任芳玲，蔣登智

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 延安 716000)

期權(quán)，意為選擇權(quán)，近年來已成為金融市場最重要的衍生產(chǎn)品，以其靈活多變性備受投資者青睞，因此,有關(guān)期權(quán)定價(jià)問題的模型和方法探討就成為數(shù)理金融領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題之一。期權(quán)定價(jià)的常用方法包括B-S期權(quán)定價(jià)模型和數(shù)值計(jì)算模型，其中B-S期權(quán)定價(jià)模型雖有優(yōu)點(diǎn)，但其復(fù)雜的微分方程推導(dǎo)過程難以為金融務(wù)實(shí)者接受。在數(shù)值計(jì)算模型中，最為突出的即為二叉樹模型，此模型在1979年由Cox等[1]提出，給出了一種簡單的離散時(shí)間下的期權(quán)定價(jià)方法，被稱為Cox-Ross-Rubinstein二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型，由于其簡單直觀的構(gòu)造，不僅可以為歐式期權(quán)定價(jià)，也可為美式期權(quán)定價(jià)，應(yīng)用相當(dāng)廣泛，現(xiàn)已成為期權(quán)定價(jià)的基本方法之一。

然而，隨著經(jīng)典B-S期權(quán)定價(jià)模型在實(shí)際金融市場中的不斷檢驗(yàn)和修正，基本的二叉樹模型已不能很好地解決相關(guān)問題的數(shù)值計(jì)算，所以許多學(xué)者對此問題進(jìn)行了進(jìn)一步研究，張鐵[2]給出了二叉樹模型參數(shù)的不同確定方法，劉洪久等[3-4]給出了不確定、隨機(jī)條件下二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，Han等[5-7]都對二叉樹模型的參數(shù)值進(jìn)行了估計(jì)。Muzzioli等[8]給出了股票價(jià)格的行為模式在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的分?jǐn)?shù)二叉樹模型。然而交易成本和紅利已經(jīng)作為常用修正參數(shù)被引入到實(shí)際金融市場中，但關(guān)于此方面的數(shù)值計(jì)算方法并不多見，萬成高等[9]曾將二叉樹模型擴(kuò)展到包含紅利的情況，但很少將交易成本和紅利共同融入二叉樹期權(quán)定價(jià)模型中。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，從引入紅利率和交易成本比例以及紅利數(shù)額和交易成本數(shù)額兩種情況出發(fā)，在支付一次紅利和一次交易成本的前提下，推導(dǎo)出含有交易成本和紅利的歐式期權(quán)的二叉樹圖法，使其更具有實(shí)際意義，也解決了修正后的部分歐式期權(quán)的定價(jià)問題。但由于二叉樹圖法在計(jì)算上的復(fù)雜性，故而使用起來并不方便，對此許多學(xué)者嘗試了矩陣算法[10-11]研究，以此借助于C語言等程序語言[12-13]去實(shí)現(xiàn)。本文在引入交易費(fèi)和紅利的基礎(chǔ)上，利用二叉樹模型以及矩陣算法和MATLAB算法實(shí)現(xiàn)，最后通過簡單實(shí)例，對文中模型進(jìn)行應(yīng)用和檢驗(yàn)，體現(xiàn)了此方法的優(yōu)越便捷性。

1 二叉樹期權(quán)定價(jià)模型

二叉樹期權(quán)定價(jià)模型是將期權(quán)的有效期劃分為若干時(shí)間段，在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)分析期權(quán)價(jià)格的上下波動(dòng)情況，從而對有效期內(nèi)期權(quán)定價(jià)進(jìn)行預(yù)測的方法。令期權(quán)的有效期為[0,T]，將有效期等分為N個(gè)長度為Δt的小段，每個(gè)時(shí)間段為

