崔四帥 王子偉

摘 要：本文主要討論N、P、K施肥量與土豆、生菜產量的關系以及應用價值等問題。本文使用回歸分析為主，通過分析另兩個因素在第七水平下的單因素與產量關系的散點圖，利用Matlab的圖像處理方法進行曲線擬合，從而確定單因素下施肥量與產量的關系。隨后我們建立了三元二次回歸模型，同時給出關系模型的經濟效應方程。

關鍵詞：回歸分析；三元二次回歸模型

一、問題重述

某研究所為了研究N、P、K三種肥料對土豆和生菜的作用，分別對每種生物進行了三組實驗，實驗中將每種肥料的施用量分為10個水平，在考察其中一種肥料的施用量與產量關系時，總是將另兩種肥料固定在第七個水平上，實驗數(shù)據(jù)，其中ha表示公頃，t表示噸，kg表示千克，試建立反映施肥量與產量關系的模型，并從應用價值和如何改進等方面做出評價。

二、模型假設

1.假設在每次實驗中，各個實驗組的土壤中養(yǎng)分含量、空氣、陽光、溫度、濕度等外界條件一致，且初始實驗的植株生長情況相同。

2.假設每次施加的肥料植物都能完全吸收，不計肥料的未知損失。

3.假設每次實驗中氮、磷、鉀三種肥料對土豆和生菜的影響是相互獨立的。

三、模型的建立與求解

模型一

根據(jù)兩種農作物的各三組實驗數(shù)據(jù)，并且在考察其中一種肥料的施用量與產量的關系時，總是保持另外兩種肥料的用量保持在第七水平上，故可以根據(jù)實驗數(shù)據(jù)運用MATLAB工具箱作出散點圖進行擬合，并且可以根據(jù)散點圖得出關于各施肥量與產量的回歸方程。

數(shù)據(jù)的散點圖明顯地呈現(xiàn)拋物線的形狀，所以可試用二次多項式來擬合?？傻脭?shù)學模型：Wi=b0+b1*n+b2*n^2+ε

利用Matlab軟件編程求參數(shù)可得：W1=-0.0003*n^2+0.1971*n+14.7416

同理，我們給出n、k在第七水平下的土豆產量隨P的施肥量變化數(shù)學模型 W2=-0.0001p^2+0.0719*p+32.9161；n、p在第七水平下的土豆產量隨P的施肥量變化的數(shù)學模型并求參數(shù)得：W3=-0.0012k^2+0.2602*k+18.6788

模型二

根據(jù)上述模型一可以觀察得出這是一個關于產量與施肥量的二次關系問題，又因為查閱資料得知施肥量與產量的關系適用于回歸模型[2]，并且要求同時綜合三因素的施肥量，所以我們接下來建立三元二次回歸模型，同時給出關系模型的經濟效應方程，并運用殘差分析對其進行檢驗。

土豆、生菜產量與施肥量的關系模型：

i取值1，2.分別表示土豆、生菜的產量。

進而得出土豆的利潤模型：P1=d*W1-a*n-b*p-c*k

同理得出生菜的利潤模型：P2=e*W1-a*n-b*p-c*k

在這里我們求一噸的土豆、生菜產生的利潤，所以Wi（i=1，2）取1噸，通過查閱資料獲得土豆、生菜每噸的價格，d=2000，e=5000，N、P、K每千克的價格，a=1.5，b=2.0，c=3.0。參數(shù)代入得土豆、生菜的利潤：

P1=2000W1-1.5n-2p-3k：P2=5000W2-1.5n-2p-3k

更一般的，我們求得最大利潤下，土豆、生菜的施肥量：

土豆：n=328.5p=213.25，k=364.5

生菜：n=466.5，

p=760，k=430

參考文獻

[1]王玉杰、張大克，《多元肥料效應函數(shù)模型的優(yōu)化方法》，生物數(shù)學學報，2002，17（1）：74-77

[2]中國標準物質網，《化肥量與產量的關系》，2015-8-04

[3]張德豐，《MATLAB數(shù)學實驗與建模》（第二版），清華大學出版社

[4]愛問，《合理施用化肥的重要性》，http：//iask.sina.com.cn/b/58La7LeBlFK.html

作者簡介：

崔四帥，石家莊鐵道大學，數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)。

王子偉，石家莊鐵道大學，機械工程及自動化。

（作者單位：石家莊鐵道大學）