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        高中數(shù)學(xué)《立體幾何》單元教學(xué)微型專題

        2018-10-21 04:28:06夏吉鑫
        天津教育·下 2018年5期

        夏吉鑫

        共點(diǎn)三垂直法

        空間幾何體中若過一點(diǎn)有三條棱兩兩垂直,即可簡(jiǎn)單稱其為“共點(diǎn)三垂直”。此時(shí)可將此多面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,此多面體的外接球即長(zhǎng)方體的外接球。

        例1: 如下圖,在三棱錐中,且,試求三棱錐外接球的表面面積。

        分析:因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直,由此可得過三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)有三條棱兩兩垂直(稱為“共點(diǎn)三垂直”),此時(shí)可將此三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體,此三棱錐的外接球即正方體的外接球。

        解:如上圖把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體,其棱長(zhǎng)為,由此正方體的外接球就是三棱錐的外接球。

        設(shè)其外接球的半徑為;

        則有?!唷?/p>

        故其表面積。

        小結(jié): 一般地,若三棱錐在同一頂點(diǎn)處的三條側(cè)棱兩兩垂直(既出現(xiàn)共點(diǎn)三垂直),且其長(zhǎng)度分別為a、b、c,則可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑。設(shè)其外接球的半徑為,則有。

        首尾三垂直法

        空間幾何體中若有三條棱兩兩垂直,且端點(diǎn)首尾相連,即可簡(jiǎn)單稱其為“首尾三垂直”,此時(shí)可將此多面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,此多面體的外接球即長(zhǎng)方體的外接球。

        例2:如圖所示四面體中,,,求四面體外接球的體積。

        分析:四面體中,三條側(cè)棱da、ab、bc兩兩垂直端點(diǎn)首尾相連,稱其為“首尾三垂直”,此時(shí)四面體的外接球可以視作以此三條棱分別為長(zhǎng)寬高的正方體的外接球。

        解:四面體中,

        三條側(cè)棱da、ab、bc兩兩垂直

        四面體的外接球即以da、ab、bc三條棱分別為長(zhǎng)寬高的正方體的外接球。

        正方體的棱長(zhǎng)為,正方體的體對(duì)角線為。

        外接球半徑 外接球體積。

        小結(jié) :一般地,若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且端點(diǎn)首尾相連(即出現(xiàn)首尾三垂直),且其長(zhǎng)度分別為a、b、c,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑。設(shè)其外接球的半徑為,則有。

        異面三垂直法

        正四面體中,三對(duì)側(cè)棱互為異面直線,且三對(duì)側(cè)棱之間兩兩垂直,稱其為“異面三垂直”,此時(shí)正四面體的外接球可以視作以正四面體棱為面對(duì)角線的正方體的外接球。

        例3:求棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球的表面積。

        分析:正四面體中,三對(duì)側(cè)棱、、 “異面三垂直”,此時(shí)四面體的外接球可以視作如圖所示的正方體的外接球。

        解:如圖將正四面體放到正方體中,則正四面體的外接球既長(zhǎng)方體的外接球。

        正四面體邊長(zhǎng)為 正方體的棱長(zhǎng)為,正方體的體對(duì)角線為。

        外接球半徑

        外接球表面積

        基金項(xiàng)目:甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度課題“高中數(shù)學(xué)新課程單元教學(xué)與微型探究教學(xué)有效整合的實(shí)踐研究”研究成果(項(xiàng)目編號(hào):GS[2017]GHB3343)

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