蔡向陽，蘇瀟陽，康厚軍，龔 平，劉海波，胡建華

(1.湖南省汝郴高速公路建設(shè)開發(fā)有限公司，湖南 郴州 423000;2.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410082;3.湖南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計院，長沙 410008)

無背索斜拉橋由于其優(yōu)美獨(dú)特的橋梁結(jié)構(gòu)形式，自1992年世界上第一座無背索斜拉橋——Alamillo橋[1-2]在西班牙塞維利亞建成以來，便立即引起了橋梁工程界對這種橋型的探索與研究。在國外，George[3]研究了不同材料無背索斜拉橋在活載作用下主梁的反應(yīng)；Lazar[4]研究了無背索斜拉橋的剛度問題；Robin[5]結(jié)合實(shí)際工程與美學(xué)對Zwolle橋的設(shè)計構(gòu)思進(jìn)行了介紹；Starossek[6]研究了無背索斜拉橋的橋塔受力。在國內(nèi)，陳愛軍等[7]對無背索豎琴式斜拉橋的合理結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行了分析；施新欣等[8]對無背索斜拉橋進(jìn)行了參數(shù)化分析，并討論了部分參數(shù)對動力性能的影響；俞國際等[9]對鋼筋混凝土獨(dú)塔無背索斜拉橋的施工工藝進(jìn)行了介紹；狄謹(jǐn)?shù)萚10]對無背索斜拉橋施工過程進(jìn)行了仿真計算，給出了施工控制的各種指標(biāo)。以上研究大都通過有限元軟件建模進(jìn)行計算[11]，至今未見到針對該類橋梁的相關(guān)理論研究，以及簡便的分析評估方法。

經(jīng)典傳遞矩陣法是20世紀(jì)20年代建立起來的用于研究彈性構(gòu)件組成的一維線性系統(tǒng)振動問題的方法，在60—70年代的結(jié)構(gòu)振動研究中廣泛應(yīng)用[12]。很多學(xué)者對其進(jìn)行了研究，例如吉伯海等[13]將二維力學(xué)模型向彈簧支承連續(xù)梁模型轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)了傳遞矩陣法在鋼斜拉橋結(jié)構(gòu)計算中的應(yīng)用。孫建鵬等[14]基于傳遞矩陣法，對曲線橋的振動特性進(jìn)行了分析。Abbas等[15]應(yīng)用有限元傳遞矩陣法研究了高溫環(huán)境下變厚度殼的振動特性。近年來，Zhao等[16-17]將傳遞矩陣法應(yīng)用于索-拱結(jié)構(gòu)的動力學(xué)研究。目前，傳遞矩陣法已廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代工程技術(shù)領(lǐng)域。

碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(Carbon Fiber Reinforced Polymer，CFRP)由于其優(yōu)越的力學(xué)性能(輕質(zhì)、高強(qiáng)、耐腐蝕[18])，成為橋梁動力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于替換傳統(tǒng)鋼拉索。目前，國外已成功地采用CFRP拉索替換鋼拉索[19]，東南大學(xué)RC & PC結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室聯(lián)合相關(guān)單位也建成了首座CFRP拉索斜拉橋[20](江蘇大學(xué)人行橋)。但目前對于CFRP換索的研究還僅局限于傳統(tǒng)直塔斜拉橋，對于無背索斜塔斜拉橋的換索研究卻未見到。

本文將建立無背索斜拉橋的雙梁離散彈簧力學(xué)模型，采用傳遞矩陣法對無背索斜拉橋在成橋狀態(tài)下自由振動的特征值問題進(jìn)行計算，并基于頻率對其豎彎剛度進(jìn)行評估，最后基于本文的理論和評估方法，對無背索斜拉橋進(jìn)行CFRP換索分析。本文基本結(jié)構(gòu)如下：第一部分為無背索斜塔斜拉橋力學(xué)模型，第二部分為傳遞矩陣法求解，第三部分為計算實(shí)例，第四部分為結(jié)論。

