工況，可表示為

或

由式(9)可知，除求解物理參數(shù)mi，ci，ki外，最關(guān)鍵的是選擇不同工況下的響應數(shù)據(jù)（不同工況即為設(shè)備運行時的不同轉(zhuǎn)速、負載等）。為保證式(9)有穩(wěn)定的解，應滿足r＞3，即獨立或不相關(guān)的工況越多，模型參數(shù)估計就越準確。最終，可利用最小二乘法求解即為矩陣的廣義逆，實際計算中應特別注意矩陣Ζ可能存在的病態(tài)性導致結(jié)果計算誤差。得到相應的物理參數(shù)，可依據(jù)式(4)和式(5)實現(xiàn)載荷識別，由此實現(xiàn)的傳遞路徑分析方法稱為OPAX法。

2.4 逆矩陣法(Matrix Inversion Method MIM)

當耦合連接元件的剛度相對較大時，上述動剛度法獲取工作載荷將存在較大誤差，而在近似剛性連接的情況下，動剛度法將徹底失效，此時逆矩陣法是獲取路徑點工作載荷的另一種有效方法。此處以主動端（激勵源設(shè)備S）和被動端（接收結(jié)構(gòu)體R）連接為例對逆矩陣法進行詳細探討，并提出適用于不同頻響函數(shù)測量方式的逆矩陣法，即：一種將主動端拆除，分別在激勵點上單獨激勵獲取對應的頻響函數(shù)；另一種，保留主動端時采用直接測量法或互易性的方法測量頻響函數(shù)。具體如圖1所示，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)C由主動端S與被動端R組成，S和R在a處經(jīng)m條路徑連接，b代表n個參考點的組合，如響應Xb表示n個參考點響應的向量即Xn×1。

對于一線性時不變系統(tǒng)，當有激勵Fa（m個路徑點激勵力）時，存在響應（n個參考點速度響應），作用在接受體上的載荷力向量，可根據(jù)逆矩陣法估計如下

由系統(tǒng)的等效電路分析可知，a處的激勵力可表示為

式中：HS,aa為子結(jié)構(gòu)S在a點激勵a處響應的頻響函數(shù)（設(shè)備點導納）；HR,aa為子結(jié)構(gòu)R在a點激勵a處響應的頻響函數(shù)（接受體點導納）；為主動端在a點處的自由振速，它取決于振動系統(tǒng)的內(nèi)在運動特性，且和安裝狀態(tài)、實際工作情況、支撐均不相關(guān)，其是較佳的源特性描述參量。由自由振速可求得與之對應的鉗制力Fbf，具體表達式為

將式(12)代入式(11)得到Fa，然后將其代入式(10)得

對于整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)C，若在a處施加外部激勵力Fe，得到a處的振動速度。

設(shè)設(shè)備S工作激勵產(chǎn)生的響應與a處施加的激勵載荷Fe時相同，因此在a處存在路徑點的激勵力為，其與a或b處的速度響應關(guān)系可表示為

將式(15)代入式(14)可得

依據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的導納與兩個子結(jié)構(gòu)的導納的關(guān)系，上式表示為

由上式可見，F(xiàn)e為未移除振源設(shè)備時作用在a處的外部激勵力，為在該力作用下b處的速度響應，即存在以下關(guān)系式

因此，

此時，可將式(19)代入式(13)得到

式中：HC,ab表示在完整的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)C中，由參考測點b施加激勵力，測量a處的響應，進而獲取的頻響函數(shù)，此為互易性測量FRF的方法。式(20)中的鉗制力Fbf為恒力源，其僅與機械振動設(shè)備的本身特性相關(guān)，較好地描述了振動源的特性。分析可知，如振源設(shè)備易于拆除或結(jié)構(gòu)設(shè)計之初未加裝振源設(shè)備，此時可采用式(10)獲取激勵力；當振源設(shè)備不易移除時，實際工程中通常屬于此種情況，可將式(20)求取的工作力作為逆矩陣法的輸入，實現(xiàn)TPA。上述推導設(shè)備（主動端）與基座（被動段）剛性連接的情況下實現(xiàn)的，若設(shè)備和基座之間安裝了隔振裝置，即設(shè)備處于彈性安裝情況。此時可將推導方程中的基座導納HR等效為隔振裝置上端的導納HR′，同樣可以得到類似的結(jié)論。

