☉江蘇省啟東中學 胡 勇

一、引言

基本活動經(jīng)驗是數(shù)學課程標準中提出的“四基”之一，也是近年來教育教學研究的熱點，相關的研究論文很多.在眾多研究結果中，對數(shù)學活動經(jīng)驗的認識和理解還存在著一定程度的差異，但在以下兩個方面卻基本上保持一致.

一是對數(shù)學活動經(jīng)驗的價值認同，即“數(shù)學活動的過程不僅能夠加深學生對數(shù)學概念、性質、定理的理解，同時數(shù)學活動經(jīng)驗的積累也是形成學生創(chuàng)新能力的基礎.”

二是對數(shù)學活動經(jīng)驗的形成機制，即“學生的數(shù)學活動經(jīng)驗是在做數(shù)學的過程中形成的，它的產(chǎn)生和形成實質上是學生經(jīng)歷數(shù)學活動的過程.”

下面以筆者近期在本校開設的一節(jié)市級公開課為例，談談對促進學生數(shù)學活動經(jīng)驗積累的探索和思考.

二、基本情況分析

1.教學內容分析

直線與橢圓的位置關系是學生學習的難點之一，主要表現(xiàn)在：對問題的本質理解模糊，只知“埋頭運算”，不知“抬頭識路”，缺乏解題策略的選擇意識，往往因為方法不合理而半途擱淺，或因計算過于煩瑣而產(chǎn)生厭煩、畏懼心理.針對學生這一普遍存在的困惑，在復習橢圓及其性質后設計本節(jié)探究內容，讓學生在自主探究的過程中體會解決解幾問題的一般策略和方法.

2.教學目標

（2）通過探究橢圓的性質，理解直線與橢圓問題解決一般策略和方法；

（3）了解類比在數(shù)學發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新過程中的作用，領略數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一般過程和快樂.

3.教學重難點

類比圓的性質得出橢圓的相關結論.

三、教學實錄

1.情境引入

師：著名天文學家開普勒曾說過：“我珍視類比勝過任何東西，它是我最可信的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中，它應該說是最不能忽視的.”開普勒如此推崇類比，可見它在自然科學更多是在數(shù)學發(fā)展中的重要地位.今天，就讓我們一起來運用這一有力武器，探究并發(fā)現(xiàn)橢圓中的一些結論.

點評：用偉大科學家的話激發(fā)學生學習的興趣.開場白直接點明類比思想，為接下來的發(fā)現(xiàn)之旅指明方向.

2.自主探究，意義建構

探究問題1：如圖1，已知圓O：x2+y2=r（2r>0）上兩點M，N，且OM⊥ON.在此條件下你能得出哪些結論？類比到橢圓中，你能得出哪些猜想？

學生分組討論、交流，教師巡視.大約5分鐘后由小組指派代表發(fā)言.

圖1

圖2

生2（另一小組成員）：錯了！兩直線垂直的條件也要改.

師：怎么改？為什么？

學生獨立探究，教師對學習困難的同學進行點撥，大約10分鐘后學生展示成果.

生3：猜想成立，證明如下：

故猜想成立.

師：很好.除了上述猜想，同學們還有別的猜想嗎？

生4：類比圓中結論OM2+ON2=2r2有OA2+OB2=a2+b2.利用上述證明可得：

生5：類比圓中弦中點的軌跡還是圓，猜想橢圓中弦AB的中點P的軌跡仍是橢圓.

所以線段AB的中點P的軌跡是橢圓，

探究問題2：想一想圓中與兩直線垂直的有關結論，它們可以類比到橢圓中嗎？

學生分組探討、交流，教師參與討論，適時點撥.大約10分鐘后由各組指派同學展示探究成果.