1 無背索斜拉橋雙梁離散彈簧模型

無背索斜塔斜拉橋由于不設(shè)背索，只能利用塔柱傾斜來平衡橋面恒載和活載。在此受力體系中，斜拉索的主要作用是對橋面的彈性支承。為評估斜拉橋的整體豎彎剛度，可以忽略斜拉橋自身的局部振動。因此，本文將斜拉索簡化為一無質(zhì)量彈簧，其質(zhì)量可以平均分配到塔和梁的連接點(diǎn)上進(jìn)行考慮。由于其對整體剛度的影響微乎其微，因此，本文忽略其質(zhì)量對整體剛度的影響。無背索斜塔斜拉橋結(jié)構(gòu)可簡化為如圖1所示的力學(xué)模型。

為便于斜拉橋動力學(xué)分析，將橋面梁和塔視為考慮軸力影響的歐拉柏努利梁，分別記為梁1和梁2。由于無背索斜拉橋一般采用塔梁墩固結(jié)體系[21]，所以我們可以把圖1進(jìn)一步簡化為如圖2所示的雙梁離散彈簧模型。

圖1 無背索斜塔斜拉橋力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of inclined pylon of cable-stayed bridge with no backstays

圖2 雙梁離散彈簧模型Fig.2 The dynamic model of double beams with discrete springs

在利用上述模型進(jìn)行求解之前，我們做如下基本假設(shè)：①梁和塔均為細(xì)長結(jié)構(gòu)(截面高跨比小于0.1)；②不計索的垂度和質(zhì)量，將拉索簡化為如圖1所示的無質(zhì)量彈簧；③忽略塔自身重力產(chǎn)生的軸力影響；④只記入拉索初張力對梁軸力的影響，忽略其動應(yīng)力產(chǎn)生的張拉力對梁軸力的影響；如圖1所示，分別建立各梁的坐標(biāo)系。分別用坐標(biāo)x1，x2表示梁的軸向坐標(biāo)，用w1，w2表示橫向動位移，長度分別為L1和L2。接下來分別將兩根梁根據(jù)索的數(shù)量n分成n+1段，其長度分別為l1,i，l2,i(i=1,2,3,…,n+1)，彈簧的剛度分別為ki(i=1,2,3,…,n)。

2 豎彎剛度評估的傳遞矩陣法

為便于應(yīng)用傳遞矩陣法進(jìn)行求解，將斜拉橋的每段梁分開并考慮為等截面梁，變截面梁可通過細(xì)化梁段加以考慮。斜拉索作用位置考慮為節(jié)點(diǎn)，彈簧作用通過節(jié)點(diǎn)條件考慮。各段梁的運(yùn)動微分方程如下

(1)

式中:T0,i為梁的初始軸力;ρm,iAm,i和Em,iIm,i分別為梁單位長度的質(zhì)量和梁橫截面抗彎剛度。令

wi(xi,ti)=wi(xi)qi(ti)

(2)

可求得

(3)

其中

(4)

(5)

根據(jù)力和位移的關(guān)系，可求得轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力如下

θi(xi)=Di,1αicos(αixi)-Di,2αisin(αixi)+

Di,3βicosh(βixi)+Di,4βisinh(βixi)

(6)

(7)

Qi(xi)=-EiIiw?i(xi)=

(8)

同理，將以上關(guān)系應(yīng)用于斜塔，在相應(yīng)的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力上方加“～”表示。力和位移的關(guān)系寫成如下矩陣形式

ti=TiCi

(9)

其中，

(10)

Ci=[Ci,1Ci,2Ci,3Ci,4T0iCi,5Ci,6

(11)

Ti為10×10的矩陣，如式(12)所示。

其中的一些表達(dá)式如下

si,1=sin(αixi),ci,1=cos(αixi),si,2=sinh(βixi),

(12)

現(xiàn)在來求Ci，對于任意一段i,當(dāng)坐標(biāo)xi=0(i=1,2,3,…)時,有

(13)

所以

(14)

式中:ti和ti,0分別為第i段的末端和初始端狀態(tài)向量(圖 2中從左向右傳遞)。

現(xiàn)在，根據(jù)傳遞矩陣法原理，我們來考慮斜拉索作用點(diǎn)處的受力。如圖3所示，設(shè)φi為索與梁的夾角，θi為索與塔的夾角，ki為索的剛度，各節(jié)點(diǎn)的位移、轉(zhuǎn)角、軸力、彎矩和剪力有如下關(guān)系。

(15)

(16)