為了準確識別工作載荷，應合理布置參考測點的數(shù)目和位置，而且需要方程式(10)或式(20)中的頻響函數(shù)的維數(shù)滿足n＞m。此時，頻響函數(shù)矩陣HR,ba或逆矩陣不存在，上述直接逆矩陣法將不適合。這時方程沒有精確解，但可求得最小二乘意義下的解。由于結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，如果各個激勵力引起的結(jié)構(gòu)振動由同一個或少數(shù)幾個模態(tài)作用，由激勵引起的參考點的響應之間可能存在較強相關(guān)性，使得載荷計算的頻響函數(shù)中包含的結(jié)構(gòu)信息存在著很大的相似性，這將導致頻響函數(shù)矩陣的病態(tài)。具有病態(tài)特性的FRF矩陣將導致不適定性問題的出現(xiàn)，該問題可能直接使得工作載荷的識別錯誤，而正則化算法正是一種解決此類不適定問題的有力工具[9]。

3 TPA方法比較驗證

此處以圖2的振動傳遞路徑系統(tǒng)模型（現(xiàn)實中諸多結(jié)構(gòu)均可以簡化為與此類似的模型）為例探討振動的具體傳遞過程，該模型為6自由度的線性時不變系統(tǒng)。其中，M表示質(zhì)量，C表示阻尼，K表示剛度。M1為主動端（振動設(shè)備），設(shè)質(zhì)量M1=100 kg，M2=10 kg，M3=30 kg，M4=50 kg，M5=50 kg，M6=200 kg；剛度K1=40 kN/m，K2=10 000 kN/m，K3=10 000 kN/m，K4=450 kN/m，K5=10 000 kN/m，K6=5 000 kN/m，K7=50 kN/m；阻尼C1=40 Ns/m，C2=10 Ns/m，C3=20 Ns/m，C4=100 Ns/m，C5=25 Ns/m，C6=25 Ns/m，C7=40 Ns/m。主動端的振動能量通過兩條傳遞路徑（M1?M2?M3?M6；M1?M4?M5?M6），傳遞至被動端M6引起目標點的響應x6?？梢姡撃Ｐ痛嬖趦蓚€不同的路徑激勵點M2和M4，激勵力分別為Fe2和Fe4。即目標點的響應可表示為x6=H62Fe2+H64Fe4。

圖2 振動傳遞路徑系統(tǒng)模型

上節(jié)詳細探討了可應用到工程實際中的載荷識別方法，這些識別方法應用于TPA時具有不同的前提條件、適用范圍以及計算效率。為此，結(jié)合振動傳遞路徑分析模型（見圖2），綜合評估路徑載荷獲取方法和頻響函數(shù)獲取方式在TPA中的應用效果。本節(jié)不考慮隨機噪聲對頻響函數(shù)估計的影響，采用H1估計方法獲取頻響函數(shù)[10]，具體分兩種方式：一種將主動端(M1)拆除，分別在M2和M4上單獨激勵，即利用直接法獲取頻響函數(shù)(Case I)；另一種，保留主動端，可在M6等測點施加激勵力，在M2和M4處提取響應，即利用互易法獲取FRF(Case II)。在M1上施加外部激勵力，激勵頻率范圍為0～300 Hz，激勵幅值為6 N，將M6作為目標點，TPA方法的程序均通過MATLAB軟件編程實現(xiàn)。

此處，將三種TPA方法在目標點M6計算的位移合成幅值和真實響應幅值進行對比，用以判斷不同方法的有效性。圖3到5分別為MIM-TPA，CSMTPA，OPAX方法計算的M6處位移響應值，由圖比較可以看出，三種方法在Case I時，TPA的合成響應與真實響應幾乎重合在一起。而在Case II時，三種方法TPA合成結(jié)果與Case I相比，其精度存在不同程度的降低。CSM-TPA法在低頻段出現(xiàn)較小偏差，合成性能稍遜于MIM-TPA法。OPAX法合成結(jié)果存在較大誤差，遠大于CSM-TPA法和MIM-TPA法。MIM-TPA法除了個別點有輕微的偏差以外，Case I和Case II時的結(jié)果均表現(xiàn)較好，誤差產(chǎn)生的原因為：Case II時互易法測量FRF，測量點與真實的路徑點不一致導致計算誤差；在固有頻率處，獲取的頻響函數(shù)矩陣存在病態(tài)，而計算誤差在載荷識別求解過程中被擴大，最終傳遞到TPA計算結(jié)果中。

