陳凡

(棗莊學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 棗莊 277160)

非飽和土壤水運(yùn)動(dòng)問題[1]是指土壤水未完全充滿空隙時(shí)的流動(dòng),是多孔介質(zhì)流體運(yùn)動(dòng)的一種重要形式。假設(shè)土壤是均勻介質(zhì)，各項(xiàng)同性。設(shè)x軸水平向右，z軸豎直向下，非飽和土壤水運(yùn)動(dòng)問題可歸結(jié)為下述模型[1]：

(1)

其中，Q(x,z,t)是土壤水的含水率，D(Q)是土壤水的擴(kuò)散率，K(Q)是水力傳導(dǎo)系數(shù)，Sr是根系吸水率，K、D與Q的關(guān)系如下：

(2)

給出模型(1)的定界條件：

初值條件：Q(x,z,0)=Q0;

其中，Q0表示初始含水率，Qs表示飽和含水率。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]可知問題的解存在且唯一?；诖藛栴}的可靠性，及其在氣象學(xué)、農(nóng)業(yè)環(huán)境工程、水動(dòng)力學(xué)等方面的現(xiàn)實(shí)意義，近年來許多學(xué)者提出了求解該問題的數(shù)值方法。本文主要討論該問題的間斷有限體積元方法，此方法既具有有限體積元方法的特點(diǎn)，又具有間斷有限元的優(yōu)點(diǎn)，空間構(gòu)造簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)便，精度高，物理量間滿足局部守恒，而且有限元空間無任何連續(xù)性的限制，可并行計(jì)算。本文給出了問題的半離散間斷有限體積元格式，得到L2模和離散‖|·|‖1,h模的最優(yōu)估計(jì)。

2 非飽和水流問題的間斷有限體積元格式

圖1 原始剖分與對(duì)偶剖分Fig.1 Original subdivision and dual subdivision

在原始剖分上定義間斷Sobolev空間

Hm(Th)={u∈L2(Ω):u|k∈Hm(K),?K∈Th},

(3)

在原始剖分Th上定義有限維的試探函數(shù)空間

Uh={uh∈L2(Ω):uh|k∈P1(K),?K∈Th},

Vh={vh∈L2(Ω):vh|T∈P0(T),?T∈Th*},

其中，Pl表示定義在單元K(T)上的次數(shù)小于等于l(l=0,1)的多項(xiàng)式集合。

(4)

其中，he為單元K的邊界e的長(zhǎng)度。

便于理論分析，取Q0=0。令F(Q)=P·K(Q),有

所以(1)式可以寫作

(5)

在上式兩端同時(shí)乘以vh∈Vh,在對(duì)偶單元上積分，關(guān)于T求和，利用Green公式得

其中，n為對(duì)偶單元T∈Th的邊界?T的單位外法向，Ti(i=1,2,3)是單元K∈Th的3個(gè)子三角形。

其中，P4=P1,P5=P2,P6=P3。

設(shè)e=?K1∩?K2,則[1]

根據(jù)以上均值以及躍度的定義，顯然可以得到下面的結(jié)論

應(yīng)用上式，并注意到[D(Q)Q·nvh]|e=0,?e∈Γ0。所以有

對(duì)于?Q∈H1(Ω),引入原方程解Q得Ritz投影Rh(t):H1(Ω)→Yh,0≤t≤T,滿足

A(Q;Q-RhQ,rhvh)=0,?vh∈Vh。

(6)

定義雙線性形式

其中，α為待定的實(shí)常數(shù)[3]。

于是得到問題(1)的半離散間斷有限體積元格式為：求Qh∈Uh，使得

(7)

由于Q是問題的解，且有[rhQ]|e=0，因此，真解滿足

(8)

(9)

引理1[2]對(duì)?uh,vh∈Uh,存在與h無關(guān)的正常數(shù)C，使得

|A(q;uh,rhvh)-A(q;vh,rhuh)|≤Ch‖|uh|‖1,h‖|vh|‖1,h,?uh∈Uh，

(10)

|A(p;uh,rhvh)-A(q;uh,rhvh)|≤C|uh|(‖p-q‖+h‖|p-q|‖1,h)‖|vh|‖1,h,?uh∈Uh。

(11)

