☉福建省惠安荷山中學(xué) 楊春元

2018年《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》指出：“空間想象力是空間形式的觀察、分析和抽象的能力，主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫(huà)圖和對(duì)圖形的想象能力.”“對(duì)圖形的想象包括有圖想圖和無(wú)圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標(biāo)志”［1］.立體幾何是考查空間想象能力的主要載體，多面體外接球問(wèn)題能全方位、多角度、深層次考查空間想象能力，是高考試題的難點(diǎn)之一，這類問(wèn)題由于不易畫(huà)圖而變得抽象難解，需要有圖想圖或無(wú)圖想圖.本文通過(guò)具體案例談?wù)勥@類問(wèn)題的“模式化”處理策略.

一、知識(shí)理解

1.多面體外接球問(wèn)題

多面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，球是多面體的外接球，多面體的每個(gè)頂點(diǎn)到球心的距離都等于半徑，多面體每個(gè)面所在的平面與外接球的截面是每個(gè)面的外接圓.研究多面體的外接球問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑和球心之間的聯(lián)系.

對(duì)稱幾何體中心為幾何體外接球球心：

（1）長(zhǎng)方體外接球球心是其體對(duì)角線中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.

（2）直三棱柱的外接球的球心是上下底面外心連線的中點(diǎn)，半徑可在以球心、底面圓心、底面一個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的直角三角形中求解.

（3）正棱錐的外接球球心在其高上，半徑可在以球心、底面中心、底面一個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的直角三角形中求解.

2.“模式化”解題策略

多面體外接球問(wèn)題的核心是尋找球心求半徑.可構(gòu)造長(zhǎng)方體確定球心的有以下情形：正四面體、同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、對(duì)棱相等的三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐、棱錐含有線面垂直關(guān)系（或可構(gòu)造直三棱柱）.

確定球心求解半徑可以分三步：

（1）判斷幾何體是否為對(duì)稱幾何體（長(zhǎng)方體、直三棱柱、正棱錐）、判斷幾何體是否可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體或直三棱柱；

（2）找?guī)缀误w的外接球球心（球心在過(guò)幾何體兩個(gè)面外接圓圓心的面的垂線交點(diǎn)處）；

（3）運(yùn)算求解外接球的半徑.

二、問(wèn)題辨析

例1（2017年福建省質(zhì)檢理科10）空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD.若AB=8，CD=EF=4，則該球的半徑等于（ ）.

分析：求解多面體外接球表面積關(guān)鍵是確定球心和半徑，找球心求半徑從理解幾何體入手，根據(jù)題意作出圖1.由已知條件，可得空間四邊形ABCD關(guān)于平面ABF對(duì)稱，也關(guān)于平面CDE對(duì)稱，所以球心O在線段EF上.

解：球心O，設(shè)OF=x，則OE=4-x，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD.AB=8，CD=EF=4.

在Rt△OCF中，OC2=OF2+CF2=x2+22；

在Rt△OBE中，OB2=OE2+BE2=（4-x）2+42.

由OB=OC，得x2+22=（4-x）2+42，所以

小結(jié)：解決多面體外接球問(wèn)題，首先要研究多面體，空間四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，空間四邊形ABCD外接球的球心在對(duì)稱軸上，利用外接球球心到多邊形每個(gè)頂點(diǎn)距離都等于半徑列方程求解.

例2已知，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為_(kāi)_____.

分析：求解多面體外接球表面積關(guān)鍵是確定球心和半徑，找球心求半徑從理解幾何體入手.本題為三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，可以構(gòu)造長(zhǎng)方體確定球心，進(jìn)而求解半徑.

解：在△ABC中，AB=2，AC=∠BAC=30°.

由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=1，所以BC=1.

所以AB2=AC2+BC2，所以∠ACB=90°.

如圖2，構(gòu)造長(zhǎng)方體，所以PB為外接球的直徑.

在Rt△PAB中，PB2=PA2+AB2=5，所以

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=5π.

小結(jié)：解決多面體外接球問(wèn)題，首先要研究多面體，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可以構(gòu)造長(zhǎng)方體確定球心求得半徑.

例3（2017年福建省單科質(zhì)檢理科16）在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形二面角S-AB-C的大小為120°，則此三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____.

分析：求解多面體外接球表面積關(guān)鍵是確定球心和半徑，找球心求半徑從理解幾何體入手，根據(jù)題意作出圖3，易得SA⊥AB，取BA，BS中點(diǎn)D，E，得∠CDE為二面角S-AB-C的平面角，△SAB是以BS為斜邊的直角三角形，△ABC為等邊三角形，則三棱錐S-ABC的外接球球心是過(guò)點(diǎn)E的平面SAB垂線與過(guò)點(diǎn)I的平面ABC（點(diǎn)I為等邊△ABC的外心）的垂線的交點(diǎn)O.

所以SB2=AB2+SA2，所以∠SAB=90°.

取BA，BS中點(diǎn)D，E，

連接DE、DC，得DE⊥AB，DC⊥AB.

所以∠CDE為二面角S-AB-C的平面角.

所以∠CDE=120°.

所以△SAB是以BS為斜邊的直角三角形，△ABC是等邊三角形.

三棱錐S-ABC外接球的球心是過(guò)點(diǎn)E的平面SAB的垂線與過(guò)點(diǎn)I的平面ABC（點(diǎn)I為等邊△ABC的外心）的垂線的交點(diǎn)O.

在平面四邊形OEDI中，∠OED=∠OID=90°，DE=DI，∠DEI=120°.

所以Rt△ODI和Rt△ODE全等.

在Rt△ODE中，∠OED=90°，∠ODE=60°，DE=

三棱錐S-ABC的外接球半徑為OB.

所以三棱錐SABC外接球的表面積為21π.

小結(jié)：解決多面體外接球問(wèn)題，首先要研究多面體，直角三角形的外接圓圓心是斜邊上的中點(diǎn)，正三角形外接圓圓心是正三角形中心，多面體外接球球心在過(guò)幾何體兩個(gè)面外接圓圓心的垂線交點(diǎn)處.

三、拓展思考

球體是完美的對(duì)稱幾何體.若幾何體是中心對(duì)稱圖形，則幾何體的中心即為外接球球心；若幾何體是軸對(duì)稱圖形，則外接球球心在幾何體的對(duì)稱軸上；若幾何體是平面對(duì)稱圖形，則外接球球心在幾何體的對(duì)稱平面上.若幾何體不是對(duì)稱圖形，幾何體能補(bǔ)成長(zhǎng)方體或直三棱柱則外接球球心可找到.否則，球心在過(guò)幾何體兩個(gè)面外接圓圓心的垂線交點(diǎn)處.

確定了外接球球心，我們可綜合運(yùn)用平幾、解三角形有關(guān)知識(shí)求解外接球的半徑，最后問(wèn)題得解.

四、結(jié)束語(yǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）明確要求學(xué)生能獲得“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，本文粗淺地為解決多面體外接球問(wèn)題提供“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，多面體外接球問(wèn)題涉及方方面面，要想完美地解決多面體外接球問(wèn)題，必須“重點(diǎn)提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”.