圖3 MIM-TPA法Case I和Case II時合成位移值

圖4 CSM-TPA法Case I和Case II時合成位移值

由MIM-TPA，CSM-TPA，OPAX法計算的響應幅值與真實位移響應幅值之間的誤差曲線（見圖6，7），可進一步看出，在Case I情況下，三種方法合成值與真實響應吻合非常好；在Case II情況下，CSMTPA和OPAX法合成值與真實值偏離很大，尤其是OPAX法，除了在某些峰值頻率處吻合略好以外，其他頻率處合成結(jié)果基本不可信，而MIM-TPA法依然保持著比較可靠的合成結(jié)果。

圖5 OPAX法Case I和Case II時合成位移值

圖6 Case I時合成值與真實值的誤差曲線

圖7 Case II時合成值與真實值的誤差曲線

綜上，動剛度方法和逆矩陣法在Case I時TPA合成結(jié)果精度相當，而Case II時前者的合成精度有所下降。這主要由于在求解FRF時主動端（振動設(shè)備）未解耦，使得計算存在初始剛度，造成誤差。而參數(shù)化模型的復剛度法對動剛度的簡化，進一步擴大了計算誤差。

2.4.2 物理參數(shù)對TPA方法性能影響

不同的物理參數(shù)如質(zhì)量M，阻尼C，剛度K對結(jié)構(gòu)（圖2的模型）的振動傳遞特性和振動響應存在不同程度的影響，如振源的機械阻抗直接受振源質(zhì)量M1，阻尼C1、C4以及剛度系數(shù)K1、K4的影響，改變這些參數(shù)將影響主動端（振源）和被動端（接受體）之間的阻抗匹配，進而影響整個振動傳遞的過程。本節(jié)主要考慮剛度系數(shù)的變化對TPA結(jié)果的影響，將剛度系數(shù)Ka(K1=4 N/m，K4=45 N/m)變化為Kb（K1=4×108N/m，K4=4.54×109N/m）。振動位移的響應值為復數(shù)（包括幅值和相位信息），為真實反映各種方法的TPA合成結(jié)果，表1計算出了位移響應合成值與真實值的相對誤差水平。

表1 位移響應合成值與真實值的相對誤差水平

由表可以看出，在Case I且剛度系數(shù)較小的條件下，CSM-TPA、OPAX法合成響應結(jié)果均具有較高精度，MIM-TPA法在個別頻點處誤差偏大。在Case II時，OPAX的合成響應與真實值間的誤差急劇變大，結(jié)果不可靠。而振動源拆除與否對MIM-TPA法合成結(jié)果影響有限，即誤差沒有明顯的增加或減少。隨著剛度系數(shù)增加到較大值時，在CSM-TPA、OPAX法合成的目標點響應值與真實值的誤差顯著增加，尤其對于OPAX方法。造成以上誤差的原因主要為耦合元件兩端產(chǎn)生的位移差相對于主動方和被動方的變形很小，實測位移差值較小易導致測量誤差變大，該誤差會傳遞到估算的激勵力結(jié)果中，導致累積誤差增大，最終使得TPA合成結(jié)果精度降低。而MIM-TPA法因綜合考慮參考點振動響應信息，反映結(jié)構(gòu)振動信息較全面，TPA合成結(jié)果比較可靠且具有較好的穩(wěn)定性。

4 結(jié)語

本文比較了復剛度法(CSM)、參數(shù)化模型的動剛度法、融入新策略的逆矩陣法(MIM)的適用范圍、各自特點，建立了相應的TPA方法即CSM-TPA方法、OPAX方法、MIM-TPA方法，并進行系統(tǒng)深入的分析。多自由度模型算例分析結(jié)果表明：測量FRF時拆掉主動端，應用CSM-TPA、OPAX、MIM-TPA法均可得到較好的TPA合成結(jié)果。若剛度系數(shù)已知，CSM-TPA法應優(yōu)先考慮，否則可選擇OPAX法。而在保留主動端的情況下，MIM-TPA法是最佳的選擇，若此時剛度系數(shù)較小，CSM-TPA法也能得到可接受的計算精度，但隨著剛度系數(shù)的不斷增加CSMTPA、OPAX法很可能失效，此時只能選擇MIM-TPA法。若剛度系數(shù)未知，可選用MIM-TPA法和OPAX法，當兩種方法均能達到預定的精度要求時，應優(yōu)先選擇計算更快、更易實現(xiàn)的OPAX方法。可見，TPA中載荷獲取方法應綜合考慮結(jié)構(gòu)特性、設(shè)備的布置情況以及計算時間、精度要求。