吳 松，郭其威，臧 旭，徐 騰

(1.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109; 2.上海市空間結(jié)構(gòu)機構(gòu)重點實驗室，上海 201108)

隨著航天科技的進步和發(fā)展，許多空間科學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域?qū)Υ笮涂烧归_天線和柔性電池翼的需求越來越突出，這類結(jié)構(gòu)復(fù)雜、柔度大、基頻低，動力學(xué)特性豐富，與飛行器本體耦合程度嚴重，為保證飛行器本體在軌姿態(tài)控制穩(wěn)定，對這類大柔性可展開結(jié)構(gòu)基頻提出了一定指標(biāo)要求[1]。因此，為保證這類大型可展開機構(gòu)在軌狀態(tài)動力學(xué)特性滿足設(shè)計要求，需在地面開展這類超低頻可展機構(gòu)的模態(tài)試驗。

傳統(tǒng)模態(tài)測試考慮到被測結(jié)構(gòu)頻率較高，重力對結(jié)構(gòu)頻率影響較小，基本都被忽略[2-3]。大型可展開機構(gòu)，柔性大、頻率通常低于5 Hz，重力影響大，傳統(tǒng)豎直放置測量基頻的方法將會帶來較大誤差。文獻[4-5]根據(jù)傳統(tǒng)重力影響下的模態(tài)測試結(jié)果，采用仿真分析方法對試驗結(jié)果進行修正，消除重力、空氣阻力等影響，從而得到無重力影響下的模態(tài)測試結(jié)果。

超低頻模態(tài)測試系統(tǒng)采用懸吊方式安裝被測產(chǎn)品，補償重力對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)基頻的影響，進而開展地面模態(tài)試驗，測量產(chǎn)品無重力下的模態(tài)。然而，由于被測結(jié)構(gòu)基頻低，需首先認識懸吊模態(tài)測試系統(tǒng)對產(chǎn)品測試頻率的影響，以確保懸吊模態(tài)測試結(jié)果真實可靠[6-8]。

為清楚認識懸吊系統(tǒng)測試結(jié)果與產(chǎn)品真實值之間的關(guān)系，文章通過對超低頻模態(tài)試驗系統(tǒng)頻率測試誤差展開理論建模研究，從理論上揭示測試結(jié)果與理論值之間產(chǎn)生差異的原因，揭示超低頻模態(tài)試驗系統(tǒng)頻率測試誤差的影響機理，為后續(xù)如何使用試驗測試結(jié)果提供指導(dǎo)。

此外，文章以梁系結(jié)構(gòu)為研究對象，由于空氣阻力對梁系結(jié)構(gòu)模態(tài)測試結(jié)果影響小，故在下文建模中不考慮空氣阻尼影響。但倘若試驗產(chǎn)品為大面積帆板或柔性翼等結(jié)構(gòu)時，由于其面積大，空氣阻尼對測試結(jié)果影響顯著，此時不僅需要考慮測試系統(tǒng)的誤差，同時要考慮空氣阻力的測試誤差[9-11]。

1 超低頻模態(tài)試驗系統(tǒng)簡介

圖1為懸吊式超低頻模態(tài)測試系統(tǒng)簡圖，鋼絲繩上端與一質(zhì)量塊連接，通過調(diào)節(jié)氣浮裝置壓力，對質(zhì)量塊施加向上的載荷，以平衡產(chǎn)品重力。其中，質(zhì)量塊僅在垂直方向自由，通過反饋控制會使之與產(chǎn)品一起隨動，并保證鋼絲繩內(nèi)張力穩(wěn)定。

圖1 懸吊式超低頻模態(tài)測試系統(tǒng)Fig.1 The suspended ultra-low frequency modal test system

