☉江蘇省徐州市第二中學(xué) 馬姍姍

新課改后，立體幾何定位于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力、空間想象能力和推理論證能力等，淡化了對幾何嚴(yán)格證明的要求，但數(shù)學(xué)是一門以嚴(yán)謹(jǐn)著稱的學(xué)科，那么缺失了嚴(yán)格證明的立體幾何教學(xué)，其嚴(yán)密性如何保障，如何讓學(xué)生真正理解立體幾何中的重要定理、性質(zhì)？這就需要在教學(xué)中強(qiáng)化“思辨”能力的作用.思辨能力顧名思義就是思考辨析能力，即通過分析、推理、判斷等思維活動(dòng)對事物的情況、類別、事理等的辨別分析.下面筆者就以“線面平行的判定”一課為例，談?wù)剬Υ说目捶?

一、結(jié)合生活現(xiàn)實(shí)，“思辨”解決方案

我們生活的世界不僅被形形色色的幾何現(xiàn)象與模型所包圍，大到高樓大廈、公路橋梁，小到橡皮鉛筆、螺絲尺具，而且很多生活問題本質(zhì)上就是立體幾何問題，通過對生活問題的“思辨”，我們能夠獲得蘊(yùn)藏在其中幾何原理.比如，木工用一把直尺在桌面上隨處置放，如果尺上有兩點(diǎn)在桌面上，而有其他不在桌面上，則就說明桌面不平整，否則桌面就是平的；在裝箱子的蓋子時(shí)，用到兩塊鉸鏈與一把鎖，從而把蓋子固定在箱子上.上述兩個(gè)例子就蘊(yùn)含著立體幾何的兩大公理.不僅如此，現(xiàn)行教材的編寫也是遵循從“生活模型中發(fā)現(xiàn)”的思路，空間中的位置關(guān)系基本上都是從生活實(shí)例中提煉出來的.因此，結(jié)合生活現(xiàn)實(shí)進(jìn)行“思辨”是立體幾何教學(xué)的第一步，它有助于明確問題的解決方案.

師：如何保證教室里所安裝的日光燈與地面平行？

生1：測量一下日光燈兩端到地面的距離，看它們的長度是否一樣.（根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快想到了辦法）

生2：只要保證日光燈兩端的繩子的長度一樣就行.

師：我們發(fā)現(xiàn)教室里的日光燈確實(shí)是這樣安裝的，那你能把這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？其中蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)原理？

生3：這就是線面平行問題，通過這個(gè)現(xiàn)象，我們可以得到一個(gè)結(jié)論：如果直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則這條直線與平面平行.

師：你們認(rèn)為這個(gè)結(jié)論在空間中成立嗎？

生4：不成立，如果直線與平面相交，照樣可以找到兩點(diǎn)到平面的距離相等.

師：為什么在生活中是正確的經(jīng)驗(yàn)，到了數(shù)學(xué)中就不對了呢？

生5：因?yàn)橹本€可以無限延伸，而日光燈的長度是有限的.

師：那在空間中如何判定線面平行呢？如果直線上有三個(gè)點(diǎn)到平面距離相等，你認(rèn)為能否判定直線與平面是否平行？

生6：好像也不對.如果直線在平面內(nèi)，那么直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等.

師：那如何改進(jìn)判定方法呢？

生7：“平面外”的一條直線有三個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則直線與平面平行.

當(dāng)學(xué)生對空間圖形認(rèn)識不清時(shí)，基于錯(cuò)誤的空間認(rèn)識進(jìn)行推理就會得到錯(cuò)誤的結(jié)論.借助現(xiàn)實(shí)的具體模型與生活現(xiàn)象進(jìn)行“思辨”，不僅有利于促進(jìn)學(xué)生對于空間問題的理解，而且有利于架起學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)原理聯(lián)系的橋梁.通過不斷的“嘗試”，不斷的“思辨”，學(xué)生逐步明確了解決問題的方案.

