王建林，郭永奇，魏青軒，孫 橋，胡紅波

(1.北京化工大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100029；2.中國計量科學(xué)研究院，北京 100029)

在航空航天、機(jī)械電力、地質(zhì)探測、汽車工業(yè)等領(lǐng)域廣泛存在振動與沖擊，加速度計作為測量振動與沖擊的慣性傳感器，其動態(tài)模型對研究與分析加速度計的動態(tài)特性及提高振動與沖擊測試系統(tǒng)的動態(tài)測量精度具有重要作用。

加速度計動態(tài)校準(zhǔn)是研究其動態(tài)模型及動態(tài)特性的重要方法，主要有正弦振動激勵校準(zhǔn)和沖擊激勵校準(zhǔn)，并已建立了相應(yīng)的國家基準(zhǔn)和校準(zhǔn)裝置[1-4]。

利用加速度計的正弦振動激勵校準(zhǔn)和沖擊激勵校準(zhǔn)實驗數(shù)據(jù)，建立加速度計動態(tài)模型，全面表征加速度計的動態(tài)特性。加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識以自回歸模型或頻率響應(yīng)函數(shù)為基礎(chǔ)，利用參數(shù)辯識方法在時域或頻域?qū)崿F(xiàn)參數(shù)辨識。俞阿龍[5]利用遺傳算法全局搜索的特點，實現(xiàn)了基于遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識，彌補(bǔ)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易陷入局部極值的不足，保留了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)局部搜索能力強(qiáng)的優(yōu)點；楊子愷等[6]構(gòu)建加速度計的線性帶外生變量的自回歸滑動平均模型，描述了加速度計的輸入輸出特性及噪聲，采用預(yù)測誤差法估計動態(tài)模型參數(shù)，模型輸出與實測加速度計輸出曲線吻合良好；以上方法直接使用加速度計輸入輸出數(shù)據(jù)實現(xiàn)參數(shù)辨識，均為加速度計動態(tài)模型參數(shù)時域辨識方法，這些方法存在參數(shù)辨識數(shù)據(jù)計算量大、模型階次較高、易受高頻噪聲干擾等缺點。參數(shù)頻域辨識方法具有辨識過程數(shù)據(jù)計算量小、不易受高頻噪聲影響等優(yōu)點，已在加速度計動態(tài)模型參數(shù)辨識中得到應(yīng)用。Link等[7]使用加速度計正弦振動激勵校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，應(yīng)用加權(quán)最小二乘(Weighted Least Squares,WLS)在頻域辯識加速度計動態(tài)模型參數(shù)，并采用Monte Carlo方法評定了加速度計動態(tài)模型參數(shù)的不確定度；Link等[8]利用加速度計沖擊激勵校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，采用最小二乘(Least Squares,LS)方法在頻域辨識加速度計動態(tài)模型參數(shù)，模型參數(shù)辨識結(jié)果與絕對法正弦振動激勵校準(zhǔn)數(shù)據(jù)辨識結(jié)果比較，具有較好的一致性，該方法被廣泛應(yīng)用于加速度計沖擊激勵校準(zhǔn)。胡紅波等[9]采用中國計量科學(xué)研究院的高g值和低g值的加速度計沖擊激勵校準(zhǔn)裝置，在頻域應(yīng)用LS方法辯識加速度計動態(tài)模型參數(shù)，取得了較好的效果。然而，加速度計動態(tài)模型參數(shù)時域或頻域辯識方法都是以加速度計二階線性模型為基礎(chǔ)進(jìn)行模型參數(shù)辨識，實際上，沖擊激勵加速度計校準(zhǔn)實驗數(shù)據(jù)分析表明，由于加速度計存在的非線性，僅利用二階線性模型不能準(zhǔn)確預(yù)測沖擊加速度計的輸出[10]。在加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識中，加速度計的非線性導(dǎo)致加速度計二階線性模型參數(shù)為有偏估計[11]，尤其是當(dāng)加速度計的非線性較明顯時，其動態(tài)模型參數(shù)辨識結(jié)果會產(chǎn)生較大誤差。支持向量機(jī)(Support Vector Machine,SVM)是由Vapnik等提出的以結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化為準(zhǔn)則的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，對于小樣本、非線性的建模問題具有獨特的優(yōu)勢[12]，適合用于加速度計的非線性估計。

