倪有源，崔征山，陳俊華，劉躍斌

(合肥工業(yè)大學(xué)，合肥 230009)

0 引 言

近年來，高性能永磁材料的應(yīng)用極大地促進(jìn)了永磁電機(jī)的發(fā)展，永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)簡單,有體積小、質(zhì)量輕、功率因數(shù)高、功率密度高等優(yōu)點，在智能制造、伺服控制等領(lǐng)域的應(yīng)用比例越來越高。一方面，永磁材料的推廣應(yīng)用簡化電機(jī)的結(jié)構(gòu)和質(zhì)量，消除轉(zhuǎn)子上的滑環(huán)和電刷等結(jié)構(gòu)，降低電機(jī)的故障發(fā)生率；另一方面，電力電子功率器件的發(fā)展為永磁電機(jī)的發(fā)展提供了廣闊的空間，促進(jìn)了永磁電機(jī)的開發(fā)和應(yīng)用。功率集成性器件和計算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，極大程度上改觀了現(xiàn)代永磁電機(jī)的控制領(lǐng)域，實現(xiàn)了電機(jī)的無刷結(jié)構(gòu)，在高精度位置控制行業(yè)已顯得十分重要，如：智能機(jī)器人、航天飛行器、醫(yī)療器械以及精密加工等行業(yè)。

為了便于嵌放電樞繞組，在生產(chǎn)電機(jī)時，定子上常開有一些槽。齒槽效應(yīng)會產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩脈動和電磁噪聲等問題。表貼式永磁電機(jī)的轉(zhuǎn)矩脈動主要包括定子電流與轉(zhuǎn)子永磁體的相互作用，以及定子齒和永磁體的相互作用[1]。當(dāng)電機(jī)空載運行時，齒槽轉(zhuǎn)矩成為轉(zhuǎn)矩脈動的主要來源。

針對齒槽轉(zhuǎn)矩的抑制方法，國內(nèi)外文獻(xiàn)已有大量的研究。常見的方法主要有：改變磁極參數(shù)，改變電樞結(jié)構(gòu)以及槽數(shù)和極數(shù)的配合。具體包括：定子斜槽[2]、轉(zhuǎn)子磁形優(yōu)化[3]、槽極配合[4]、不等槽口寬度配合[5]、永磁體分塊[6]、極弧系數(shù)組合[7]、定子齒開輔助槽、轉(zhuǎn)子開槽及削角[8-9]、改變永磁充磁方向[10]等，但目前大都基于有限元法分析層面，基于設(shè)計參數(shù)與齒槽轉(zhuǎn)矩變化關(guān)系的定量分析十分匱乏。

本文通過對永磁體進(jìn)行削角來減小永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，闡述確定最優(yōu)削角尺寸的方法。同時分析電機(jī)的氣隙磁密、反電動勢、齒槽轉(zhuǎn)矩等參數(shù)，并與永磁體尚未削角進(jìn)行對比，得出該種磁極削角方法可以提高電機(jī)的相關(guān)性能。

1 解析法建模與分析

1.1 永磁削角解析模型的建立

本文主要研究的是8極9槽表貼式永磁電機(jī)，轉(zhuǎn)子采用削角方式，定子帶有齒尖，永磁體采用徑向磁化，設(shè)極弧系數(shù)為αp，下文中電機(jī)主磁場采用氣隙區(qū)域Ⅰ和永磁區(qū)域Ⅱ來表示。定子結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 電機(jī)定子結(jié)構(gòu)圖

由于齒槽效應(yīng)，在槽口處的磁阻較大，氣隙磁密在定子齒尖處會發(fā)生一定畸變，造成磁場諧波含量增加。

為簡化建模分析，對電機(jī)模型作如下假設(shè)：定子鐵心和轉(zhuǎn)子鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大，忽略鐵磁材料飽和；僅考慮二維場，電樞繞組端部效應(yīng)忽略不計；永磁材料具有線性退磁的特點，且永磁體被完全磁化。

假設(shè)定子內(nèi)表面光滑，定子為無槽結(jié)構(gòu)時，依據(jù)磁場邊界條件連續(xù)性，在氣隙區(qū)域Ⅰ和永磁區(qū)域Ⅱ中，磁感應(yīng)強度與磁場強度分別滿足[11]：

(1)