二、聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)，“思辨”論證方向

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識不能簡單地由教師進(jìn)行“復(fù)制”再“粘貼”到學(xué)生的頭腦中，而只能是每個(gè)學(xué)生依據(jù)已有的知識和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地加以建構(gòu)的過程.學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)是課堂教學(xué)的“出發(fā)點(diǎn)”，也是知識的“生長點(diǎn)”，這在立體幾何“公理化”的論證思想中體現(xiàn)的淋漓盡致.所謂“公理”是“人們普遍認(rèn)為正確的結(jié)論”，毫無疑問，公理依賴于“經(jīng)驗(yàn)”，從公理出發(fā)通過演繹證明從而獲得新的定理、性質(zhì)、推論.其論證思想也可以直接理解為從“已有的經(jīng)驗(yàn)”出發(fā)獲得更多的“新的經(jīng)驗(yàn)”.

師：剛才有同學(xué)提出“‘平面外’的一條直線有三個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則直線與平面平行”.這個(gè)結(jié)論正確嗎？

生：正確，三點(diǎn)到平面距離相等就可以得到直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等.

師：這個(gè)判定方法在實(shí)際操作中方便嗎？

生：需要測量三個(gè)點(diǎn)的距離，不好操作.

師：在空間中，作出點(diǎn)到面的距離并不是件容易的事，因此這個(gè)判定方法需要進(jìn)一步改進(jìn).大家回憶一下，在初中我們是如何判斷線線平行的？

生8：利用角度關(guān)系，比如內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)等.

生9：利用平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形對邊平行.

師：這說明判斷平行的思路有很多，可以借助角的關(guān)系，也可以借助線的關(guān)系.那么，剛才我們是利用“距離關(guān)系”判定線面平行，能否換一個(gè)幾何關(guān)系？

生10：可以利用線線平行來判定線面平行.我發(fā)現(xiàn)日光燈與它在地面上的影子是平行的，從中可以得到如果能夠在平面內(nèi)找到一條直線與平面外的直線平行，那么這條直線就與平面平行.

師：觀察的很細(xì)致，大家認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎？

生：正確.

師：為什么？

生11：如果平面外一條直線平行與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，這和我們借助“距離”的判定方法是等價(jià)的.

隨著立體幾何學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生會獲得越來越多的“經(jīng)驗(yàn)”.有三大經(jīng)驗(yàn)貫穿立體幾何學(xué)習(xí)的全過程，一是“降維的經(jīng)驗(yàn)”，將空間問題平面化，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題；二是“化無限為有限的經(jīng)驗(yàn)”，在判斷線面空間位置關(guān)系中，往往把“任意一條直線”轉(zhuǎn)化為“兩條相交直線”；三是“引進(jìn)第三個(gè)幾何元素作為中介來刻畫兩個(gè)幾何對象的關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)”，比如，利用線線平行來刻畫線面平行、借助線面垂直來刻畫面面垂直等.因此，聯(lián)系已有的經(jīng)驗(yàn)，通過“思辨”，有助于更快地明確幾何論證的方向.

三、構(gòu)造模型對比，“思辨”結(jié)論的完備性

立體幾何模型是對立體幾何知識的集中概括，是凝結(jié)在學(xué)生頭腦中的一系列的加工和認(rèn)識對象，學(xué)習(xí)立體幾何就是學(xué)習(xí)各種各樣的幾何模型“打交道”.在立體幾何教學(xué)中借助模型進(jìn)行“思辨”不僅能夠使學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏在圖形內(nèi)部的定理與性質(zhì)，而且有助于學(xué)生精準(zhǔn)地用數(shù)學(xué)語言把這些定理與性質(zhì)表述出來.

師：通過對原先方法的改進(jìn)，我們得到判定線面平行，只需要判定線線平行.在生活中有這樣的例子嗎？

生12：開門、關(guān)門時(shí)，門框線始終與墻面平行，因?yàn)殚T框線與門軸平行，而門軸在墻面上.