針對加速度計存在的非線性對其動態(tài)模型參數(shù)辨識精度的影響，本文通過引入非線性項，構(gòu)建加速度計二階非線性動態(tài)模型，描述其動態(tài)特性；提出了一種基于WLS和SVM的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識方法，采用WLS辨識加速度計動態(tài)模型中線性部分參數(shù)，并利用SVM估計加速度計動態(tài)模型中非線性特性，通過反復(fù)迭代，最小化頻域誤差準(zhǔn)則函數(shù)，實現(xiàn)加速度計動態(tài)模型參數(shù)的最優(yōu)辯識。

1 加速度計二階非線性動態(tài)模型

在線性動態(tài)范圍內(nèi)，加速度計可以簡化為一個單自由度“質(zhì)量-彈簧-阻尼”系統(tǒng)，能夠用二階線性模型表征其動態(tài)特性，如圖1所示。

彈簧和阻尼器與質(zhì)量塊相連固定于加速度計底座上，當(dāng)加速度計隨被測運動體發(fā)生運動時，質(zhì)量塊相對于加速度計底座發(fā)生位移，質(zhì)量塊的運動方程為

圖1 單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)Fig.1 The one degree of freedom spring-mass-damper system

(1)

式中：m為質(zhì)量塊質(zhì)量，k為彈簧的彈性系數(shù)，c為阻尼器的阻尼系數(shù)，R(t)為質(zhì)量塊相對于慣性坐標(biāo)系位移，S(t)為加速度計底座相對于慣性坐標(biāo)系位移。

(2)

對式(2)兩邊同時進(jìn)行拉氏變換，得到加速度計傳遞函數(shù)

(3)

實際上加速度計動態(tài)特性存在非線性，其動態(tài)模型本質(zhì)上是非線性的，在加速度計的高精度應(yīng)用場合，加速度計存在的非線性影響其動態(tài)性能。因此，為了準(zhǔn)確地表征加速度計動態(tài)特性，不失一般性，加速度計動態(tài)模型可用二階非線性模型描述，即在式(3)中引入非線性項Δρ(s)，以表征加速度計的非線性，加速度計動態(tài)模型可以表示為

(4)

令HL和HNL分別表示加速度計動態(tài)模型的線性部分與非線性部分，加速度計動態(tài)模型為

H(s)=HL(s)+HNL(s)

(5)

2 基于WLS-SVM的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識

2.1 加速度計動態(tài)模型線性部分參數(shù)辯識

(8)

設(shè)加速度計輸入與輸出數(shù)據(jù)分別為a(n)和x(n)，對應(yīng)的傅里葉變換分別為A(jω)和X(jω)，則直接由加速度計的輸入輸出數(shù)據(jù)，經(jīng)傅里葉變換得到的加速度計頻率響應(yīng)函數(shù)為

(9)

在加速度計沖擊激勵校準(zhǔn)實驗中，沖擊激勵信號脈寬影響其帶寬，帶寬外的頻域數(shù)據(jù)不確定度較大，而應(yīng)用LS在頻域辯識加速度計動態(tài)模型參數(shù)方法中，頻域數(shù)據(jù)點的權(quán)值相等，使得模型參數(shù)辨識結(jié)果不確定度較大，精度較低，激勵信號帶寬越小，模型參數(shù)的不確定度越大，精度越低。因此，依據(jù)信噪比確定頻域數(shù)據(jù)點的權(quán)值，應(yīng)用WLS估計加速度計動態(tài)模型線性部分的參數(shù)，提高動態(tài)模型參數(shù)辯識精度。

記加速度計輸入與輸出數(shù)據(jù)的頻域信噪比分別為SNRA和SNRX，且滿足

(10)

定義頻域誤差準(zhǔn)則函數(shù)為

J(μ)=

(11)