(17)

(18)

圖3 斜拉索作用點(diǎn)處受力圖Fig.3 Internal force of anchorage point of cable-stayed bridge

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

將式(15)～(24)寫成矩陣形式

(25)

(26)

將式(14)代入式(25)中，可以得到

(27)

最后,對整個斜拉橋，有

tn+1=Tt1,0

(28)

式中，T為總傳遞矩陣，且有

(29)

(30)

(31)

(32)

對于式(28)，應(yīng)用邊界條件，可改寫為

(33)

Δ=detT′=0

(34)

3 工程實(shí)例

3.1 工程概況

長沙市洪山大橋主孔跨徑206 m，該橋坐落于洪山廟休閑度假區(qū)，跨瀏陽河，屬市內(nèi)北二環(huán)關(guān)鍵工程，南鄰機(jī)場高速，北靠長沙世界之窗，西側(cè)比鄰長沙大學(xué),地理位置十分重要。大橋主梁采用鋼-混凝土組合脊骨梁結(jié)構(gòu)形式，橋面寬為33.2 m，雙向六車道。索塔為預(yù)應(yīng)力混凝土箱形結(jié)構(gòu)，塔身水平傾角58°，橋面以上塔高138.3 m，是世界上第一座高度超百米的混凝土斜塔。全橋共13對拉索,以水平傾角25°平行布置，如圖4所示，塔上索距為9.312 m，梁上索距12 m，橫橋向2排，間距為6 m，其它具體參數(shù)詳見文獻(xiàn)[22]。

圖4 洪山大橋立面圖(cm)Fig.4 Elevation sketch of Hongshan bridge(cm)

3.2 計算結(jié)果對比分析

對于圖4所示的無背索斜拉橋，將梁的右端視為簡支，塔的上端視為自由，梁塔相交處視為固支，則

設(shè)T的各元素為ai,j(i=1,2,3…10，j=1,2,3…10)，則detT′=0可寫為下式

(37)

此即為系統(tǒng)特征方程，由上述特征方程采用MATLAB編程即可解出斜拉橋自振頻率的數(shù)值解。

接下來，為了驗(yàn)證本文理論的正確性，我們采用ANSYS12.0建立了無背索斜塔斜拉橋的有限元模型如圖5所示，并將本文理論計算出的普通鋼索斜拉橋的自振頻率與有限元軟件計算出的自振頻率進(jìn)行了對比如表1所示，由于本文忽略了斜拉索的振動，所以算出的頻率都是全局模態(tài)頻率(下文簡稱頻率)。圖6給出了無背索斜塔斜拉橋的前五階模態(tài)(全局模態(tài)，下文簡稱模態(tài))，這里要特別說明，采用本文理論計算出的模態(tài)，梁和塔的位移都乘以了一定的系數(shù)以便于畫圖，所以和ANSYS算出的模態(tài)在外觀上不同，但實(shí)際上兩者是相同的。從表1和圖6可以看出，采用本文理論計算出的結(jié)果和ANSYS計算出的結(jié)果吻合的非常好，這不僅說明了本文理論的正確性，還為下文對CFRP斜拉索換索研究提供了理論基礎(chǔ)。

圖5 無背索斜塔斜拉橋有限元模型Fig.5 Finite element model of inclined pylon of cable-stayed bridge without backstays

表1無背索斜塔斜拉橋前7階自振頻率
Tab.1Thefirst7ordersnaturalfrequenciesofinclinedpylonofcable-stayedbridgewithnobackstays

振型序號ANSYS計算頻率周期MATLAB計算頻率周期誤差/%10.339 492.945 60.338 32.956 00.3520.577 841.730 60.586 21.705 9-1.4530.939 781.064 10.929 51.075 81.0941.685 20.593 41.673 40.597 60.7052.179 30.458 92.212 70.451 9-1.53

