☉福建省惠安荷山中學(xué) 楊春元
2018年《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》指出:“空間想象力是空間形式的觀察、分析和抽象的能力,主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫(huà)圖和對(duì)圖形的想象能力.”“對(duì)圖形的想象包括有圖想圖和無(wú)圖想圖兩種,是空間想象能力高層次的標(biāo)志”[1].立體幾何是考查空間想象能力的主要載體,多面體外接球問(wèn)題能全方位、多角度、深層次考查空間想象能力,是高考試題的難點(diǎn)之一,這類問(wèn)題由于不易畫(huà)圖而變得抽象難解,需要有圖想圖或無(wú)圖想圖.本文通過(guò)具體案例談?wù)勥@類問(wèn)題的“模式化”處理策略.
1.多面體外接球問(wèn)題
多面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,那么這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體,球是多面體的外接球,多面體的每個(gè)頂點(diǎn)到球心的距離都等于半徑,多面體每個(gè)面所在的平面與外接球的截面是每個(gè)面的外接圓.研究多面體的外接球問(wèn)題,既要運(yùn)用多面體的知識(shí),又要運(yùn)用球的知識(shí),還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑和球心之間的聯(lián)系.
對(duì)稱幾何體中心為幾何體外接球球心:
(1)長(zhǎng)方體外接球球心是其體對(duì)角線中點(diǎn),半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.
(2)直三棱柱的外接球的球心是上下底面外心連線的中點(diǎn),半徑可在以球心、底面圓心、底面一個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的直角三角形中求解.
(3)正棱錐的外接球球心在其高上,半徑可在以球心、底面中心、底面一個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的直角三角形中求解.
2.“模式化”解題策略
多面體外接球問(wèn)題的核心是尋找球心求半徑.可構(gòu)造長(zhǎng)方體確定球心的有以下情形:正四面體、同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、對(duì)棱相等的三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐、棱錐含有線面垂直關(guān)系(或可構(gòu)造直三棱柱).
確定球心求解半徑可以分三步:
(1)判斷幾何體是否為對(duì)稱幾何體(長(zhǎng)方體、直三棱柱、正棱錐)、判斷幾何體是否可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體或直三棱柱;
(2)找?guī)缀误w的外接球球心(球心在過(guò)幾何體兩個(gè)面外接圓圓心的面的垂線交點(diǎn)處);
(3)運(yùn)算求解外接球的半徑.
例1(2017年福建省質(zhì)檢理科10)空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn),且EF⊥AB,EF⊥CD.若AB=8,CD=EF=4,則該球的半徑等于( ).
分析:求解多面體外接球表面積關(guān)鍵是確定球心和半徑,找球心求半徑從理解幾何體入手,根據(jù)題意作出圖1.由已知條件,可得空間四邊形ABCD關(guān)于平面ABF對(duì)稱,也關(guān)于平面CDE對(duì)稱,所以球心O在線段EF上.
解:球心O,設(shè)OF=x,則OE=4-x,空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn),且EF⊥AB,EF⊥CD.AB=8,CD=EF=4.
在Rt△OCF中,OC2=OF2+CF2=x2+22;
在Rt△OBE中,OB2=OE2+BE2=(4-x)2+42.
由OB=OC,得x2+22=(4-x)2+42,所以
小結(jié):解決多面體外接球問(wèn)題,首先要研究多面體,空間四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形,空間四邊形ABCD外接球的球心在對(duì)稱軸上,利用外接球球心到多邊形每個(gè)頂點(diǎn)距離都等于半徑列方程求解.
例2已知,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為_(kāi)_____.
分析:求解多面體外接球表面積關(guān)鍵是確定球心和半徑,找球心求半徑從理解幾何體入手.本題為三棱錐P-ABC,PA⊥平面ABC,可以構(gòu)造長(zhǎng)方體確定球心,進(jìn)而求解半徑.
解:在△ABC中,AB=2,AC=∠BAC=30°.
由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=1,所以BC=1.
所以AB2=AC2+BC2,所以∠ACB=90°.
如圖2,構(gòu)造長(zhǎng)方體,所以PB為外接球的直徑.
在Rt△PAB中,PB2=PA2+AB2=5,所以
所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=5π.
小結(jié):解決多面體外接球問(wèn)題,首先要研究多面體,四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐,可以構(gòu)造長(zhǎng)方體確定球心求得半徑.
例3(2017年福建省單科質(zhì)檢理科16)在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形二面角S-AB-C的大小為120°,則此三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____.
分析:求解多面體外接球表面積關(guān)鍵是確定球心和半徑,找球心求半徑從理解幾何體入手,根據(jù)題意作出圖3,易得SA⊥AB,取BA,BS中點(diǎn)D,E,得∠CDE為二面角S-AB-C的平面角,△SAB是以BS為斜邊的直角三角形,△ABC為等邊三角形,則三棱錐S-ABC的外接球球心是過(guò)點(diǎn)E的平面SAB垂線與過(guò)點(diǎn)I的平面ABC(點(diǎn)I為等邊△ABC的外心)的垂線的交點(diǎn)O.
所以SB2=AB2+SA2,所以∠SAB=90°.
取BA,BS中點(diǎn)D,E,
連接DE、DC,得DE⊥AB,DC⊥AB.
所以∠CDE為二面角S-AB-C的平面角.
所以∠CDE=120°.
所以△SAB是以BS為斜邊的直角三角形,△ABC是等邊三角形.
三棱錐S-ABC外接球的球心是過(guò)點(diǎn)E的平面SAB的垂線與過(guò)點(diǎn)I的平面ABC(點(diǎn)I為等邊△ABC的外心)的垂線的交點(diǎn)O.
在平面四邊形OEDI中,∠OED=∠OID=90°,DE=DI,∠DEI=120°.
所以Rt△ODI和Rt△ODE全等.
在Rt△ODE中,∠OED=90°,∠ODE=60°,DE=
三棱錐S-ABC的外接球半徑為OB.
所以三棱錐SABC外接球的表面積為21π.
小結(jié):解決多面體外接球問(wèn)題,首先要研究多面體,直角三角形的外接圓圓心是斜邊上的中點(diǎn),正三角形外接圓圓心是正三角形中心,多面體外接球球心在過(guò)幾何體兩個(gè)面外接圓圓心的垂線交點(diǎn)處.
球體是完美的對(duì)稱幾何體.若幾何體是中心對(duì)稱圖形,則幾何體的中心即為外接球球心;若幾何體是軸對(duì)稱圖形,則外接球球心在幾何體的對(duì)稱軸上;若幾何體是平面對(duì)稱圖形,則外接球球心在幾何體的對(duì)稱平面上.若幾何體不是對(duì)稱圖形,幾何體能補(bǔ)成長(zhǎng)方體或直三棱柱則外接球球心可找到.否則,球心在過(guò)幾何體兩個(gè)面外接圓圓心的垂線交點(diǎn)處.
確定了外接球球心,我們可綜合運(yùn)用平幾、解三角形有關(guān)知識(shí)求解外接球的半徑,最后問(wèn)題得解.
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)明確要求學(xué)生能獲得“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”,本文粗淺地為解決多面體外接球問(wèn)題提供“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”,多面體外接球問(wèn)題涉及方方面面,要想完美地解決多面體外接球問(wèn)題,必須“重點(diǎn)提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”.