☉清華大學(xué)附屬中學(xué) 侯陳雋

一、問(wèn)題的提出

能源是人類生存和發(fā)展的重要基礎(chǔ).我們?nèi)粘＜彝ド钪惺褂玫碾姛?、洗衣機(jī)、冰箱、空調(diào)等要消耗電，做飯燒水要消耗天然氣等.我們的生活用能變化蘊(yùn)含著怎樣的變化規(guī)律？如何建立數(shù)學(xué)模型來(lái)反映這些規(guī)律并進(jìn)行預(yù)測(cè)？

二、數(shù)據(jù)收集處理

從“中國(guó)經(jīng)濟(jì)與社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)”（http：∥#cnki.net/）上獲得1990-2015年居民生活用能情況.由于獲得的液化石油氣、天然氣、煤氣的消耗量單位不同，因此按照這3種氣體大致的熱值12 000Kcal/kg、8500Kcal/m3、3500Kcal/m3計(jì)算得到總用氣量，處理后的數(shù)據(jù)見表1（為減少篇幅，表1僅列出了每5年的數(shù)據(jù)，本文數(shù)學(xué)建模用了25年數(shù)據(jù)）.

繼續(xù)查詢了1990-2015年城鎮(zhèn)與農(nóng)村居民人均收入、城鎮(zhèn)人口比重?cái)?shù)據(jù).統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中關(guān)于人均收入給出了兩個(gè)值，一是當(dāng)年價(jià)的人均收入，二是相對(duì)于1978年的指數(shù).由于貨幣量指標(biāo)涉及價(jià)格問(wèn)題，不同年份間的貨幣量為了可比較需要剔除由于通貨膨脹等引起的價(jià)格變化因素.因此根據(jù)下面計(jì)算式計(jì)算出全國(guó)居民以2015年價(jià)格計(jì)算的人均收入It，結(jié)果如表2所示（同樣為減少篇幅僅給出每5年的數(shù)據(jù)）.

其中Ut表示t年城市人口比重，UIDt、CIDt分別表示城鎮(zhèn)與農(nóng)村居民t年的當(dāng)年價(jià)人均收入，UDt、CDt分別表示城鎮(zhèn)與農(nóng)村居民t年人均收入相對(duì)于1978年的指數(shù).

三、模型建立

1.人均生活用能變化規(guī)律

為了探究人均生活用能的變化規(guī)律，將上述處理過(guò)的分類用能數(shù)據(jù)與人均收入數(shù)據(jù)用Excel畫圖顯示，見圖1，其中的散點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，曲線與直線分別用多項(xiàng)式函數(shù)和線性函數(shù)擬合.

表1 1990-2015年人均生活用能數(shù)據(jù)

表2 1990-2015年人均收入數(shù)據(jù)

圖1 人均生活用能（電、氣、煤）隨人均收入變化的規(guī)律

多項(xiàng)式函數(shù)可以較好地描述已有的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，但是我們建立人均生活用能數(shù)學(xué)模型的一個(gè)重要目的是預(yù)測(cè)未來(lái)人均收入進(jìn)一步提高后的人均生活用能情況，而多項(xiàng)式數(shù)學(xué)模型將使得當(dāng)人均收入達(dá)到25000元時(shí)人均生活用電量及人均生活總用能量都呈下降趨勢(shì)，與現(xiàn)實(shí)不符，故不宜使用.

人均生活用電與用氣量均隨人均收入的增加而增加，而且大致可以用線性函數(shù)進(jìn)行描述.在人均收入5000元之前，人均用電與用氣量都很低，煤炭是主要的生活燃料.但煤炭燃燒會(huì)造成嚴(yán)重的大氣污染與室內(nèi)污染，危害居民身體健康.隨著人均收入的提高，一方面居民有能力選擇價(jià)格更高的清潔能源，另一方面居民的健康與環(huán)境保護(hù)意識(shí)加強(qiáng)，因此人均用煤量不斷下降.當(dāng)人均收入低于5000元時(shí)，由于人均用煤量的降低，人均生活總用能也呈下降趨勢(shì)；當(dāng)人均收入高于5000元時(shí)，人均生活總用能隨人均收入的提高而增加，而且也大致呈線性關(guān)系.

2.線性函數(shù)模型

設(shè)t年的人均收入為自變量xt，人均生活用能（或人均用煤量或人均用電量或人均用氣量）為因變量yt，若x與y之間存在近似的線性相關(guān)關(guān)系，則可以用下面的回歸直線方程來(lái)表示這種關(guān)系：

為使得回歸值與統(tǒng)計(jì)值間全部誤差的平方和達(dá)到最小，系數(shù)a和b的計(jì)算公式如下：

檢驗(yàn)變量x與y相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)量相關(guān)系數(shù)R的計(jì)算公式如下：

其中T為25.

