☉安徽省臨泉一中 張凱華

解三角形主要通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能利用它們解決一些簡單三角形度量問題及一些與測量和計算有關(guān)的實際問題.該部分是每年高考中的基本考點之一，大都運算量大、公式應(yīng)用多，這就要求我們不僅具有較高的運算水平、較強的運算能力和較大的記憶能力，還應(yīng)善于審題，采用相應(yīng)的策略，優(yōu)化過程.特別對于解三角形中的最值問題，備受命題者青睞，更是各類考試中的熱點題型.下面結(jié)合一道三角形面積的最值題加以多解剖析.

例題在△ABC中，若AB=1，tanB=2tanC，則△ABC面積的最大值是______.

分析：本題給出三角形的一邊AB=c=1，以及角B，C的正切值的三角關(guān)系式，解決問題的關(guān)鍵就是如何把關(guān)系式tanB=2tanC加以巧妙轉(zhuǎn)化，可以利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、直角三角形中的邊角關(guān)系等加以轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為涉及三角形的相關(guān)邊以及角的正弦值或余弦值，再代入三角形的面積公式，利用基本不等式法、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)法等來確定對應(yīng)的最值即可，進而達(dá)到求解問題的目的.

結(jié)合題目條件tanB=2tanC轉(zhuǎn)化為正、余弦的關(guān)系式，結(jié)合正弦定理與余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式，得以確定再由條件和余弦定理求出cosB，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得sinB的值，代入三角形的面積公式，利用含參數(shù)a的關(guān)系式的基本不等式法來確定三角形面積的最值即可.

解法1：由tanB=2tanC，可得則有sinBcosC=2cosBsinC.

而由余弦定理可得：

根據(jù)條件過A點作AD⊥BC交BC于點D，引入?yún)?shù)h=AD，把BD表示成h的關(guān)系式，同時利用條件把BC也表示成h的關(guān)系式，代入三角形的面積公式，利用含參數(shù)h的關(guān)系式的基本不等式法來確定三角形面積的最值即可.

解法2：過A點作AD⊥BC交BC于點D，設(shè)AD=h，則知0＜h＜1.

根據(jù)條件過A點作AD⊥BC交BC于點D，把AD、BC表示成角B的三角關(guān)系式，同時利用條件把CD也表示成角B的三角關(guān)系式，代入三角形的面積公式，結(jié)合二倍角公式，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定三角形面積的最值即可.

解法3：如圖1，過A點作AD⊥BC交BC于點D.

而AB=c=1，

可得AD=sinB，BD=cosB.

根據(jù)條件過A點作AD⊥BC交BC于點D，引入?yún)?shù)x=BD，把AD表示成x的關(guān)系式，同時利用條件把CD也表示成x的關(guān)系式，代入三角形的面積公式，利用含參數(shù)x的關(guān)系式的基本不等式法來確定三角形面積的最值即可.

解法4：如圖2，過A點作AD⊥BC交BC于點D，而AB=c=1，設(shè)BD=x，則知0＜x＜1.

結(jié)合題目條件tanB=2tanC轉(zhuǎn)化為正、余弦的關(guān)系式，結(jié)合兩角和的正弦公式加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，同時利用三角形的內(nèi)角和公式與誘導(dǎo)公式加以轉(zhuǎn)化得到sinA=3cosBsinC，結(jié)合正弦定理轉(zhuǎn)化為a=3cosB，代入三角形的面積公式，結(jié)合二倍角公式，利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定三角形面積的最值即可.

解法5：由tanB=2tanC，可得

則有sinBcosC=2cosBsinC，

可得sinBcosC+cosBsinC=3cosBsinC，

即sin（B+C）=3cosBsinC，亦即sinA=3cosBsinC，

結(jié)合正弦定理可得a=3ccosB=3cosB（c=AB=1）.

點評：在解決三角形問題中，比較常見的思維方法就是正弦定理與余弦定理，這也是解決此類問題的典型方法.而涉及三角形的面積的最值問題，關(guān)鍵是通過代數(shù)運算，將幾何模型代數(shù)化，利用正弦定理、余弦定理、三角相關(guān)公式等來轉(zhuǎn)化與解題，利用基本不等式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等來確定最值問題.

通過從多個不同角度來處理，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的融會貫通，充分展現(xiàn)知識的交匯與綜合，達(dá)到提升能力，拓展應(yīng)用的目的.進而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生所言：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”