引理2[3]存在與h無關(guān)的正常數(shù)β，使得

(12)

引理3[3]對(duì)?uh,vh∈Uh,存在與h無關(guān)的正常數(shù)C，使得

A(q;uh,rhvh)≤C‖|uh|‖1,h‖|vh|‖1,h。

(13)

‖·‖是等價(jià)的，且有‖γhuh‖=‖uh‖。

引理5[4]存在與h無關(guān)的正常數(shù)C，使得

h‖|uh|‖1,h≤C‖uh‖,?uh∈Uh。

(14)

引理6[5]若Q∈W(Ω)∩H3(Ω),當(dāng)h充分小, 存在與h無關(guān)的正常數(shù)C,使得|RhQ|≤C。

3 收斂性分析

根據(jù)Ritz投影Rh的相關(guān)理論[6]，得到以下的插值性質(zhì)：

‖Q-RhQ‖≤Ch2‖Q‖H1(0,T;H3(Ω));
‖(Q-RhQ)t‖≤Ch2‖Q‖H1(0,T;H3(Ω));
‖|Q-RhQ|‖≤Ch‖Q‖H1(0,T;H3(Ω));
‖|(Q-RhQ)|t‖≤Ch‖Q‖H1(0,T;H3(Ω))。

(15)

定理設(shè)Q,Qh分別為問題(1)和(7)的解，若Q∈H1(0,T;H3(Ω)),Qh(0)=0,則存在與h無關(guān)的正常數(shù)C，滿足

(16)

證明記ρ=Q-RhQ,θ=RhQ-Qh,(7)與(8)相減，由(6)式得誤差方程

(17)

在上式中取vh=θ,對(duì)左端項(xiàng),由引理1得

(18)

對(duì)右端各項(xiàng)，由Hollder不等式、ε不等式、引理1、引理5，有估計(jì)式

其中假設(shè)

(19)

對(duì)上式兩端關(guān)于t從0～t積分，并注意到θ(0)=0,由Gronwall引理有

即‖θ‖≤Ch2‖Q‖H1(0,T;H3(Ω))。

(20)

下面證明|Qh|≤C0(0≤t≤T)成立。

因?yàn)閨Qh|=|Qh|L(0,T;W1,(Ω)),故其為關(guān)于t的連續(xù)函數(shù)。

當(dāng)t=0，Qh(0)=0，|Qh|≤C0顯然成立。

當(dāng)t≠0，由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，存在0

當(dāng)0

由于(20)對(duì)?0≤t≤t*都成立，則由引理6得

|Qh|L(0,t*;W1,(Ω))≤|Qh-RhQ|L(0,t*;W1,(Ω))+|RhQ|L(0,t*;W1,(Ω))

≤C(h→0)。

故存在δ>0,使得當(dāng)t*≤t≤t*+δ,有|Qh|L(0,t;W1,(Ω))≤C,因此結(jié)論成立。

在誤差方程中取vh=θt,有

(θt,γhθt)+A(Q;θ,γhθt)=-(ρt,γhθt)+A(Qh;Qh,γhθt)-A(Q;Qh,γhθt)+(·F(Q)-·F(Qh),γhθt)。

對(duì)左端項(xiàng)使用引理5得

故誤差方程等價(jià)于

=-(ρt,γhθt)+A(Qh;Qh,γhθt)-A(Q;Qh,γhθt)+(·F(Q)-·F(Qh),γhθt)+

=J1+J2+J3+J4+J5。

類似前面的估計(jì)有

|J2| ≤C(‖ρ‖+‖θ‖+h‖|ρ|‖1,h+h‖|θ|‖1,h)‖|θt|‖1,h

≤C(‖ρ‖+‖θ‖+h‖|ρ|‖1,h+h‖|θ|‖1,h)h-1‖θt‖1,h

對(duì)于J4、J5，由引理3、ε不等式及D(Qh)的有界性可得

整理可得

(21)

對(duì)t從0～t積分，并注意到θ(0)=0,有

所以‖|θ|‖1,h≤Ch‖Q‖H1(0,T;H3(Ω))。

(22)

最后由(15)、(20)、(22)和三角不等式得證結(jié)論成立。