2.2 加速度計動態(tài)模型非線性估計

SVM能夠在高維空間構(gòu)建線性擬合，解決非線性估計問題，本文采用SVM實現(xiàn)加速度計動態(tài)模型非線性估計。

選取加速度計頻率響應(yīng)函數(shù)的頻率區(qū)間[ω1,ωL]，令加速度計非線性的樣本集為{z,y}，其中

z=(Re(jω1)，…，Re(jωL),Im(jω1)，…，Im(jωL))

y=(Re(HNL(jω1))，…，Re(HNL(jωL)),

Im(HNL(jω1))，…，Im(HNL(jωL)))

(12)

通過非線性映射：z→φ(z)轉(zhuǎn)換到高維空間，非線性擬合問題變換為線性擬合問題，即

f(z)=aT·φ(z)+b

(13)

式中，·表示內(nèi)積，a的維數(shù)為高維空間的維數(shù)，b∈R為閾值。

引入松弛變量ξ，ξ≥0，根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化準(zhǔn)則，擬合問題轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問題

(14)

其中，C為懲罰系數(shù)。

優(yōu)化問題的約束條件為

(15)

式中，ε為精度，C越大表示對訓(xùn)練誤差大于精度ε的樣本的懲罰越大，ε越小，回歸函數(shù)與輸出的誤差越小，估計精度越高。

2.3 加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識

在頻域利用WLS實現(xiàn)加速度計動態(tài)模型線性部分參數(shù)辨識，利用SVM估計加速度計非線性，通過多次迭代，實現(xiàn)加速度計動態(tài)模型參數(shù)最優(yōu)辨識。

基于WLS-SVM的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識算法的流程圖如圖2所示。

圖2 基于WLS-SVM的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識算法流程圖Fig.2 Flow chart of parameters identification algorithm of the accelerometer dynamic model using WLS-SVM

基于WLS-SVM的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識算法步驟如下：

步驟1對加速度計沖擊激勵校準(zhǔn)輸入與輸出數(shù)據(jù)作傅里葉變換，由式(9)求得加速度計頻率響應(yīng)函數(shù)H1(jω)；

3 實驗與分析

3.1 仿真實驗

利用MATLAB軟件仿真加速度計沖擊激勵校準(zhǔn)的激勵與響應(yīng)信號，其中，沖擊激勵信號通過四階巴特沃斯濾波器產(chǎn)生，截止頻率為10 kHz，采樣頻率為10 MHz，數(shù)據(jù)長度為5×104，定義仿真加速度計動態(tài)模型線性部分HL(s)的參數(shù)分別為δ=0.006 0，ωn=2.700×105rad/s以及ρ=3.200 0×105；根據(jù)加速度計(型號:XK101S)沖擊激勵校準(zhǔn)實驗數(shù)據(jù)分析其存在的非線性，令仿真模型的非線性動態(tài)特性接近加速度計(型號:XK101S)的非線性動態(tài)特性，定義仿真加速度計動態(tài)模型非線性部分為

Δρ(s)=(τs)-0.9

(16)

式中，τ=0.005。仿真的加速度計沖擊激勵信號與響應(yīng)信號時域波形如圖3所示，由式(9)求取的加速度計頻率響應(yīng)函數(shù)如圖4所示。

選取頻率段0～50 kHz，應(yīng)用本文提出的基于WLS-SVM的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識方法，通過迭代實現(xiàn)加速度計動態(tài)模型參數(shù)辨識，并與文獻(xiàn)[8]的方法進(jìn)行比較，文獻(xiàn)[8]中針對加速度計二階線性模型，采用雙線性變換得到模型的離散傳遞函數(shù)，進(jìn)而得到頻率響應(yīng)函數(shù)，在頻域利用LS辨識加速度計動態(tài)模型參數(shù)，所得模型參數(shù)辨識結(jié)果如表1所示。由表1可知，應(yīng)用本文提出的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識方法所得加速度計動態(tài)模型參數(shù)辨識結(jié)果更接近設(shè)定值，相對誤差較小，相比于文獻(xiàn)[8]的方法，本文方法克服了非線性對加速度計動態(tài)模型參數(shù)辨識結(jié)果的影響，使得δ辨識精度提高了1.67%，ρ辨識精度提高了0.12%。

(a) 加速度計沖擊激勵信號

(b) 加速度計響應(yīng)信號

(a) 幅頻響應(yīng)

(b) 相頻頻響應(yīng)

