閆超德，劉 曉，李?lèi)?ài)民

（鄭州大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院 地理信息工程系，河南 鄭州 450001）

0 引 言

對(duì)于地理信息科學(xué)而言，空間鄰近是極其重要的一類(lèi)空間關(guān)系，在空間分析與查詢中必不可少，甚至被認(rèn)為是建立空間信息系統(tǒng)的基礎(chǔ)[1-5]。雖然鄰近的概念在許多領(lǐng)域內(nèi)頻繁出現(xiàn)，但是它的定義卻繁雜不一，許多領(lǐng)域的研究者在使用這一概念時(shí)并沒(méi)有給出嚴(yán)格的定義與描述，即關(guān)于鄰近的含義是模糊的[1]。本文針對(duì)相離對(duì)象之間的位置關(guān)系所引起的鄰近關(guān)系，首先梳理人類(lèi)空間知識(shí)中鄰近相關(guān)的概念，然后分別給出對(duì)應(yīng)概念的形式化表達(dá)，最后探索了空間鄰近在變比例尺移動(dòng)地圖表達(dá)中的應(yīng)用。

1 人類(lèi)空間知識(shí)中有關(guān)鄰近的概念

鄰近概念廣泛存在于人類(lèi)的自然語(yǔ)義中，并且存在一定的模糊性，至少存在5種相關(guān)的鄰近概念。

1.1 最鄰近

最鄰近是人類(lèi)空間知識(shí)中最常見(jiàn)的一種鄰近，廣泛存在于自然語(yǔ)義中，如“××中學(xué)是離我家最鄰近的中學(xué)”。最鄰近的概念是建立在度量關(guān)系之上，是指兩個(gè)空間位置或?qū)ο笾g存在最小的距離，距離可以是歐幾里德距離，也可以是街區(qū)距離（最短路徑），還可以是大地距離。最鄰近的最大特點(diǎn)是結(jié)果的確定性，即最鄰近對(duì)象一定存在且通常唯一。

1.2 范圍鄰近

范圍鄰近也是自然語(yǔ)義中常見(jiàn)的一種鄰近，如“我家兩公里范圍內(nèi)有3所學(xué)?！?。范圍鄰近的概念是由度量關(guān)系和拓?fù)潢P(guān)系共同確定的，即按照度量關(guān)系劃定一個(gè)范圍（如矩形、圓或多邊形），然后判斷空間對(duì)象與這個(gè)范圍是否相交，相交則為鄰近。范圍鄰近最大的特點(diǎn)表現(xiàn)為多尺度性，即隨著劃定范圍的變化，鄰近對(duì)象會(huì)發(fā)生變化，當(dāng)范圍小于最鄰近距離時(shí)，鄰近對(duì)象個(gè)數(shù)為0，鄰近對(duì)象的個(gè)數(shù)隨鄰近范圍的增大而增加。當(dāng)范圍鄰近非空時(shí)，一定包含最鄰近對(duì)象。

1.3 k最鄰近

k最鄰近是最鄰近的發(fā)展，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是距離某對(duì)象或觀測(cè)點(diǎn)最近的k個(gè)對(duì)象，如“我家最近的三所學(xué)校分別是××、××和××”。k最鄰近的概念依然是建立在度量關(guān)系之上，這種鄰近通常表現(xiàn)為一對(duì)多，如果結(jié)果成立，則一定包含最鄰近對(duì)象。

1.4 方向鄰近

在自然語(yǔ)義中，還有一種鄰近是與方向關(guān)系交織在一起的，如某一出租車(chē)要求電臺(tái)查詢“我行駛前方最近的醫(yī)院”。顯然，這種鄰近是由度量關(guān)系和方向關(guān)系共同決定的，也可以稱(chēng)為方向約束下的鄰近。

1.5 環(huán)繞鄰近

環(huán)繞鄰近是一個(gè)最為模糊與復(fù)雜的空間概念，如“鄭州市周邊的鄰近城市有新鄉(xiāng)、焦作、洛陽(yáng)、許昌和開(kāi)封”,如圖1所示。首先這種鄰近要求鄰近對(duì)象分布在觀測(cè)點(diǎn)周?chē)ㄈ缰苓吀鱾€(gè)方向），其次，要求鄰近對(duì)象與觀測(cè)點(diǎn)之間既要“通視”（不存在其他對(duì)象）又要最近（該方向范圍內(nèi)距離觀測(cè)點(diǎn)最近）。顯然，這種鄰近中既包含有度量關(guān)系，又包含拓?fù)潢P(guān)系和方向關(guān)系。

圖1 環(huán)繞鄰近示意圖Fig.1 The illustration of surrounding neighbor

2 鄰近的形式化表達(dá)

2.1 最鄰近的形式化表達(dá)

