☉福建省泉州第五中學(xué) 黃種生 王輝耀

一些數(shù)學(xué)題，理解或從正面直接求解有困難時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到命題的否定，間接理解或者間接求解，這時(shí)常常會(huì)發(fā)現(xiàn)，問題變得簡(jiǎn)單了.但這不是絕對(duì)的，有時(shí)候在對(duì)命題進(jìn)行否定時(shí)，問題并沒有變得簡(jiǎn)單，反而更復(fù)雜了，不小心還會(huì)出現(xiàn)推理上的錯(cuò)誤，引起思維的混亂.下面指出幾個(gè)高中常見的此類問題，以期引起大家的重視.

例1 設(shè)全集為R，求下列集合的補(bǔ)集.

分析：這題有兩種解法，解法一是先解不等式求集合A，再求A的補(bǔ)集；解法二是用命題的否定，先寫出集合A的補(bǔ)集的形式，再解不等式求出A的補(bǔ)集，現(xiàn)用解法二解題.

解：（1）RA={x|x2-3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}.

由第（2）和第（3）小題知道，對(duì)不等式進(jìn)行否定，不僅要在不等式有意義時(shí)進(jìn)行否定，還要考慮到不等式無意義時(shí)變量的取值范圍，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例2（陜西人民出版社出版的2018年理科數(shù)學(xué)《創(chuàng)新設(shè)計(jì)二輪專題復(fù)習(xí)》P83的例6）若對(duì)任意t∈［1，2］，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.

解法一：g（′x）=3x2+（m+4）x-2.若g（x）在區(qū)間（t，3）上總為單調(diào)函數(shù)，則g（′x）≥0在（t，3）上恒成立，或g（′x）≤0在（t，3）上恒成立.

由3x2+（m+4）x-2≥0，得m+4≥-3x，當(dāng)x∈（t，3）時(shí)恒成立，所以m+4≥-3t恒成立，則m+4≥-1，即m≥-5；

由3x2+（m+4）x-2≤0，得m+4≤-3x，當(dāng)x∈（t，3）時(shí)恒成立，所以m+4≥-9，即m≤-.

所以，使函數(shù)g（x）在區(qū)間（t，3）上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為-＜m＜-5.

解法二：g（′x）=3x2+（m+4）x-2.

因?yàn)間（x）在區(qū)間（t，3）上不總為單調(diào)函數(shù)，所以g（′x）在（t，3）上的值有正有負(fù)，由于g（′0）=-2＜0，所以方程g（′x）=0的根必是一正一負(fù)，且正根在區(qū)間（t，3）上.

所以，使函數(shù)g（x）在區(qū)間（t，3）上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為-＜m＜-9.

分析：解法一是書本提供的“規(guī)范解答”，它是先對(duì)命題進(jìn)行否定，求出命題的反面時(shí)m的取值范圍，從而求出m的取值范圍.解法二是從正面出發(fā)，直接求出m的取值范圍.兩者的答案是不一樣的，即兩種解法中必有一種是錯(cuò)誤的.分析發(fā)現(xiàn)，解法一是錯(cuò)誤的，即書本提供的“規(guī)范解答”是錯(cuò)誤的，那么，它錯(cuò)在哪里呢？就錯(cuò)在對(duì)命題的否定上.

由于原命題是全稱命題，必須用到對(duì)全稱命題的否定，所以它的否定是“存在t0∈［1，2］，使得函數(shù)g（x）在區(qū)間（t0，3）上為單調(diào)函數(shù)，即存在t0∈［1，2］，使得g′（x）≥0在（t0，3）上恒成立，或g′（x）≤0在（t0，3）上恒成立.”

而解法一是這樣寫的：“若g（x）在區(qū)間（t，3）上總為單調(diào)函數(shù)，則g′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或g′（x）≤0在（t，3）上恒成立.”它并沒有指出t的取值范圍，但從解題過程中我們看出，它用的是上述問題對(duì)任意t∈［1，2］恒成立，這一判斷不是對(duì)原命題的否定，從而是錯(cuò)誤的.

因此，從反面求解，正確的解法是：

解法三：g′（x）=3x2+（m+4）x-2.如果命題不成立，則存在t0∈［1，2］，使得函數(shù)g（x）在區(qū)間（t0，3）上為單調(diào)函數(shù)，即存在t0∈［1，2］，使得g′（x）≥0在（t0，3）上恒成立，或g′（x）≤0在（t0，3）上恒成立.