生13：翻開書本中的某一頁時(shí)，這頁的邊始終與書本保持平行，它的原理與開門、關(guān)門類似.

師：那么這個(gè)判定方法一定正確嗎？

生：感覺是正確的，但無法證明.

師：我們可以借助模型加以理解，如圖1所示，兩平行線AC、BD分別交平面α于A、B兩點(diǎn)，可以把這兩條平行線想象成“滑竿”，現(xiàn)將平面α內(nèi)的直線AB順著這兩根“滑竿”滑到平面α外MN處，如果MN始終與AB保持平行，那么MN與平面α平行嗎？

意圖：借助“滑竿”模型進(jìn)行“思辨”有助于學(xué)生把平面外的直線與平面內(nèi)的直線聯(lián)系起來，有利于學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中更好地掌握和運(yùn)用“線面平行”的判定定理.

生：一定平行.

師：我們可以這樣理解，平面α可以看成由直線AB平移中形成的軌跡，也就是說無數(shù)條與AB平行的直線構(gòu)成了平面α，如果MN與AB平行，那么MN就與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，且不會有交點(diǎn)，那么直線MN就一定與平面α平行.

師：如果MN不與AB平行，那么直線MN會與平面α平行嗎？

生14：不平行，如果MN不與AB平行，則MN一定與AB相交，那么MN就會與平面α有交點(diǎn)

圖2

師：我們再換個(gè)模型，若直線AC、BD是兩條異面直線（如圖2），其余條件不變，則直線MN與直線AB還有可能平行嗎？直線MN與平面α還有可能平行嗎？為什么？

意圖：對線面平行判定進(jìn)行更為深入的“思辨”：平面外的直線與平面內(nèi)的某一條直線不平行，并不代表它和平面內(nèi)的其余直線都不平行，因此不能判定直線與平面一定不平行，平面內(nèi)符合定理要求的直線“存在”即可，這也是應(yīng)用定理的關(guān)鍵

生15：直線MN與AB不平行，如果平行的話，MN與AB就共面，即直線AC、BD共面，這就與題目條件矛盾.

生16：MN可以與平面α平行，只要能夠在平面α內(nèi)找到一條直線與MN平行就可以了.

師：經(jīng)過上述分析，你能準(zhǔn)確描述線面平行的判定定理嗎？

……

四、拓展應(yīng)用，“思辨”解題的套路

圖1

“線面平行的判定”可以說是立體幾何的“起始課”，因?yàn)椋瑥倪@一課開始學(xué)生正式經(jīng)歷用幾何論證的方法研究空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.掌握線面平行的判定方法只是其中一方面，更為重要的是通過這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解研究空間中幾何對象之間位置關(guān)系的一般“套路”，而這種套路的掌握對于后續(xù)面面平行、線面垂直、面面垂直的判定具有重要的借鑒意義.因此，以典型例題為載體，探究判定定理的應(yīng)用技巧，引導(dǎo)學(xué)生“思辨”解題的套路，促進(jìn)學(xué)生的幾何論證思維趨向嚴(yán)密.

題目如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E、F分別為線段PD和BC的中點(diǎn)，求證：CE∥平面PAF.

意圖：通過探究，對線面平行問題的解題套路進(jìn)行深入的“思辨”.首先是考慮怎么證明線面平行？接下去考慮判定定理怎么用？需要什么條件？最后考慮有幾種不同的實(shí)現(xiàn)路徑.

線面平行的判定，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到與已知直線平行的直線.一般有兩種方法：一是利用中位線的性質(zhì)找平行線；二是構(gòu)造平行四邊形找平行線.這兩種方法對于本題都適用，分別如圖4、5所示.

圖3

對本題的解題方法的“思辨”最終使學(xué)生掌握解決線面平行證明的一般套路，如圖6所示.

圖6

“思辨”本質(zhì)上是對問題的一種理性的思考，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開“思辨”.空間中的幾何位置關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，通過“思辨”撥開重重“迷霧”找到問題的真相，從而促進(jìn)思維趨向嚴(yán)密，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).