二叉樹期權(quán)定價(jià)模型是一種特殊的二叉樹，即該二叉樹共有N層，根結(jié)點(diǎn)(0時(shí)刻)表示原始股票價(jià)格S；第iΔt(1≤i≤N)時(shí)刻，即第i層中共有i+1個(gè)結(jié)點(diǎn)，其第j(0≤j≤i)個(gè)點(diǎn)(i,j)表示iΔt時(shí)刻股票的一個(gè)可能價(jià)格，即

Si,j=Sujdi-j，

據(jù)此可將期權(quán)在有效期內(nèi)的價(jià)格波動(dòng)情況用圖1所示的二叉樹表示。

圖1 期權(quán)定價(jià)的二叉樹圖Fig.1 Binomial tree diagram of option pricing

現(xiàn)在考慮一個(gè)不支付紅利和交易費(fèi)用的歐式看跌期權(quán)，fi,j表示iΔt時(shí)第j個(gè)結(jié)點(diǎn)的歐式期權(quán)價(jià)值。那么在期權(quán)的到期日T，歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為

fN,j=max(X-SujdN-j,0)，j=0,1,2,…,N，

(1)

其中，X為到期日期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。

從結(jié)點(diǎn)(i,j)向(i+1)Δt時(shí)的結(jié)點(diǎn)(i+1,j+1)移動(dòng)的概率為p，而移動(dòng)到結(jié)點(diǎn)(i+1,j)的概率為1-p。在期權(quán)不提前執(zhí)行的情況下，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式有:

fi,j=e-rΔt[pfi+1,j+1+(1-p)fi+1,j]，

(2)

其中0≤i≤N-1，0≤j≤i。

在期權(quán)價(jià)格公式(1)、(2)中，普遍使用的二叉樹模型參數(shù)為[10]：

(3)

2 已知紅利率和交易成本收取比例下二叉樹模型的建立及算法

假設(shè)在期權(quán)有效期期間支付的紅利數(shù)量和支付時(shí)刻可以確定地預(yù)測，在股權(quán)除息這一時(shí)間點(diǎn)，股票價(jià)格將下降，下降幅度是每股支付的紅利的數(shù)量。為了便于討論，“紅利”一詞指在除息日由于支付紅利而導(dǎo)致的股票價(jià)格下降的減少量;交易成本可以看作是投資者因買賣股票而產(chǎn)生的直接費(fèi)用，一般由股票多頭支付，假設(shè)交易費(fèi)以交易額的固定比例k來收取。同樣假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)支付的交易成本數(shù)量和支付時(shí)刻也是可以確定地預(yù)測，在股權(quán)除息這一時(shí)點(diǎn)，股票價(jià)格將上升，上升幅度是每股支付的交易成本的數(shù)量。在這里需要注意的是，由于存在紅利和交易成本，會(huì)引起股票價(jià)格的浮動(dòng)。根據(jù)現(xiàn)實(shí)交易規(guī)律，由交易成本引起的股票價(jià)格上升的幅度要比紅利引起的股票價(jià)格下降的幅度小。

假設(shè)在未來某一確定時(shí)間將支付一次紅利和交易成本，二叉樹圖的形狀如圖2所示，分析方法與剛才描述的方法類似。如果時(shí)刻iΔt在除息日之前，則樹圖上這些結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的股票價(jià)格為:Sujdi-j，j=0,1,2,…,i。其中u和d與(3)式中的定義相同。

圖2 支付已知紅利率和交易成本比例的股票的二叉樹圖Fig.2 Stock’s binomial tree diagram of known dividend rate and transaction costs ratio

如果時(shí)刻iΔt在除息日之后，則樹圖上這些結(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格為:

S(1-δ+k)ujdi-j，j=0,1,…,i，

其中，δ是紅利率，如果在期權(quán)有效期內(nèi)有多個(gè)已知紅利率時(shí)，可以進(jìn)行同樣處理。若δi為0時(shí)刻之間所有除息日的總紅利支付率，則iΔt時(shí)刻結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的股票價(jià)格為:

S(1-δi+k)ujdi-j，j=0,1,…,i。

對上述模型利用矩陣形式計(jì)算可得如下定理1：

定理1 設(shè)按已知紅利率δ支付一次紅利，且按交易額的固定比例k收取一次交易成本的歐式期權(quán)在tN時(shí)刻期權(quán)的N+1種可能價(jià)值分別為

fN,1,fN,2,…,fN,N+1。

令行矩陣F=(fN,1,fN,2,…,fN,N+1)，并設(shè)N+1階下三角矩陣

則在當(dāng)前時(shí)刻t0期權(quán)的價(jià)值

fN,j=max(S(1-δ+k)ujdN-j-X,0)，j=0,1,2,…,N。

若期權(quán)為看跌期權(quán)，則

fN,j=max(X-S(1-δ+k)ujdN-j,0)，j=0,1,2,…,N。

證明：由二叉樹方法易知tN-1時(shí)刻在結(jié)點(diǎn)(N-1,1)處的期權(quán)價(jià)值為

fN-1,1=e-rΔt[pfN,1+(1-p)fN,2]=e-rΔt(fN,1,fN,2,…,fN,N+1)(p,1-p,0,…,0)T。

而在結(jié)點(diǎn)(N-1,2)處的期權(quán)價(jià)值為

fN-1,2=e-rΔt[pfN,2+(1-p)fN,3]=e-rΔt(fN,1,fN,2,…,fN,N+1)(0,p,1-p,0,…,0)T。

依此類推知在結(jié)點(diǎn)(N-1,N)處的期權(quán)價(jià)值為

fN-1,N=e-rΔt[pfN,N+(1-p)fN,N+1]=e-rΔt(fN,1,fN,2,…,fN,N+1)(0,0,…,p,1-p,)T。

即有

(fN-1,1,fN-1,2,…,fN-1,N,0)=e-rΔtFG。

再考慮tN-2時(shí)刻，對于j=1,2,…,N-1在結(jié)點(diǎn)(N-2,j)處期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為

fN-2,j=e-rΔt[pfN-1,j+(1-p)fN-1,j+1]

=e-rΔt(fN-1,1,fN-1,2,…,fN-1,N,0)(0,…,p,1-p,0,…,0)T。

結(jié)合式( 1) 有

(fN-2,1,fN-2,2,…,fN-2,N-1,*,0)=e-rΔt(fN-1,1,fN-1,2,…,fN-1,N,0)G=e-2rΔtFG2。

繼續(xù)下去可得(f0,*,…,*,0)=e-NrΔtFGN。

以上證明過程中出現(xiàn)的*表示一些不在我們考慮范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)，事實(shí)上容易知道

fN,1,fN,2,…,fN,N+1，

可由公式fN,j=max(S(1-δ+k)ujdN-j-X,0)確定;若所考慮的期權(quán)為歐式看跌期權(quán)，則F由公式fN,j=max(X-S(1-δ+k)ujdN-j,0)確定。

定理1是在假設(shè)只支付一次紅利和收取一次交易成本的情況下給出的，如果在期權(quán)的有效期內(nèi)按已知紅利率δ支付多次紅利的話，只需按支付紅利的次數(shù)計(jì)算出新的fN,j即可。

根據(jù)二叉樹期權(quán)定價(jià)模型和上述矩陣算法，可以編寫出存在紅利率和交易成本比例的歐式看漲期權(quán)價(jià)格的MATLAB程序如下：

function[price，lattice]=latticeecall(S，X，r，q，k，T，sigma，N)

deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT));d=1/u;

p=(exp((r-q)*deltaT)-d)/(u-d);lattice=zeros(N+1，N+1);

for j =0:N

lattice(N+1，j+1)=max(0，S*(1-q+k)*(u^j)*(d^(N-j))-X);

end

for i =N-1:-1:0

for j=0:i

lattice(i+1，j+1)=exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2，j+2)+(1-p)*lattice(i+2，j+1));

end

end

price=lattice(1，1);