生6：類比“圓中直徑所對圓周角是直角”得到：如圖3，已知點A，B，P在橢圓上，若直線PA，PB的斜率存在，則A，B關于原點對稱

圖3

生7：類比“圓中平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦”得到：如圖4，已知與坐標軸不垂直的直線l與橢圓交于點A，B，線段AB的中點為M，則

圖4

證明如下：設M（x0，y0），則

圖5

點評：從探究的空間、時間、層次等方面為學生營造了一個較為寬松的探究情境，使得整個探究過程基本上自成體系、有序、環(huán)環(huán)相扣，各個探究過程之間密切相關，做到由淺入深、由易到難、由現(xiàn)象到本質.

師：請同學們總結一下，我們得到哪些結論.

②OA2+OB2=a2+b2；

點評：數(shù)學知識是可以直接授受的，但數(shù)學活動經(jīng)驗卻不能傳遞，只有學生親身經(jīng)歷自主探究，完整經(jīng)歷數(shù)學家發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論的一般過程，才能夠切身體會知識發(fā)生發(fā)展的過程，提高運算求解和思維能力，體驗學科研究的一般方法，積累活動經(jīng)驗.

3.反思總結，凸顯本質

（1）本節(jié)課得到了橢圓的哪些性質？

（2）本節(jié)課在證明橢圓有關性質時運用了哪些方法？

（3）本節(jié)課得到橢圓性質的過程，遵循了怎樣的研究方法和一般過程？

點評：讓學生反思經(jīng)歷的數(shù)學活動，回顧基本知識、技能，感悟科學研究的一般方法和過程，使得學生所獲得數(shù)學活動經(jīng)驗由“懵懂模糊”逐漸“清晰明確”，重新建構認知體系.

四、數(shù)學活動的幾點認識

1.數(shù)學活動開展立足于教師的精心預設

成功的課堂教學離不開預設，只有精彩的預設，才能和諧生成.設計什么樣的數(shù)學活動才能真正提升學生的數(shù)學活動經(jīng)驗呢？

首先，要對學生原有認知結構中的數(shù)學活動經(jīng)驗進行分析與聯(lián)結.數(shù)學學習的類似性使得儲存在學生頭腦中的數(shù)學活動經(jīng)驗具有很強的遷移性和認同性，因此在分析數(shù)學知識、數(shù)學技能、數(shù)學學習心理特征時，還應將學生數(shù)學活動經(jīng)驗分析納入學情分析的范圍.

其次，結合學情和教學內容確定數(shù)學活動經(jīng)驗積累的具體、可行的目標.目標解析采用條目式，以求簡潔、準確表達“理解”、“掌握”的具體內容.

最后，合理設計數(shù)學活動的各個環(huán)節(jié).活動的進程設計除了觀察、實驗、操作、探討和交流等操作層面外，更要注重數(shù)學活動背后蘊涵的數(shù)學思維活動，“數(shù)學活動經(jīng)驗的核心應是數(shù)學思維活動經(jīng)驗.”

2.數(shù)學活動經(jīng)驗生成于學生的自主探究

數(shù)學活動經(jīng)驗是動作和心智交互作用的結果.學生是學習的主體，教師要注意角色定位的轉換，由傳統(tǒng)的知識傳授者轉向現(xiàn)代的學生發(fā)展的促進者.教師的角色應定位在組織指導者、合作交流者，課堂是復雜的，運動變化的，由于多種不確定因素的存在和相互作用，“預設”不可能窮盡課堂所有可能的變化.當學生遇到這樣那樣的挫折和失敗需要得到幫助時，教師應該鼓勵、引導.

3.數(shù)學活動經(jīng)驗提升于學生的反思悟透

弗萊登爾說過：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力，沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”.學生在經(jīng)歷數(shù)學活動后，所形成的數(shù)學活動經(jīng)驗是懵懂模糊的，只有對數(shù)學知識形成過程中體現(xiàn)的研究方法和研究經(jīng)驗進行適當?shù)目偨Y和反思，才能進行合理的知識建構，才能提高自己的思維能力，才能使所獲得的數(shù)學活動經(jīng)驗更加清晰明確.教師作為教學的主導者、幫助者、引導者，一定要有反思的意識和習慣，要多在反思體驗處構建數(shù)學活動經(jīng)驗，以促進學生認知結構的發(fā)展.