2 懸吊式超低頻模態(tài)試驗系統(tǒng)頻率測試誤差分析

根據(jù)超低頻模態(tài)測試系統(tǒng)工作原理，產(chǎn)品在垂直方向測試頻率的影響主要受上方質(zhì)量塊和氣浮裝置的附加影響；水平方向測試頻率主要由于懸吊鋼絲繩內(nèi)力在水平方向分量的影響?？紤]到懸吊系統(tǒng)對產(chǎn)品在水平和垂直方向頻率影響機理的不同，下文對超低頻模態(tài)試驗系統(tǒng)在垂直和水平方向的基頻測試誤差分別開展研究。

2.1 垂直方向基頻測試誤差分析

2.1.1 理論模型建立

根據(jù)懸吊系統(tǒng)平衡標(biāo)桿重力的機理，大型可展開機構(gòu)在垂直方向的頻率測試系統(tǒng)可以簡化為如下理論模型的系統(tǒng)頻率問題。垂直方向理論模型，如圖2所示。其中，圖示左端邊界表示固支邊界，下文亦同。

假設(shè)在氣浮裝置控制作用下，鋼絲繩上方質(zhì)量塊與產(chǎn)品一起隨動，相當(dāng)于在產(chǎn)品各懸掛點處增加了一個集中質(zhì)量塊，因此，理論模型可以進一步簡化為如圖3所示帶集中質(zhì)量塊的經(jīng)典頻率問題。

圖2 垂直方向理論模型Fig.2 Theory model of vertical direction

圖3 改進后垂直方向理論模型Fig.3 The improved theory model of vertical direction

2.1.2 理論模型解析解

瑞利法求解圖3理論模型基頻公式[12-13]為

(1)

代入相應(yīng)參數(shù)，得到理論模型基頻解析解為

(2)

式中:ωtest為產(chǎn)品測試圓頻率；ωzhen為產(chǎn)品真實圓頻率；αi為第i個集中質(zhì)量塊與產(chǎn)品總質(zhì)量(ρl)的比值；ηi為第i個集中質(zhì)量點距根部的距離與產(chǎn)品長度的比值，也即Li/L；n為集中質(zhì)量個數(shù)，也即懸吊點個數(shù)。

2.1.3 誤差分析

為表征懸吊系統(tǒng)對垂直方向基頻測試值的影響，引入以下無量綱函數(shù)

(3)

該函數(shù)建立了垂直方向產(chǎn)品基頻測試值與真實基頻值、懸吊點個數(shù)以及質(zhì)量塊相對產(chǎn)品總質(zhì)量比值的關(guān)系。

假設(shè)有n個懸吊點，從端部開始均勻布置，且每個懸吊處上方質(zhì)量塊質(zhì)量均相同，則產(chǎn)品在垂直方向的基頻測試值與真實值的比值為懸吊個數(shù)以及單個懸吊集中質(zhì)量與產(chǎn)品質(zhì)量比值的二元函數(shù)，變化曲線如圖4。

圖4 垂直方向頻率誤差Fig.4 The frequency error of vertical direction

2.1.4 由基頻測試值推算真實值

根據(jù)理論分析，由于懸吊系統(tǒng)上方質(zhì)量塊的影響，使得產(chǎn)品在垂直方向基頻測試值低于真實值。因此，若要得到產(chǎn)品水平方向真實基頻值，則需要對基頻測試值進行修正，具體步驟如下。

(1) 根據(jù)試驗狀態(tài)，確定產(chǎn)品總質(zhì)量m，吊掛個數(shù)n，每個吊掛點處的集中質(zhì)量與產(chǎn)品質(zhì)量比值αi，每個吊掛點距根部距離與產(chǎn)品長度的比值ηi；

(3) 計算產(chǎn)品垂直方向真實頻率，fzhen=ftest/λ。

2.2 水平方向基頻測試誤差分析

2.2.1 理論模型建立

懸吊系統(tǒng)對產(chǎn)品水平方向頻率的影響主要由鋼絲繩內(nèi)張力沿水平方向分量產(chǎn)生，由于氣浮平臺反饋控制作用，懸吊鋼絲繩內(nèi)張力在平衡內(nèi)力的同時基本保持不變，假定單根鋼絲繩內(nèi)的張力為T，鋼絲繩懸吊高度L0，鋼絲繩擺動角度θ，則鋼絲繩在水平方向的作用力為