注：為了方便書寫，此程序中的紅利率用q表示。

3 已知紅利數(shù)額和交易成本數(shù)額下二叉樹模型的建立及算法

若事先已知紅利數(shù)額和交易成本數(shù)額。假設(shè)股票的標(biāo)準(zhǔn)差σ是常數(shù)，則二叉樹圖的形狀如圖3所示。樹枝不再重合，這意味著如果股票支付多次紅利，所要估算的結(jié)點(diǎn)的數(shù)量可能變得很大。假如只有一次紅利和交易成本。除息日τ在lΔt到(l+1)Δt之間，而且紅利數(shù)額為D，交易成本數(shù)額為H。當(dāng)i≤l，在iΔt時(shí)刻，樹圖中結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的股票價(jià)格為:

Sujdi-j，j=0,1,2,…,i。

與原來一樣，當(dāng)i=l+1時(shí)，樹圖中結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的股票價(jià)格為:

Sujdi-j-D+H，j=0,1,2,…,i。

當(dāng)i=l+2時(shí)，樹圖中結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的股票價(jià)格為:

(Sujdi-1-j-D+H)u和 (Sujdi-1-j-D+H)d，

其中j=0,1,2,…,i-1，因此將有2i而不是i+1個(gè)結(jié)點(diǎn)。在(l+m)Δt時(shí)刻，將有m(l+1)個(gè)而不是l+m+1個(gè)結(jié)點(diǎn)。

圖3 已知紅利數(shù)額和交易成本數(shù)額的二叉樹圖Fig.3 Binomial tree diagram of known bonus amount and transaction costs amount

假設(shè)股票價(jià)格由兩部分組成:一部分是不確定的，而另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來紅利和交易成本的現(xiàn)值。同樣假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一個(gè)除息日τ，而且lΔt≤τ≤(l+1)Δt。在iΔt時(shí)刻，股價(jià)不確定部分的價(jià)值S*為:

S*=S，iΔt>τ，

S*=S-(D-H)e-r(τ-iΔt)，iΔt≤τ。

設(shè)σ*為S*的標(biāo)準(zhǔn)差，假設(shè)σ*(而不是σ，一般來說，σ*>σ)是常數(shù)。用σ*代替(3)式中的σ可計(jì)算出參數(shù)p、u和d，這樣就可用通常的方法構(gòu)造模擬S*的二叉樹圖了。通過把未來紅利和交易成本的現(xiàn)值加在每個(gè)結(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格上，就會(huì)使原來的二叉樹圖轉(zhuǎn)化為另一個(gè)模擬S的二叉樹圖。在iΔt時(shí)刻，當(dāng)iΔt≤τ時(shí)，這個(gè)樹圖上的結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的股票價(jià)格為:

S*ujdi-j+(D-H)e-r(τ-iΔt)，j=0,1,2,…,i。

當(dāng)iΔt>τ時(shí)，這個(gè)樹圖上的結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的股票價(jià)格為:

S*ujdi-j，j=0,1,2,…,i。

該方法成功地恢復(fù)了樹枝重合的狀態(tài)，這樣在iΔt時(shí)刻就只有i+1個(gè)結(jié)點(diǎn)了。此方法可以推廣到處理多個(gè)紅利的情況。

根據(jù)以上方法，我們可以恢復(fù)樹枝重合的狀態(tài)，而且這種方法還可以直接推廣到處理支付多次紅利和交易成本的情況。最為重要的是，由于樹枝的重合，我們僅須對定理1做適當(dāng)修正， 就可以得出以下針對按已知紅利數(shù)額支付紅利，和按已知交易成本數(shù)額收取交易成本的歐式期權(quán)的二叉樹模型的矩陣形式算法。