應(yīng)用上述計(jì)算式可以求得人均生活用電量與人均收入的相關(guān)系數(shù)R為0.99，R非常接近于1，說(shuō)明線性相關(guān)程度非常強(qiáng).在《高中數(shù)學(xué)選修2-3》附表中可以查到R0.01為0.505，R>R0.01，因此有99%的把握認(rèn)為人均收入與人均生活用電量之間具有線性關(guān)系，建立的線性函數(shù)模型如下：

ELEt=0.027It-23.8.

其中ELEt為人均用電，It為人均收入.該線性函數(shù)的斜率表明人均收入每增加1千元，人均用電將增加27度.

同樣可以求得人均生活用氣量與人均收入的相關(guān)系數(shù)R為0.98，人均生活用電量與人均收入間的線性函數(shù)模型如下：

GASt=0.002It+2.172.

其中GASt為人均用電，It為人均收入.該線性函數(shù)的斜率表明人均收入每增加1千元，人均用氣每年將增加2m3.

用相同的方法可以得到當(dāng)人均收入低于5000元時(shí)人均生活用煤量與人均收入的相關(guān)系數(shù)R為0.98，人均生活用煤量與人均收入間的數(shù)學(xué)模型可表示為：

其中COAt為人均用煤，It為人均收入.當(dāng)人均收入低于5000元時(shí)，人均收入每增加1千元，人均用煤量每年將下降42kg；當(dāng)人均收入高于5000元后人均煤炭的使用量大致穩(wěn)定在70kg左右.若要進(jìn)一步下降煤炭消費(fèi)量，政府需要加強(qiáng)電網(wǎng)、天然氣管道的建設(shè)，使得更多的居民在收入提高后可以獲取清潔的能源而不再使用煤炭.

用相同的方法可以求得人均生活總用能量與人均收入的相關(guān)系數(shù)R為0.98，人均生活用氣量與人均收入間的線性函數(shù)模型為：

ENEt=0.013It+79.79.

其中ENEt為人均生活總用能，It為人均收入.人均收入每增加1千元，每年人均生活總用能將增加13kgce.

四、模型的改進(jìn)與應(yīng)用

應(yīng)用上述線性函數(shù)模型可以預(yù)測(cè)未來(lái)的人均生活用能情況.例如，當(dāng)人均收入增加至30000元時(shí)，人均生活總用能、人均生活用電量、人均生活用氣量將分別增加到470kgce左右、786度、62m3左右.當(dāng)人均收入達(dá)到1.5萬(wàn)美元即10萬(wàn)元時(shí)，人均生活總用能、人均生活用電將達(dá)到1380kgce、2676kWh左右.而英國(guó)當(dāng)前人均收入約是我國(guó)居民的10倍左右，其人均生活總用能、人均生活用電僅分別為800kgce、2000kWh.因此需要對(duì)線性函數(shù)模型進(jìn)行改進(jìn)，以反映我國(guó)大力提倡的節(jié)能減排政策.

考慮到人均生活用能不能隨人均收入的增長(zhǎng)而持續(xù)增長(zhǎng)，應(yīng)該控制在一個(gè)合理的水平之下，因此應(yīng)用如下的函數(shù)形式建立數(shù)學(xué)模型：

ENEt=ENE0eαeβIt，

圖2 應(yīng)用分段數(shù)學(xué)建模對(duì)人均生活用能的預(yù)測(cè)

應(yīng)用此模型預(yù)測(cè)得到的人均收入10萬(wàn)元時(shí)的人均生活總用能為785kgce，在人均收入達(dá)到12.5萬(wàn)之后人均生活總用能維持在800kgce左右.

若假設(shè)當(dāng)前英國(guó)居民的人均生活用電量2000KWh為合理生活用電控制水平，以為縱坐標(biāo)，It為橫坐標(biāo)作圖，擬合的曲線也呈線性關(guān)系，計(jì)算的相關(guān)系數(shù)R為0.97，α，β分別為-3.904、-5.63E-5.取收入60000元作為兩個(gè)模型預(yù)測(cè)的分段點(diǎn)預(yù)測(cè)的人均生活用電結(jié)果見圖3，改進(jìn)后的模型可以表示為：

應(yīng)用該模型可預(yù)測(cè)當(dāng)人均收入達(dá)到10萬(wàn)元后人均生活用電大致維持在2000kWh.

圖3 應(yīng)用分段數(shù)學(xué)建模對(duì)人均生活用電的預(yù)測(cè)

五、結(jié)論

在一定的收入水平范圍內(nèi)，人均生活用能（用電、用氣）與人均收入成線性相關(guān)，可以建立線性函數(shù)模型預(yù)測(cè)人均收入一定增長(zhǎng)后的人均生活用能（用電、用氣）；當(dāng)人均收入幾倍甚至幾十倍于擬合所采用的統(tǒng)計(jì)值時(shí)，應(yīng)該考慮采用合理控制水平的數(shù)學(xué)模型.這種建立線性函數(shù)模型與考慮合理控制水平數(shù)學(xué)模型相結(jié)合進(jìn)行分段預(yù)測(cè)的方法可以推廣適用于其他方面，比如戶均空調(diào)擁有量的預(yù)測(cè)等.