由3x2+（m+4）x-2≥0，得m+4≥-3x，當(dāng)x∈（t，3）0時(shí)恒成立，即存在t∈［1，2］，使m+4≥-3t，則m+4≥00-5，即m≥-9；

由3x2+（m+4）x-2≤0，得m+4≤-3x，當(dāng)x∈（t，3）0時(shí)恒成立.

所以，使函數(shù)g（x）在區(qū)間（t，3）上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為-＜m＜-9.

從例2可以看到，解法一對(duì)命題的否定時(shí)，沒有把“任意t∈［1，2］”改為“存在t0∈［1，2］”，從而出現(xiàn)了邏輯上的錯(cuò)誤，導(dǎo)致書本提供的“規(guī)范解答”出錯(cuò).

例3（2018年全國(guó)理科Ⅰ卷第20題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

（Ⅰ）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0.

（Ⅱ）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

（1）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E（X）；

（2）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值作為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

分析：高考后，本題第（Ⅱ）問的（2）有爭(zhēng)議，問題出在對(duì)題設(shè)條件“是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)”的理解不同.

理解一：這是官方的理解，本題是統(tǒng)計(jì)題，面對(duì)的是大批量的產(chǎn)品，產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每箱先抽取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這里的選項(xiàng)只有兩個(gè)：要么對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)（全檢），要么對(duì)余下的所有產(chǎn)品都不作檢驗(yàn)（全不檢），不存在部分檢驗(yàn)的問題，由此得到的官方解答是：

解法一：（Ⅱ）（2）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢查費(fèi)用為400元.

由于E（X）＞400，故應(yīng)對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

站在統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來看，這種解答是沒有問題的，因?yàn)樗紤]的是實(shí)際需求，要檢驗(yàn)的是大批量的產(chǎn)品，不僅僅是一箱，而是許多箱，所以只需對(duì)“全檢”和“全不檢”的費(fèi)用作比較即可.但是，懂得這種統(tǒng)計(jì)學(xué)背景知識(shí)的只有具有產(chǎn)品檢查經(jīng)驗(yàn)的人才知道，普通高中生和中學(xué)一線數(shù)學(xué)老師對(duì)這種背景要求并不清楚，他們只能從題目的文字表述中去進(jìn)行理解，這就產(chǎn)生了第二種理解.

理解二：“是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)”包含兩個(gè)內(nèi)容：

①是.對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，即“全檢”.

②否.不對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).這是對(duì)全稱命題的否定，包括對(duì)余下的所有產(chǎn)品都不作檢驗(yàn)和對(duì)余下的部分產(chǎn)品作檢驗(yàn)，部分產(chǎn)品不作檢驗(yàn)，即“全不檢”和“部分檢”.由此產(chǎn)生了第二種解答：

解法二：（Ⅱ）（2）設(shè)對(duì)這箱余下的180件產(chǎn)品中的r（0≤r≤180）件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和記為Y，則E（Y）=2r+25（180-r）×=450-，易知E（Y）單調(diào)遞減，當(dāng)r=180時(shí)，E（Y）取得最小值.

所以應(yīng)對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).

從以上分析可以看出：站在統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來看，題目是正確的，題意是清楚的.但是，普通的高中生和中學(xué)一線數(shù)學(xué)老師對(duì)這種背景要求并不清楚，由于高中生在高中數(shù)學(xué)課本邏輯部分學(xué)過對(duì)全稱命題的否定，高考還經(jīng)常在選擇題中對(duì)此進(jìn)行考查，而且該題目又是出現(xiàn)在全國(guó)的數(shù)學(xué)高考卷中，因此，第二種理解及相應(yīng)的解法是正常的、合理的.從中我們看到命題人雖然用心良苦，但由于忽視了對(duì)全稱命題的否定的理解，從而引起了爭(zhēng)議.如果注意到這個(gè)問題，把題目中的題設(shè)條件“再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)”改為“再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定對(duì)余下的所有產(chǎn)品要么全作檢驗(yàn)，要么全不作檢驗(yàn)”.這樣改雖然稍顯繁瑣，但題意就更明確了，不會(huì)引起誤解.

從上可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)一些由式子表達(dá)的命題，恒成立的命題，由“或”與“且”連接的命題進(jìn)行否定時(shí)，要注意其邏輯關(guān)系，才不會(huì)出錯(cuò)或者引起思維的混亂.