定理2 設(shè)按已知紅利數(shù)額D支付一次紅利，按已知交易成本數(shù)額H收取一次交易成本的歐式期權(quán)在tN時(shí)刻期權(quán)的N+1 種可能價(jià)值分別為

fN,1,fN,2,…,fN,N+1。

行矩陣F和N+1階下三角矩陣G定義與定理1相同，則在當(dāng)前時(shí)刻t0期權(quán)的價(jià)值

若期權(quán)為看跌期權(quán)，則

根據(jù)二叉樹期權(quán)定價(jià)模型和上述矩陣算法，可以編寫出存在紅利數(shù)額和交易成本數(shù)額的歐式看漲期權(quán)價(jià)格的MATLAB程序如下：

function[price，lattice]=latticeecall2(S，X，r，D，H，T，τ，sigma，N)

deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT));d=1/u;

p=(exp((r-q)*deltaT)-d)/(u-d);lattice=zeros(N+1，N+1);

(d^(N-j))+(D-H)exp(-r(τ-i*deltaT))*((i*deltaT)<=τ)

for j=0:N

end

for i =N-1:-1:0

for j=0:i

lattice(i+1，j+1)=exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2，j+2)+(1-p)*lattice(i+2，j+1));

end

end

price=lattice(1，1);

4 實(shí)例驗(yàn)證

例1:考慮一個(gè)有效期為5個(gè)月的股票看跌期權(quán)，預(yù)計(jì)在期權(quán)有效期內(nèi)該股票支付一次$2.06紅利和收到$2.06交易成本。初始的股票價(jià)格是$50，執(zhí)行價(jià)格是$50，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年10%，波動(dòng)率為每年40%，除息日是在三個(gè)半月的那天。

用我們通常的符號是S=50，X=50，r=0.10，σ=0.40，T=0.416 7。為了構(gòu)造一個(gè)二叉樹，假設(shè)我們把期權(quán)的有效期分成5個(gè)時(shí)間段，每段長1個(gè)月(0.083 3年)，則Δt=0.083 3。運(yùn)用(3)式可得:

我們首先構(gòu)造一個(gè)樹圖(如圖4)來模擬S*，S*為股票價(jià)格減去期權(quán)有效期內(nèi)未來紅利的現(xiàn)值，再加上期權(quán)有效期內(nèi)未來交易成本的現(xiàn)值。首先，紅利的現(xiàn)值是:2.06e-0.2917×0.1=2.00，交易成本的現(xiàn)值是:2.06e-0.2917×0.1=2.00。

因此S*的初始值為$52，假設(shè)S*的波動(dòng)率為每年40%，則圖4給出了一個(gè)S*的二叉樹圖。每個(gè)結(jié)點(diǎn)上價(jià)格上升的概率是0.507 6，下降的概率是0.492 4。按通常的方法向后推導(dǎo)就可得到期權(quán)的價(jià)格是$4.43。

圖4 例1中期權(quán)定價(jià)的二叉樹圖Fig.4 Binomial tree diagram of option pricing in Example 1

例2：已知一個(gè)5個(gè)月期的歐式看漲期權(quán)，期權(quán)是在布朗運(yùn)動(dòng)作用下，設(shè)股票初始價(jià)格為50元，執(zhí)行價(jià)格為50元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年10%，股票價(jià)格波動(dòng)率為每年40%，交易費(fèi)比例為2%，時(shí)間步長為一個(gè)月，考慮連續(xù)支付紅利，紅利率為10%，計(jì)算歐式看漲期權(quán)價(jià)格c。

解：已知S=50,X=50,T=5/12,r=0.1,σ=0.4,k=0.02,q=0.1,δt=1/12。

根據(jù)本文編寫程序，調(diào)用函數(shù)c=latticeecall(50，50，0.1，0.1，0，0.4，0.02，1/12，5/12，5)，可得歐式看漲期權(quán)價(jià)格為c=5.799 3。

5 結(jié)論

本文構(gòu)造的新型二叉樹模型既克服了原有二叉樹無交易成本模型的缺點(diǎn)，又有很高的計(jì)算精度，且可以利用矩陣算法和MARTLAB算法方便解出，可應(yīng)用于各種美式期權(quán)的定價(jià)。該模型還可推廣到三叉樹等更高階的樹圖中。