根據(jù)點(diǎn)集空間中最近鄰近的定義[6]，由點(diǎn)、線、面對(duì)象組成的地理空間中，最鄰近可以定義為：給定地理對(duì)象集O={o1,o2,…,on}及觀測(cè)點(diǎn)（也可以是某地理對(duì)象，以下簡(jiǎn)稱(chēng)為觀測(cè)點(diǎn)）m，oi是m的最鄰近，當(dāng)且僅當(dāng)d(m,oi)≤mind(m,oj)，其中i≠j且oj,oj∈O。d(m,oi)表示觀測(cè)點(diǎn)（對(duì)象）m與地理對(duì)象oi之間的最短距離?；赩oronoi圖的最鄰近可以定義為：oi是m的最鄰近，當(dāng)且僅當(dāng)m∩oiv≠ （oiv指地理目標(biāo)oi的Voronoi區(qū)域)。圖2中，觀測(cè)點(diǎn)m處在地理對(duì)象a的Voronoi勢(shì)力范圍內(nèi)，所以m與a最鄰近。

圖2 基于Voronoi圖的最鄰近定義Fig.2 The definition of nearest neighbor based on Voronoi diagram

2.2 k最鄰近的形式化表達(dá)

k最鄰近也稱(chēng)k最近鄰[7]，在計(jì)算機(jī)科學(xué)中k最鄰近的定義是基于度量給出的，其實(shí)質(zhì)是查找距離q最鄰近的k個(gè)點(diǎn)。給定點(diǎn)集S與查詢點(diǎn)q，如果S′ S,Pi∈S＇(j＜k),pj∈S-S′(j＜n),d(q,pi)≤d(q,pi)那么稱(chēng)S′為查詢點(diǎn)q的k個(gè)最鄰近點(diǎn)[8]。擴(kuò)展至由點(diǎn)、線、面地理對(duì)象組成的地理空間，觀測(cè)點(diǎn)的k最鄰近可以定義為：給定地理對(duì)象集O與觀測(cè)點(diǎn)m，如果O′ O,oi∈O-O′(i＜k),oj∈O-O′(j＜n),d(m,oj)≤d(m,oj),那么O′稱(chēng)為觀測(cè)點(diǎn)m的k個(gè)最鄰近地理對(duì)象。

2.3 范圍鄰近的形式化表達(dá)

給定地理對(duì)象集O、觀測(cè)點(diǎn)m和限定范圍R，如果O′ O,oi∈O',oio∩R≠ ，那么稱(chēng)O′為觀測(cè)點(diǎn)m的范圍鄰近（其中oio表示地理對(duì)象oi的內(nèi)部）。

2.4 環(huán)繞鄰近的形式化表達(dá)

目前，可以較好地描述環(huán)繞鄰近的方法有兩種，它們分別是基于Voronoi圖和Delaunay三角網(wǎng)的描述方法。

2.4.1 基于Voronoi圖的空間鄰近表達(dá)

20世紀(jì)90年代以來(lái)，以加拿大拉瓦大學(xué)Gold教授為首的一批專(zhuān)家開(kāi)始研究利用Voronoi圖方法表達(dá)和判斷相離空間目標(biāo)之間的側(cè)向相鄰關(guān)系。其基本思想是，將N個(gè)空間目標(biāo)作為N個(gè)生長(zhǎng)元，將整個(gè)連續(xù)空間劃分為Voronoi鋪蓋，則每一空間目標(biāo)唯一地被一個(gè)Voronoi區(qū)域包含，將具有公共Voronoi邊的目標(biāo)之間的關(guān)系定義為Voronoi鄰近關(guān)系[1,5,9]。李成名等人根據(jù)空間目標(biāo)的類(lèi)型，進(jìn)一步將線目標(biāo)及其鄰近地理目標(biāo)之間存在的關(guān)系定義為側(cè)向鄰近關(guān)系[10]。為了彌補(bǔ)九交模型[11]在描述空間關(guān)系方面存在的理論缺陷，陳軍等提出了以對(duì)象的Voronoi區(qū)域代替對(duì)象補(bǔ)的V9I模型[12-14]，該模型可以區(qū)分出相離對(duì)象之間的鄰近關(guān)系，集中了交叉方法與交互方法的優(yōu)點(diǎn)，使空間關(guān)系描述更加合理且易于操作[15]。根據(jù)V9I模型，觀測(cè)點(diǎn)與地理目標(biāo)之間的Voronoi鄰近關(guān)系可以表達(dá)成如下形式：

對(duì)于地理對(duì)象oi(oi∈O)和觀測(cè)點(diǎn)m，如果存在oiv∩mv≠ （oiv表示地理對(duì)象oi對(duì)應(yīng)的Voronoi區(qū)域，mv表示觀測(cè)點(diǎn)m對(duì)應(yīng)的Voronoi區(qū)域），那么稱(chēng)oi與觀測(cè)點(diǎn)m具有Voronoi鄰近關(guān)系。圖3中，觀測(cè)點(diǎn)m與地理對(duì)象a、b、d之間具有Voronoi鄰近關(guān)系，也稱(chēng)為直接鄰近。