表1 仿真實驗?zāi)Ｐ蛥?shù)辨識結(jié)果Tab.1 Results of model parameter identification in simulation experiments

3.2 加速度計沖擊激勵校準(zhǔn)實驗

采用中國計量科學(xué)研究院的加速度計絕對法沖擊激勵校準(zhǔn)裝置獲取加速度計沖擊激勵校準(zhǔn)實驗數(shù)據(jù)。加速度計絕對法沖擊激勵校準(zhǔn)裝置如圖5所示。

(a) 裝置結(jié)構(gòu)圖

(b) 實物圖

該裝置由高壓倉、彈丸、Hopkinson桿、激光干涉儀、PXI采集板卡等組成。加速度計通過螺栓固聯(lián)于Hopkinson桿的一端，當(dāng)彈丸以一定速度撞擊Hopkinson桿的另一端，會在此端面產(chǎn)生近似正弦波的應(yīng)力波，應(yīng)力波沿Hopkinson桿傳播到另一端面，通過多次反射產(chǎn)生沖擊加速度，利用激光干涉儀測量Hopkinson桿末端的位移信號，對位移信號作兩次微分處理得到被校加速度計的沖擊激勵信號。加速度計的輸出經(jīng)過放大器轉(zhuǎn)換為電壓信號，PXI采集板卡對激光干涉儀輸出與加速度計輸出信號同步采樣。

利用上述絕對法沖擊激勵校準(zhǔn)裝置對加速度計(型號:XK101S)進(jìn)行六次絕對法沖擊激勵校準(zhǔn)實驗，并以100 MHz采樣頻率對激光干涉儀的輸出信號與加速度計輸出的電壓信號同步采樣，激光干涉儀的輸出信號經(jīng)過計算機(jī)解算轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的加速度信號。六次校準(zhǔn)實驗中，加速度計輸入輸出信號前5個波峰和波谷值如表2所示，重復(fù)性良好。第一次實驗采樣獲得的加速度計輸入與輸出信號時域波形如圖6所示，針對加速度計輸入與輸出數(shù)據(jù)，由式(9)求取加速度計頻率響應(yīng)函數(shù)，結(jié)果如圖7所示，由于受加速度計非線性影響，其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)不符合二階線性模型的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。

表2 加速度計輸入輸出信號波峰和波谷值Tab.2 Peak and trough data of accelerometer input and output signal

針對此六次實驗的數(shù)據(jù)，分別應(yīng)用文獻(xiàn)[8]方法和本文提出的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識方法進(jìn)行加速度計動態(tài)模型參數(shù)辨識，辯識結(jié)果見表3。由表3可知，對于固有頻率ωn，兩種方法所得參數(shù)辨識結(jié)果較為一致，這是由于被校加速度計非線性對固有頻率影響不大，而對于阻尼比δ和轉(zhuǎn)換系數(shù)ρ，兩種方法所得參數(shù)辨識結(jié)果雖在數(shù)量級上保持了一致，但由于受非線性的影響，利用文獻(xiàn)[8]方法所得參數(shù)辨識結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差明顯偏大，而本文提出的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識方法所得參數(shù)辨識結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差較小，具有較高的一致性，表明了基于WLS-SVM的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識方法受非線性影響較小。

(a) 加速度計沖擊激勵信號

(b) 加速度計響應(yīng)信號

(a) 幅頻響應(yīng)

(b) 相頻頻響應(yīng)

表3 校準(zhǔn)實驗?zāi)Ｐ蛥?shù)辯識結(jié)果Tab.3 Model parameter of identification in calibration experiments

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于WLS-SVM的加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識方法，在加速度計線性二階動態(tài)模型基礎(chǔ)上，為了準(zhǔn)確地表征加速度計動態(tài)特性存在的非線性，通過引入非線性項，構(gòu)建加速度計二階非線性動態(tài)模型，描述其動態(tài)特性；分別利用WLS和SVM迭代計算，在頻域?qū)崿F(xiàn)加速度計動態(tài)模型參數(shù)辯識，有效地減小了加速度計非線性對其動態(tài)模型參數(shù)辯識精度的影響，具有較強(qiáng)的抗非線性干擾能力，具有較高的模型參數(shù)辨識精度。