☉江蘇省宜興第一中學(xué) 吳繼敏

對學(xué)生來說，各類考試題無疑是一個最熟悉的“問題”，特別是歷年的高考真題.經(jīng)過理論和教學(xué)實踐，充分說明一題多解是提高數(shù)學(xué)解題能力的有效途徑.在一題多解中，通過典型問題呈現(xiàn)不同解法的同時，回顧與綜合不同的知識點與不同的數(shù)學(xué)思想方法，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，充分暴露思維過程，真正提升能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例題（2018年天津卷理14）已知a＞0，函數(shù)（fx）=若關(guān)于x的方程（fx）=ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是______.

本題設(shè)置非常巧妙，函數(shù)解析式中蘊含分段函數(shù)、二次函數(shù)，題目中涉及函數(shù)與方程，函數(shù)的解析式與零點，含參的函數(shù)解析式等，把函數(shù)中的相關(guān)問題加以充分整合與交匯，烹出一道美味“盛宴”.結(jié)合題目特征，可以從函數(shù)圖像性質(zhì)入手，結(jié)合判別式法或分離參數(shù)法等不同角度切入來分析，從而得以求解相應(yīng)的參數(shù)值的取值范圍.

通過對x≤0與x＞0時所對應(yīng)的方程的轉(zhuǎn)化，分別構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)利用求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值來確定對應(yīng)的極小值，再利用要使得方程（fx）=ax恰有2個互異的實數(shù)解，結(jié)合函數(shù)圖像來確定參數(shù)a的取值范圍.

解法1：（1）當(dāng)x≤0時，方程（fx）=ax，即x2+2ax+a=ax，整理可得x2=-a（x+1），很明顯x=-1不是方程的實數(shù)解，則

由g（′x）＞0，解得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；

由g（′x）＜0，解得x＜-2，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=-2時，g（x）取得極小值為g（-2）=4.

（2）當(dāng)x＞0時，方程（fx）=ax，即-x2+2ax-2a=ax，整理可得x2=a（x-2），很明顯x=2不是方程的實數(shù)解，則

由h（′x）＞0，解得x＞4，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；

由h（′x）＜0，解得0＜x＜2或2＜x＜4，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=4時，h（x）取得極大值為h（4）=8.

那么要使得方程f（x）=ax恰有2個互異的實數(shù)解，結(jié)合函數(shù)圖像可知4＜a＜8，

故填答案：（4，8）.

確定x≤0與x＞0時對應(yīng)的判別式，結(jié)合函數(shù)g（x）恰有2個不同的零點（前提條件是a＞0）分三種情況加以分類討論相應(yīng)的判別式所滿足的條件，進而確定參數(shù)a的取值范圍.

解法2：由題可設(shè)函數(shù)當(dāng)x≤0時，Δ1=a2-4a；當(dāng)x＞0時，Δ2=a2-8a；

根據(jù)題目條件可知函數(shù)g（x）恰有2個不同的零點（前提條件是a＞0），可以分為以下三種情況.

綜上分析可得4＜a＜8，故填答案：（4，8）.

由題意根據(jù)x≤0和x＞0兩種情況加以分類討論，通過分離參數(shù)a確定相應(yīng)的關(guān)系式，進而構(gòu)造相應(yīng)的分段函數(shù)，結(jié)合函數(shù)g（x）與函數(shù)y=a有2個不同的交點的等價轉(zhuǎn)化，利用對勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)及換元法，分區(qū)間構(gòu)造方程探究兩根的條件確定參數(shù)a的取值范圍.

解法3：由題意根據(jù)x≤0和x＞0兩種情況加以分類討論，分區(qū)間構(gòu)造方程探究兩根的條件確定參數(shù)a的取值范圍.

當(dāng)x≤0時，方程f（x）=ax，即x2+2ax+a=ax，整理可得x2=-a（x+1），很明顯x=-1不是方程的實數(shù)解，則

當(dāng)x＞0時，方程f（x）=ax，即-x2+2ax-2a=ax，整理可得x2=a（x-2），很明顯x=2不是方程的實數(shù)解，則令

原問題等價于函數(shù)g（x）與函數(shù)y=a有2個不同的交點，求a的取值范圍.

而函數(shù)h（u）在（-∞，-1）上遞減，在（-1，0），（0，1）上遞增，在（2，+∞）上遞增.

結(jié)合函數(shù)y=a（a＞0）的圖像，考查臨界條件，于是當(dāng)4=h（-1）＜a＜h（2）=8，即所求實數(shù)a的取值范圍是（4，8），

故填答案：（4，8）.

結(jié)合x＞0與x≤0時，通過方程f（x）=ax的轉(zhuǎn)化，根據(jù)方程中對應(yīng)的系數(shù)與兩根之和、兩根之積的正負(fù)情況分別來討論，通過要使得方程f（x）=ax恰有2個互異的實數(shù)解，則兩方程判別式必一正一負(fù)，結(jié)合判別式建立相應(yīng)的不等式來確定參數(shù)的取值范圍.

解法4：當(dāng)x＞0時，方程f（x）=ax可化為-x2+ax-2a=0，即x2-ax+2a=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系可知，若此方程有實數(shù)根，則兩根之和為正，兩根之積為正，都滿足條件.

當(dāng)x≤0時，方程f（x）=ax可化為x2+2ax+a=ax，即x2+ax+a=0.

同理可得，兩根之和為負(fù)，兩根之積為正，也滿足條件.

那么要使得方程f（x）=ax恰有2個互異的實數(shù)解，則兩方程判別式必一正一負(fù)，

由Δ1=a2-8a，Δ2=a2-4a，則知Δ1Δ2=a2（a-8）（a-4）＜0，

解得4＜a＜8，故填答案：（4，8）.

點評：求解函數(shù)的零點問題的常見方法：

（1）直接求零點：令f（x）=0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；

（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間［a，b］上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）f（b）＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點；

（3）利用圖像交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖像，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

其實，解題的思維一定不能單一，具體解題時應(yīng)該以常規(guī)方法優(yōu)先，然后逐步優(yōu)化，當(dāng)面臨較為特殊的結(jié)構(gòu)時，往往多思考就有更為巧妙的方法.因而當(dāng)我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.通過典型實例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開闊，數(shù)學(xué)知識的掌握更加熟練，同時思維拓展，妙法頓生，提高解題速度，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，有助于激發(fā)我們學(xué)習(xí)的主動性、積極性和趣味性，從而全面提高我們的知識水平和思維能力.