☉江蘇省揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué) 朱衛(wèi)紅

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟.對(duì)學(xué)生來說，各類考試題無疑是最熟悉的一個(gè)“問題”.解三角形主要通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能利用它們解決一些簡(jiǎn)單三角形度量問題及一些與測(cè)量和計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.該部分是每年高考中的基本考點(diǎn)之一，大都運(yùn)算量大、公式應(yīng)用多，這就要求我們不僅具有較高的運(yùn)算水平、較強(qiáng)的運(yùn)算能力和較大的記憶能力，還應(yīng)善于審題，采用相應(yīng)的策略，優(yōu)化過程.特別對(duì)于解三角形中的最值以及與之對(duì)應(yīng)的相關(guān)問題，備受命題者青睞，更是各類考試中的熱點(diǎn)題型.下面結(jié)合一道三角形面積的最值問題加以多解剖析.

例題（2018年江蘇省某市高考二模·16）等腰△ABC中，AB=AC，D為AC的中點(diǎn)，BD=1，則△ABC的面積的最大值是____.

分析：解三角形問題往往要以通過解三角形思維（包括正弦定理、余弦定理等）、向量法思維、幾何法思維、坐標(biāo)法思維等不同的角度切入，抓住解三角形法、向量法、幾何法、坐標(biāo)法，這是解決此類問題的常見“四招”.從哪些角度切入，如何正確破解此類問題，是處理此類問題的重點(diǎn)所在.

解法1：在△ABD中，由余弦定理可得：

解法2：設(shè)AB=AC=2x，則AD=DC=x.

在△ADB中，由余弦定理可得4x2=1+x2-2×1×x×cos∠ADB；

在△BDC中，由余弦定理可得a2=1+x2-2×1×x×cos∠BDC.

兩式相加可得4x2+a2=2+2x2，即2x2+a2=2.

解法3：在△ABD中，由余弦定理可得：

解法4：設(shè)BC邊的中點(diǎn)為E，AE與BD交于點(diǎn)G，則G為△ABC的重心.

解法5：設(shè)AB=AC=2x，則AD=DC=x，那么△ABC的半周長(zhǎng)

由三角形的中線長(zhǎng)公式可得4BD2=2AB2+2BC2-AC2=8x2+2a2-4x2=4，即2x2+a2=2.

由海倫公式可得△ABC的面積：

解法6：設(shè)BC邊的中點(diǎn)為E，AE與BD交于點(diǎn)G，則G為△ABC的重心，則有

解法7：設(shè)BC邊的中點(diǎn)為O，AE與BD交于點(diǎn)G，則G為△ABC的重心，過D作DE⊥BC交于點(diǎn)E，設(shè)∠DBC=α，

解法8：設(shè)BC邊的中點(diǎn)為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B（-m，0），C（m，0），A（0，n），m>0，n>0.

解法9：以BD的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD所在直線為x軸，BD的垂直平分線所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則

解法10：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（0，1），設(shè)A（-m，-n），C（m，n），m>0，n>0.

由于AB=AC，可得m2+（n+1）2=4m2+4n2.

通過從多個(gè)不同角度來處理，巧妙地把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合，達(dá)到提升能力，拓展應(yīng)用的目的.如何提升學(xué)生的解題能力，是每位老師思考的重要課題.經(jīng)過理論和教學(xué)實(shí)踐證明，一題多解是提高解題能力的有效途徑.在呈現(xiàn)不同解法的同時(shí)，暴露思維過程，得以拓展與提升.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”