圖7給出了CFRP索的數(shù)量和剛度對斜拉橋前三階頻率的影響。這里要特別說明，圖中橫坐標(biāo)表示圖5中的無背索斜拉橋從右至左(即從長索至短索)將普通鋼索換為CFRP索的數(shù)量，縱坐標(biāo)表示各階自振頻率相對于表1中對應(yīng)自振頻率的增量百分比。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，頻率增量都是正的，隨著CFRP索數(shù)量的增加，橋梁整體剛度呈上升的趨勢，而且每階模態(tài)下各條曲線的變化趨勢相同。第二階模態(tài)對換索的敏感性明顯高于其他兩階，頻率增量最大達(dá)到了60%，約為第一階的8倍，第三階的2倍。另外，我們可以看出：第2～4根索對第一階自振頻率沒影響，第6～8根索對第三階自振頻率沒影響，這說明在換索時，部分斜拉索的更換將對整體剛度有非常大的影響。而出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因，可能原因是這些索處于邊界附近該梁本身剛度較大，使索對整體剛度的貢獻(xiàn)相對降低。為此，我們對只換一根CFRP斜拉索時斜拉橋的整體豎彎剛度的變化規(guī)律進(jìn)行了研究。

圖6 無背索斜塔斜拉橋前五階振型Fig.6 The first 5 mode shapes of inclined pylon of cable-stayed bridge without backstays

圖7 CFRP索數(shù)量和剛度的變化對斜拉橋前三階頻率的影響
Fig.7 The influence of number and stiffness of CFRP cable on the first three order frequencies of cable-stayed bridge

圖8給出了只更換一根CFRP斜拉索時頻率的變化情況，圖中橫坐標(biāo)表示CFRP索所處的位置(按圖5中的無背索斜拉橋從右向左行進(jìn))，縱坐標(biāo)同圖7。從圖中可以看出，各階模態(tài)下每條曲線的變化趨勢相同，當(dāng)?shù)?～4根索被換為CFRP索時，第一階頻率增量基本無變化，第6～7根索被換為CFRP索時，第三階頻率增量基本無變化，這與圖7得到的結(jié)論相一致。這說明當(dāng)斜拉索的位置確定了，它對無背索斜拉橋的自振頻率是否會產(chǎn)生影響也就確定了。換句話說，斜拉索的位置決定了它對整體剛度產(chǎn)生多大的貢獻(xiàn)，從而為實(shí)際工程中換索提供了理論參考。

圖8 CFRP索數(shù)量和剛度的變化對斜拉橋前三階頻率的影響
Fig.8 The influence of number and stiffness of CFRP cable on the first three order frequencies of cable-stayed bridge

換索時可以從左至右換，也可以從右至左換，為了考察換索的順序?qū)o背索斜拉橋整體剛度的影響，我們改變了換索的順序并給出了相應(yīng)的結(jié)果，如圖9所示。圖中橫坐標(biāo)表示圖5中的無背索斜拉橋從左至右將普通鋼索換為CFRP索的數(shù)量，縱坐標(biāo)同圖7。從圖中可以看出，各階模態(tài)下自振頻率的變化趨勢相同，隨著換索數(shù)量的增加，頻率在變大。第二階頻率對換索的敏感性同樣高于其余兩階，最高達(dá)到了60%，約為第一階的8倍，第三階的2倍。另外，當(dāng)?shù)?～10根索被換為CFRP斜拉索時，第一階頻率不發(fā)生變化，當(dāng)?shù)?～9根索被換為CFRP斜拉索時，第三階頻率不發(fā)生變化。這些現(xiàn)象都與圖7和圖8中得到的結(jié)論基本一致，這說明在換索時，斜拉索的位置才是決定它對橋梁整體剛度是否產(chǎn)生影響的關(guān)鍵，換索的順序并不會影響斜拉橋的自振頻率的變化。這是因?yàn)樽哉耦l率是結(jié)構(gòu)的固有屬性，只與剛度和質(zhì)量有關(guān)。因此，實(shí)際工程中進(jìn)行換索時，工程師可以根據(jù)不同的情況選擇合理的順序進(jìn)行索的更換，從而實(shí)現(xiàn)施工過程的合理化，提高工作效率。

圖9 CFRP索數(shù)量和剛度的變化對斜拉橋前三階頻率的影響
Fig.9 The influence of number and stiffness of CFRP cable on the first three order frequencies of cable-stayed bridge