圖3 Voronoi鄰近示意圖Fig.3 Illustration of Voronoi neighbor

Voronoi圖是依據(jù)最鄰近準(zhǔn)則，把地理空間中的每一點(diǎn)分配給距離其最近的空間目標(biāo)后所形成的一種空間剖分面片圖，兩目標(biāo)間的Voronoi區(qū)域的個(gè)數(shù)同樣也反映了它們之間的鄰近程度。由此陳軍、趙仁亮等人提出了k階Voronoi鄰近的概念[3，16-17]。

設(shè)P是二維笛卡爾空間有限凸域上空間目標(biāo)P1,P2,…,Pn的集合，Pi，Pj∈P（i≠j；i,j=1,2,…,n），在其剖分后所形成的Voronoi圖（Pv）上，Pi，Pj的Voronoi區(qū)域分別為Piv,Piv,將Pi與Pj之間Voronoi區(qū)域的最少個(gè)數(shù)k稱(chēng)為空間目標(biāo)Pi與Pj的Voronoi距離，記為dv(Pi，Pj)，且dv(Pi，Pj)≥0；當(dāng)Pi=Pj，dv(Pi，Pj)=0。在圖3中，dv(m,a)=1；dv(m，b)=1；dv(m，c)=2；dv(m，d)=1；dv(m,e)=2。從圖3中可以看出，Voronoi距離值的大小反映了兩目標(biāo)間的鄰近情況，當(dāng)值為0時(shí)，兩目標(biāo)最鄰近；當(dāng)值為1時(shí)，兩目標(biāo)較鄰近；值越大，說(shuō)明鄰近程度越弱。利用Voronoi距離，可以定義一種新的鄰近關(guān)系，即Voronoi k階鄰近[3]。

設(shè)P是二維笛卡爾空間有限凸域上空間目標(biāo)P1,P2,…,Pn的集合，Pi，Pj∈P（i≠j；i,j=1,2,…,n），Pi，Pj的Voronoi區(qū)域分別為Piv,Piv，如果Piv,Piv存在，且dv(Pi，Pj)為k，則稱(chēng)Pi與Pj之間存在k階鄰近關(guān)系，記為＜Pi,kAdj, Pj＞，那么

圖3中，觀測(cè)點(diǎn)m與目標(biāo)a、b和d之間為一階鄰近，而與目標(biāo)c和e為二階鄰近。

2.4.2 基于Delaunay三角網(wǎng)的鄰近表達(dá)

Delaunay三角網(wǎng)是一個(gè)連通圖，其中每一點(diǎn)都是連通的，因此，Delaunay三角形的每一條邊都隱含著兩個(gè)點(diǎn)之間的鄰近關(guān)系。杜曉初等基于Delaunay三角網(wǎng)分別給出了地理目標(biāo)之間的鄰近和k階鄰近的定義[18-19]，根據(jù)該定義觀測(cè)點(diǎn)k階Delaunay鄰近定義如下：

P為某一觀測(cè)點(diǎn)m與n個(gè)地理對(duì)象pi的集合，在P對(duì)應(yīng)的約束Delaunay三角網(wǎng)T中，如果m與pi地理目標(biāo)之間的最小Delaunay距離為k，則稱(chēng)該地理目標(biāo)與觀測(cè)點(diǎn)之間的關(guān)系為k階Delaunay鄰近關(guān)系，記為＜m，Neighbor(k)，pi＞，即

特別地，當(dāng)k=1時(shí)，這兩個(gè)目標(biāo)的關(guān)系是鄰近關(guān)系。圖4中，觀測(cè)點(diǎn)m與p1和p2為一階鄰近關(guān)系，與p3為二階鄰近關(guān)系。

圖4 Delaunay鄰近示意圖Fig.4 The Illustration of Delaunay neighbor

2.5 方向關(guān)系約束下的鄰近形式化表達(dá)

設(shè)觀測(cè)點(diǎn)m的鄰近對(duì)象集為o（可以是鄰近中的任何一種），根據(jù)方向約束條件C確定的約束區(qū)域?yàn)镈（根據(jù)四方向、八方向等方法劃定），如果o′o,oi∈O',oio⌒R≠ ，其中，oio表示地理對(duì)象oi的內(nèi)部，那么稱(chēng)o′是觀測(cè)點(diǎn)m的方向約束下鄰近對(duì)象。

3 基于Voronoi鄰近的變比例尺移動(dòng)地圖表達(dá)