式中：BrΙ,HrΙ分別是空氣中的磁通密度和磁場強度；BrⅡ,HrⅡ分別是永磁體的磁通密度和磁場強度；M為永磁體的磁化強度；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為永磁的相對磁導(dǎo)率。

在二維極坐標(biāo)下，磁化強度矢量可表示：

M=Mrr+Mθθ

(2)

式中：Mr,Mθ分別為磁化強度的徑向分量和周向分量。

同時，氣隙區(qū)域Ⅰ和永磁區(qū)域Ⅱ需滿足拉普拉斯方程和準(zhǔn)泊松方程，即：

(3)

(4)

當(dāng)轉(zhuǎn)子磁極表面被削角后，磁場區(qū)域的邊界條件變得十分復(fù)雜，這里對各磁場區(qū)域，采用疊加原理求解。

削角后的轉(zhuǎn)子模型如圖2所示。將整塊磁極分為2個區(qū)域：規(guī)則的A區(qū)域和不規(guī)則的B區(qū)域。

圖2 轉(zhuǎn)子削角結(jié)構(gòu)

在相關(guān)文獻(xiàn)中，對永磁體削角方式研究很不深入，對多參數(shù)變化分析十分匱乏。為了減小磁通變化率，本文采用半圓弧削角的方式，如圖3所示。為保證永磁削角后的氣隙磁場對稱分布，在圖3中沿磁極的中心線，并以O(shè)1為圓心，且O1與O之間的距離為d，R0為半徑，所得到的弧線將磁極表面截去，即形成轉(zhuǎn)子削角模型。

圖3 永磁削角的模型

利用幾何關(guān)系，對圖3分析可得，

(5)

當(dāng)Rmj=Rm時，則可確定被削角規(guī)則的永磁區(qū)域A所處的范圍：

(6)

對不規(guī)則區(qū)域B，永磁體的外半徑發(fā)生了變化，但依據(jù)幾何關(guān)系可知：

(7)

同時，d與R0的關(guān)系必須滿足：

(8)

(1≤i≤n1)

(9)

同理，對另外一側(cè)削角部分作同樣的分析。

顯然，當(dāng)n1足夠大時，第i段小磁塊就可等效為規(guī)則的扇形區(qū)域。

將一個周期內(nèi)的永磁區(qū)域沿逆時針方向，按空間角度位置對磁化方式進(jìn)行分解，如表1所示。

表1 磁化強度表達(dá)式

將表1中分段的磁化強度寫成傅里葉級數(shù)的形式：

(10)

對于規(guī)則的A區(qū)域，氣隙磁密的徑向分量和周向分量分別：

(11)

式中：KBα(n),fBr(r)以及fBθ(r)的具體表達(dá)式在文獻(xiàn)[11]中給出。

對于不規(guī)則的B區(qū)域，將各段小永磁體單獨在氣隙區(qū)域產(chǎn)生的磁密疊加合成，即：

(12)

則對于定子內(nèi)表面光滑的無槽結(jié)構(gòu)，永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密：

(13)

1.2 帶齒尖結(jié)構(gòu)齒槽效應(yīng)的分析

由于圖1中定子有齒尖，氣隙磁密經(jīng)過定子槽口處要發(fā)生畸變，增加氣隙磁場中的諧波成分。卡特系數(shù)[12]可以分析齒槽效應(yīng)。本文利用改進(jìn)的卡特系數(shù)進(jìn)行分析。

由于氣隙磁密在槽口處的磁阻較大，實際的氣隙路徑長度分布不均，故需用等效氣隙來代替實際的氣隙長度。將磁通的路徑分為4條，如圖4所示。圖4中，bs為定子齒尖長度，b0為定子槽口長度，g為氣隙長度，h為定子齒高。

圖4 定子齒尖結(jié)構(gòu)及磁通路徑

圖4中各條磁通路徑的長度分別：

(14)

電機(jī)的總磁通可由磁動勢和磁導(dǎo)計算獲得：

(15)

式中：gh為等效氣隙長度；Kc為卡特系數(shù)；xi為磁通路徑通過定子鐵心的區(qū)域；yi為第i條路徑的長度。

通過式(14)處理可得，各條路徑的磁導(dǎo)：

(16)

氣隙磁場總的磁導(dǎo)為各條路徑磁導(dǎo)的總和：

(17)