圖10給出了無背索斜拉橋自振頻率隨彈性模量的變化曲線圖。我們可以從圖中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)彈性模量較小時，第一階頻率有稍微的增加，當(dāng)彈性模量增加到一定值時，第一階頻率基本保持不變。第二階到第五階頻率則隨著彈性模量的增加呈現(xiàn)出上升的趨勢。另外，第一階和第二階頻率隨著彈性模量的變化出現(xiàn)靠近后又分離的現(xiàn)象，如圖中A點(diǎn)所示，但并非兩條頻率變化曲線交叉，而是發(fā)生了轉(zhuǎn)向(Veering現(xiàn)象)。這個時候兩階振型會發(fā)生快速而且連續(xù)的交換，并且兩個模態(tài)之間在非線性振動時，可能產(chǎn)生能量傳遞，很容易發(fā)生內(nèi)共振現(xiàn)象[23]。在無背索斜拉橋的設(shè)計和換索中都應(yīng)該引起重視。這對指導(dǎo)無背索斜拉橋的設(shè)計，尤其是動力性能的控制具有重要的指導(dǎo)意義。

圖10 CFRP索彈性模量對斜拉橋前五階頻率的影響Fig.10 The influence of elastic modulus of CFRP cable on the first five order frequencies of cable-stayed bridge

為了研究CFRP索軸力對斜拉橋自振頻率的影響，我們給出了圖11。從圖中可以看出，隨著斜拉索索力的增加，無背索斜拉橋全局模態(tài)頻率基本保持不變。事實(shí)上，梁和塔振動的全局模態(tài)頻率幾乎不受索力的影響，反而索單獨(dú)振動的局部頻率受索力的影響很大，這說明在評估整體剛度時，可以忽略斜拉索索力的影響。另外，隨著索力的增加，自振頻率總體呈現(xiàn)下降的趨勢，這是因?yàn)樗髁Φ脑黾邮沟昧汉退艿妮S向壓力增加，從而使得梁和塔的幾何剛度增加，這就導(dǎo)致了整個大橋的整體剛度減小，所以頻率也會變小。

圖11 CFRP索軸力對斜拉橋前五階頻率的影響Fig.11 The influence of axial force of CFRP cable on the first five order frequencies of cable-stayed bridge

4 結(jié) 論

本文將無背索斜塔斜拉橋的立式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)殒準(zhǔn)襟w系，建立了無背索斜塔斜拉橋的雙梁離散彈簧模型?；趥鬟f矩陣法計算了無背索斜塔斜拉橋的自振頻率和模態(tài)并對其豎彎剛度進(jìn)行了評估。然后針對無背索斜塔斜拉橋的CFRP換索問題進(jìn)行了詳細(xì)的參數(shù)化分析和研究，從而得出了一些有意義的結(jié)論。

(1)本文建立的無背索斜塔斜拉橋雙梁離散彈簧模型，簡單易懂，便于采用傳遞矩陣法求解和編程化分析，能很好地評估無背索斜塔斜拉橋的豎彎剛度。

(2)換索時，不同位置的斜拉索對無背索斜塔斜拉橋整體剛度的影響不同，亦即斜拉索的位置決定了它對無背索斜塔斜拉橋的整體剛度產(chǎn)生多大的影響。從動力學(xué)的角度看，換索時只需要更換部分斜拉索就可提高結(jié)構(gòu)的整體剛度。

(3)無背索斜塔斜拉橋的換索順序并不會改變斜拉索對斜拉橋整體剛度的影響，無論是從左至右換還是從右至左換，頻率增量的曲線變化趨勢大致是一樣的。所以，工程實(shí)際中，工程師可以根據(jù)不同的情況采用合理的換索順序進(jìn)行索的更換，提高施工效率。

(4)無背索斜塔斜拉橋的自振頻率幾乎不受斜拉索索力的影響。隨著索力的增加，自振頻率總體表現(xiàn)出減小的趨勢，但這種減小量很小，可以忽略。然而，無背索斜塔斜拉橋的自振頻率表現(xiàn)出對斜拉索彈性模量的敏感性，可能會出現(xiàn)頻率變化曲線轉(zhuǎn)向(Veering現(xiàn)象)，從而可能使結(jié)構(gòu)發(fā)生內(nèi)共振現(xiàn)象，對橋梁結(jié)構(gòu)造成破壞。因此設(shè)計橋梁時應(yīng)注意控制參數(shù)以防止此現(xiàn)象的發(fā)生。