3.1 變比例尺移動(dòng)地圖模型及存在問(wèn)題

變比例尺地圖是指，在一幅地圖內(nèi)放棄統(tǒng)一的比例尺，讓比例尺隨著區(qū)域的重要性而變化，這種地圖制圖方法可以充分利用地圖圖幅的空間，提高地圖的信息負(fù)載量和功能[20-22]。針對(duì)小屏幕移動(dòng)地圖，Harrie將小屏幕地圖空間劃分為3個(gè)區(qū)域，將用戶當(dāng)前位置附近區(qū)域作為焦點(diǎn)區(qū)域，采用大比例尺重點(diǎn)表達(dá)，而將外圍區(qū)域采用小比例尺次要表達(dá)，兩個(gè)區(qū)域中間部分采用變比例尺表達(dá)，按照區(qū)域范圍劃分方式不同，可以分為圓形（如圖5所示）與矩形兩種變比例尺表達(dá)模型[23-24]，式（1）是圓形窗口的變比例尺地圖表達(dá)模型。

圖5 圓形變比例尺模型示意圖Fig.5 The illustration of circular variable scale model

其中，S1為焦點(diǎn)區(qū)域比例尺，Ss為外圍區(qū)域比例尺。

但是，由于該模型的焦點(diǎn)區(qū)域大小及其比例尺大小都是事先設(shè)定的，對(duì)于地理信息密集或復(fù)雜的區(qū)域，可能比例尺顯得過(guò)?。▽?dǎo)致焦點(diǎn)信息過(guò)量或過(guò)度綜合），而對(duì)于地理信息稀疏區(qū)域，焦點(diǎn)區(qū)域的比例尺可能顯得太大（導(dǎo)致焦點(diǎn)信息太少）。顯然，要想顯著引起用戶對(duì)焦點(diǎn)區(qū)域信息的注目，必須根據(jù)用戶位置周?chē)男畔⒎植即_定合理的焦點(diǎn)區(qū)域地圖比例尺。

3.2 基于Voronoi鄰近的變比例尺移動(dòng)地圖表達(dá)

變比例尺地圖焦點(diǎn)區(qū)域的合適比例尺問(wèn)題，其核心是合理確定焦點(diǎn)地圖內(nèi)容。那么，哪些地理要素應(yīng)該放置在核心區(qū)域呢？對(duì)于移動(dòng)地圖的用戶，最有可能關(guān)注的首先是用戶周?chē)腜OI以及鄰近范圍的道路網(wǎng)?；谠撍悸?，本文提出通過(guò)Voronoi鄰近關(guān)系計(jì)算，動(dòng)態(tài)計(jì)算當(dāng)前位置鄰近范圍內(nèi)的POI以及路口，根據(jù)鄰近范圍的大小確定焦點(diǎn)區(qū)域比例尺，一方面保證焦點(diǎn)區(qū)域內(nèi)放置的是用戶真正關(guān)心的信息，另一方面也保護(hù)焦點(diǎn)區(qū)域內(nèi)信息量的適度。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1：獲取用戶當(dāng)前位置；`

步驟2：依據(jù)鄰近關(guān)系計(jì)算鄰近的POI及路口范圍；

步驟3：根據(jù)鄰近范圍確定最大包圍圓半徑R（以當(dāng)前位置為中心）；

步驟4：計(jì)算焦點(diǎn)區(qū)域合適比例尺（分母）R/r0；

步驟5：依據(jù)式（1）進(jìn)行變比例尺地圖表達(dá)。

圖6是基于模擬器生成的鄭州東區(qū)會(huì)展中心附近變比例尺手機(jī)地圖，圖6a基于靜態(tài)焦點(diǎn)區(qū)域比例尺模型生成，圖6b基于Voronoi鄰近區(qū)域計(jì)算采用動(dòng)態(tài)焦點(diǎn)區(qū)域比例尺模型生成。由于焦點(diǎn)區(qū)域比例尺設(shè)置合理，既保證了焦點(diǎn)區(qū)域容易注目，還增加了外圍地圖的參考信息量。在改善變比例尺移動(dòng)地圖的易讀性同時(shí)，提高了變比例尺地圖的表達(dá)效率。

圖6 兩種模型對(duì)比Fig.6 The comparison between two models

4 結(jié)束語(yǔ)

空間鄰近是空間關(guān)系的重要組成部分，將在空間分析、位置服務(wù)以及地圖制圖等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用前景。本文通過(guò)梳理人類(lèi)空間知識(shí)中相關(guān)的空間鄰近概念，然后結(jié)合相關(guān)學(xué)科的研究成果給出相關(guān)概念的形式化表達(dá)，最后結(jié)合移動(dòng)地圖的變比例尺表達(dá)，研究了基于空間鄰近的焦點(diǎn)范圍選擇、焦點(diǎn)區(qū)域比例尺計(jì)算，不僅改善了移動(dòng)地圖的易讀性，還提高了變比例尺地圖表達(dá)的效率。