(4)

式中:x為產(chǎn)品在懸吊點處沿水平方向位移，k=T/L0為等效彈簧剛度。

每個懸吊在水平方向?qū)Ξa(chǎn)品的作用，相當(dāng)于一個剛度為k=T/L0的彈簧，因此，從上俯視視角來看，懸吊式超低頻模態(tài)試驗系統(tǒng)在水平方向系統(tǒng)頻率可以簡化為如圖5所示帶彈簧的經(jīng)典頻率問題。

2.2.2 理論模型解析解

瑞利法求解圖5理論模型基頻公式如下[14]

圖5 水平方向理論模型(俯視圖)Fig.5 Theory model of horizontal direction

(5)

代入相應(yīng)參數(shù)，得到理論模型基頻解析解為

(6)

式中:ωtest為產(chǎn)品測試圓頻率；ωzhen為產(chǎn)品真實圓頻率；m為產(chǎn)品總質(zhì)量；L0為懸吊鋼絲繩高度；Ti為第i個懸吊鋼絲繩內(nèi)張力；ηi為第i個懸吊點距根部的距離與產(chǎn)品長度的比值，也即Li/L；n為懸吊點個數(shù)。

當(dāng)有無數(shù)個吊點時，系統(tǒng)在水平方向可以簡化為圖6單自由度彈簧振子模型。

圖6 無限多吊點時的理論模型Fig.6 Theory model of infinite lifting point

假設(shè)振子作小幅運動，根據(jù)牛頓第二定律，該振子在水平方向的動力學(xué)方程為

(7)

系統(tǒng)的頻率為

(8)

2.2.3 誤差分析

為表征懸吊系統(tǒng)對水平方向基頻測試值的影響，引入系統(tǒng)誤差等效頻率

(9)

由式，可知產(chǎn)品基頻測試值、基頻真實值和系統(tǒng)誤差等效頻率值有如下關(guān)式

f2test=f2zhen+f2ε

(10)

由上式可知，由于懸吊系統(tǒng)影響，水平方向基頻測試值偏大，當(dāng)基頻真實值相對于系統(tǒng)誤差等效頻率值較大時，測試值與真實值相差較小，當(dāng)產(chǎn)品基頻真實值接近或小于系統(tǒng)誤差等效頻率值時，測試值與真實值之間會產(chǎn)生較大偏差，甚至淹沒真實值。

設(shè)n個吊點從頭部依次均勻布置，即ηi=i/n，且每個吊點處鋼絲繩的張緊力為Ti=mg/n，則式變?yōu)?/p>

(11)

此時，系統(tǒng)誤差等效頻率為懸掛點個數(shù)n和懸掛高度L0的二元函數(shù)，變化曲線如圖7。

圖7 系統(tǒng)誤差等效頻率曲線Fig.7 The curve of equivalent frequency of system error

2.2.4 由基頻測試值推算真實值

根據(jù)理論分析，由于懸吊系統(tǒng)鋼絲繩內(nèi)張力的影響，使得產(chǎn)品在水平方向基頻測試值大于真實值。因此，若要得到產(chǎn)品水平方向真實基頻值，則需要對基頻測試值進行修正，具體步驟如下：

(1) 根據(jù)試驗狀態(tài)，確定如下參數(shù)：① 產(chǎn)品的質(zhì)量m；② 懸吊高度L0；③ 第i個吊點鋼絲繩內(nèi)張力Ti；④ 第i個吊點距根部距離與產(chǎn)品長度比值ηi=Li/L。

(2) 由式(9)計算產(chǎn)品系統(tǒng)誤差頻率

(3) 根據(jù)基頻測試值ftest和系統(tǒng)誤差頻率fε，由式(10)計算產(chǎn)品水平方向真實頻率

fzhen=sqrt(f2test-f2ε)