由于電機(jī)的總磁通和磁動勢在等效前后不變，而總磁通等于磁導(dǎo)乘以磁動勢，結(jié)合式(15)可知，有效氣隙長度：

(18)

改進(jìn)后的卡特系數(shù)：

(19)

對定子有齒尖的結(jié)構(gòu)，通過采用改進(jìn)后的卡特系數(shù)計算等效氣隙路徑的方法，間接反映齒槽效應(yīng)對氣隙磁密波形的影響，可將徑向和切向氣隙磁密分別表示：

(20)

式中：

(21)

將分段后的卡特系數(shù)經(jīng)傅里葉展開，即可獲得定子有齒尖的徑向和切向氣隙磁密分布。

1.3 反電動勢分析

永磁體產(chǎn)生的磁場在定子繞組中產(chǎn)生磁通，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時，在定子繞組中就會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。對有定子齒的繞組分布，在一個節(jié)距內(nèi)，繞組中磁通可以由氣隙磁密在定子內(nèi)表面的積分獲得[13]，即：

(22)

式中：αy=2π/Ns。

當(dāng)定子槽數(shù)為奇數(shù)時，對不同極槽配合的反電動勢可以表示：

(23)

1.4 齒槽轉(zhuǎn)矩的解析式

齒槽轉(zhuǎn)矩是由于定子齒槽與永磁體相互作用而產(chǎn)生，當(dāng)氣隙磁密經(jīng)過槽口時，在電樞齒兩側(cè)周向方向上的電磁力大小不等，且合力的效果試圖使永磁磁極與定子槽對齊，是電機(jī)的固有特性。但在電機(jī)精密控制行業(yè)，齒槽轉(zhuǎn)矩對轉(zhuǎn)矩脈動的影響不能忽視，同時也會帶來電磁噪聲等問題。

計算齒槽轉(zhuǎn)矩主要有能量法和麥克斯韋表面張力法，后者計算精度較高。因此，采用麥克斯韋應(yīng)力張力法[14]計算齒槽轉(zhuǎn)矩：

(24)

式中：Br(r,θ)和Bθ(r,θ)分別為考慮齒槽效應(yīng)時的氣隙磁密的徑向分量和周向分量。

從齒槽轉(zhuǎn)矩的解析式中可以看出，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值與電機(jī)軸向長度、氣隙磁密幅值、定子開口寬度等密切相關(guān)。經(jīng)進(jìn)一步化簡后，可將齒槽轉(zhuǎn)矩問題轉(zhuǎn)變?yōu)檗D(zhuǎn)子位置θ的函數(shù)，故齒槽轉(zhuǎn)矩峰值只取決于氣隙磁密的徑向分量Br和周向分量Bθ。由式(24)可知，當(dāng)圖3中永磁削角尺寸發(fā)生變化時，會直接影響到氣隙磁密波形分布，削角過小或過大都會造成的氣隙磁密畸變，所以將齒槽轉(zhuǎn)矩的脈動轉(zhuǎn)化到氣隙磁密的徑向和周向分量上。這里通過MATLAB工具，利用解析模型，對變量賦值可快速得出齒槽轉(zhuǎn)矩的變化規(guī)律。

2 解析法計算及有限元法驗證

為驗證上述解析模型的準(zhǔn)確性，以一臺8極9槽表貼式永磁電機(jī)為例，電機(jī)額定轉(zhuǎn)速為750r/min，電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。

表2 永磁電機(jī)的主要參數(shù)

根據(jù)上述所建立的轉(zhuǎn)子削角解析模型，對電機(jī)主要參數(shù)進(jìn)行賦值，可得出徑向和切向氣隙磁密的波形，分別如圖5和圖6所示。從圖5、圖6中可以看出，解析法與有限元法得到的徑向氣隙磁密基本一致。解析法首先計算永磁削角后在定子無齒槽效應(yīng)下的氣隙磁密波形，之后利用改進(jìn)卡特系數(shù)的方法，對氣隙磁密路徑進(jìn)行研究，得出實際定子帶有齒尖時的氣隙磁密分布。由于在計算齒槽效應(yīng)時需要分步驟進(jìn)行，因而會產(chǎn)生數(shù)值誤差。另一方面，由于在定子齒邊緣處的聚磁效應(yīng)，氣隙磁密出現(xiàn)尖峰，但解析法通過改進(jìn)卡特系數(shù)的方法不能完全反映出該特點。但從氣隙磁密波形總體上看，2種方法計算結(jié)果基本一致。進(jìn)一步分析可知，減小電機(jī)的工作氣隙對波形質(zhì)量影響較大；越靠近定子內(nèi)表面處，磁密波形畸變越嚴(yán)重。