此外，經(jīng)計算，當(dāng)ftest≥3.3fε時，基頻測試值與真實值之間的誤差小于5%，此時，可以認為測試結(jié)果即為真實結(jié)果。

3 仿真和試驗驗證

3.1 試驗結(jié)果

如圖8所示，試驗工況說明：圖8(a)為2節(jié)4 m長的梁豎直狀態(tài)無懸吊系統(tǒng)的模態(tài)試驗；圖8(b)為2節(jié)4 m長的梁水平狀態(tài)下，一個吊點(端部)下模態(tài)試驗；圖8(c)為8節(jié)16 m長的梁水平狀態(tài)下，4個吊點(圖中箭頭位置)情況下的模態(tài)試驗。

為清楚認識懸吊系統(tǒng)頻率測試誤差，開展了相關(guān)標(biāo)桿試驗，驗證上述理論分析正確性。試驗工況如圖8，基頻測試結(jié)果如表1。其中，單節(jié)標(biāo)桿參數(shù)：截面為圓形，外徑75 mm，壁厚2.5 mm，單節(jié)長2 m，每米重2 kg。

(a)(b)

(c)

表1 標(biāo)桿頻率試驗值Tab.1 The test frequency of standard bar

3.2 測試值推算產(chǎn)品真實值

按照2.1.4和2.2.4步驟，根據(jù)工況2和工況3懸吊狀態(tài)以及試驗測試結(jié)果，推算標(biāo)桿兩個工況下垂直和水平方向的真實基頻值，如表2。其中，由于工況1為豎直無懸吊下測試結(jié)果，故無推算值。

表2 標(biāo)桿頻率推算值Tab.2 The calculated frequency of standard bar

3.3 標(biāo)桿基頻仿真值

建立相應(yīng)有限元模型，兩個工況下標(biāo)桿基頻仿真分析值如表3。

工況1為豎直狀態(tài)梁結(jié)構(gòu)有限元模型仿真值；工況2指在仿真模型中引入懸吊系統(tǒng)原理的仿真模型，并根據(jù)工況2的實測結(jié)果，在僅合理修正梁結(jié)構(gòu)參數(shù)條件下，使得仿真值與工況2測試值誤差在5%以內(nèi)，并基于此修正后梁的仿真模型，計算其在無懸吊情況下頻率值，即所需要的真實值；工況3中仿真值計算過程與工況2類同。

表3 標(biāo)桿頻率有限元分析值Tab.3 The finite element analysis frequency of standard bar

3.4 結(jié)果匯總與對比

對應(yīng)兩個試驗工況，匯總標(biāo)桿基頻測試值、推算值和仿真分析值，如表4。

表4標(biāo)桿基頻理論分析值、實測值和有限元分析值
Tab.4Thefundamentalfrequencyofstandardbaroftheoreticalanalysis,testandfiniteelementanalysis

工況方向測試/Hz推算/Hz仿真/Hz誤差/%2垂直1.7753.43.5-2.86水平3.303.283.5-6.293垂直0.1660.2080.1966.12水平0.2440.2000.1962.04

兩個工況下標(biāo)桿基頻推算值和仿真值吻合得較好，驗證了懸吊式超低頻模態(tài)試驗系統(tǒng)理論模型的正確性。

4 結(jié) 論

(1) 懸吊式超低頻模態(tài)試驗系統(tǒng)在垂直方向基頻測試值小于真實值；水平方向基頻測試值大于產(chǎn)品真實值。

(2) 由于附加質(zhì)量影響，垂直方向基頻測試值與真實值相差較大，需要對基頻測試值進行處理方能得到準(zhǔn)確基頻真實值。

(3) 水平方向產(chǎn)品基頻測試值、真實值和系統(tǒng)誤差等效頻率值滿足勾股定理公式，且當(dāng)ftest≥3.3fε時，基頻測試值與真實值誤差小于5%，此時，可認為基頻測試值即為產(chǎn)品真實基頻值。