圖5 徑向氣隙磁密波形

圖6 切向氣隙磁密波形

采用解析法獲得的空載反電動勢波形如圖7所示。從圖7中可以看出，永磁體削角后反電動勢接近于正弦波。對反電動勢作FFT分析可知，永磁削角后反電動勢的基波幅值為26.53V,總諧波THD占14.46%；當(dāng)磁極未削角時，反電動勢的基波幅值為20.04V，總諧波THD占17.32%。顯然，永磁體表面削角后，增加了反電動勢的基波幅值，減小了諧波含量，這對提高轉(zhuǎn)矩和抑制轉(zhuǎn)矩脈動十分有利。有限元法驗證了相反電動勢解析法結(jié)果的正確性。

圖7 相反電動勢波形

齒槽轉(zhuǎn)矩的波形如圖8所示。從圖8中可以看出，齒槽轉(zhuǎn)矩的峰值為65.62mN·m。而當(dāng)永磁體表面未被削角時，齒槽轉(zhuǎn)矩的峰值為160.85mN·m。因此，轉(zhuǎn)子表面削角后，可有效減小齒槽轉(zhuǎn)矩。

圖8 齒槽轉(zhuǎn)矩波形

綜上所述，有限元法驗證了解析法獲得的氣隙磁密、反電動勢以及齒槽轉(zhuǎn)矩結(jié)果的正確性。

3 齒槽轉(zhuǎn)矩的優(yōu)化

為了研究永磁體削角后齒槽轉(zhuǎn)矩的變化特點，需要對削角后轉(zhuǎn)子的形狀進(jìn)行分析。結(jié)合式(8)，由圖4可知，削角尺寸變化為2個圓心的距離d與削角半徑R0的二元函數(shù)。2個變量同時對齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的影響如表3所示。

表3 齒槽轉(zhuǎn)矩峰值與永磁削角尺寸的關(guān)系

從表3中可以看出，當(dāng)2個圓心的距離d一定時，存在唯一對應(yīng)的削角半徑R0，使獲得的齒槽轉(zhuǎn)矩最小。由表2中的電機(jī)參數(shù)，利用建立的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型，經(jīng)過分析可知，當(dāng)d為31mm，且R0為14.5mm時，獲得的齒槽轉(zhuǎn)矩峰值最小值為13.61mN·m。相對于轉(zhuǎn)子表面未被削角時齒槽轉(zhuǎn)矩可有效降低91.53%。

在對永磁體進(jìn)行削角過程中，隨著削角的逐步變化，永磁體形狀可出現(xiàn)正弦形、梯形、面包形以及磁極偏心等形狀，故對永磁體削半弧形角將上述磁極形狀都囊括在內(nèi)，是一個磁形動態(tài)優(yōu)化過程。

另外，從表3中可以看出，當(dāng)永磁體削角尺寸不合理時，齒槽轉(zhuǎn)矩脈動不減反增，受齒槽效應(yīng)的影響，引起氣隙磁密的徑向和周向分量畸變。

4 結(jié) 語

本文利用磁場邊界條件和疊加原理，對永磁體分段建模，建立了削半圓弧磁極的表貼式永磁電機(jī)解析模型，計算了氣隙磁密、反電動勢以及齒槽轉(zhuǎn)矩等參數(shù)，并與有限元法計算結(jié)果進(jìn)行比較，驗證了建立解析模型的準(zhǔn)確性。此外，還利用解析模型對齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行了優(yōu)化，由于半圓弧的削角方法使氣隙磁通在極間變化相對平緩，選取合適的兩圓心距離d與削角半徑R0后，對降低齒槽轉(zhuǎn)矩的效果十分明顯。利用建立的磁極削角模型，充分發(fā)揮解析法對變量快速計算尋優(yōu)的特點，提高了永磁體的利用率，為電機(jī)轉(zhuǎn)子磁形設(shè)計方面提供了一種思路，為實際應(yīng)用提供了參考。