王曉蕓 李 磊 崔 培

（石家莊鐵路職業(yè)技術學院 河北石家莊 050041）

1 引言

近年來，少自由度并聯機構具有結構簡單緊湊、承載能力大、累計誤差小、造價低、運動慣性力小等優(yōu)點，逐漸成為國際上機器人技術中研究的新熱點，在工業(yè)設計制造生產及其相關領域內具都有非常廣闊的應用前景。但是，由于大多數少自由度并聯機構中存在過約束和自由度耦合等現象，所以這類并聯機構的運動學分析較復雜，運動規(guī)律難以直觀判別[1]。因此，提出了一種新型的2自由度并聯腿機構，即 2-UPS+U 并聯腿機構，該機構結構簡單，支鏈無耦合，剛度大，承載能力高。

圖1 機構簡圖

2 并聯腿機構模型建立

（2-UPS+U）并聯腿機構，由三條支鏈構成，分別是一條U支鏈和兩條UPS支鏈。其中，U支鏈為動桿，具有2個轉動自由度，它上部通過虎克鉸鏈與機架相連接；UPS支鏈上部通過虎克鉸鉸鏈與機架連接，下部通過球副與U支鏈的動桿相連接；與機架連接的3個虎克鉸鏈中心布置在等腰直角三角形的三個頂點處，并且保證U支鏈的虎克鉸鏈中心位于該三角形的直角頂點處。該機構結構簡單，無耦合，可以將2-UPS分支的驅動器放置在機架上，減小整個并聯腿機構運動部分的質量。圖1是并聯腿的機構簡圖。建立固結在三角形機架上的固定坐標系O0-XYZ，其原點在直角頂點處A1，其X軸平行于機架的直角邊A1A2方向，Z軸垂直于機架向下，Y軸的方向由右手法則確定。分別在3個虎克鉸鏈中心A1、A2，A3建立動坐標系{1}、{2}、{3}。

3 并聯腿機構運動學分析

3.1 機構自由度求解

在（2-UPS+U）并聯腿機構中，U支鏈的反螺旋[2]可以表示為：

并聯腿機構中UPS支鏈的反螺旋可以表示為：

由上述反螺旋公式可以看出，反約束力$14r和$22r對限制該并聯腿機構沿Z軸移動所起的作用是相同的，反約束力$12r和$21r對限制該并聯腿機構沿X軸所起的作用是相同，因此，該并聯腿機構中存在兩個冗余的虛約束。

考慮了冗余約束的 Grübler- Kutzbach公式[3]為：

式（3）中d為并聯腿機構的階數，λ為并聯腿機構的公共約束數目，則d=6-λ；n為機構的構件數；g為機構的運動副數目；∑fi為第i個運動副的自由度；?為虛約束的數目；q為機構的局部自由度[3]。

由上述并聯腿機構的分析可知：λ=0；d=6；n=6；g=8；∑fi=13；?=2；q=0，將其代入可得該并聯腿機構的自由度為：

3.2 位置反解

機構的位置反解就是機構末端的位置和姿態(tài)角，求解機構中各個驅動副的輸入。對該并聯腿機構而言，就是已知該并聯腿末端點O1相對固定坐標系的位置P與姿態(tài)角（α，β，γ），求解并聯腿機構中UPS支鏈中移動副的兩個輸入參數l2，l3[4]。

采用XYX歐拉角，設并聯腿機構的運動坐標系{1}相對于固定坐標系{0}的位姿變換矩陣位，則為：

式中

其中，cα=cosα，sα=sinα。

給定機器人并聯腿機構動桿末端相對于固定坐標系的位姿矩陣為：

運動坐標系中的點在固定坐標系中的坐標可由以下公式求得可得：

又因坐標系{1}相對于坐標系{0}的姿態(tài)是通過旋轉實現，由此可以構造得到：R1⊥R2，R2⊥l1，R2∥o， l1∥a，其中R1是U支鏈的第一個旋轉軸，R2是U支鏈的第二個旋轉軸，l1為U支鏈的方向向量，o為坐標系{1}的Y向量，a為坐標系{1}的Z向量。

由以上關系可得：sβsγ=0，γ=0，

化簡得：

故支鏈移動副輸入為：

因此，若給出機器人并聯腿機構動桿末端點的位置坐標和姿態(tài)角，即可求出并聯腿機構各移動副的輸入。

3.3 位置正解

給定機構的各輸入參數求解動平臺的位姿參數是并聯機構的運動學位置正解問題。采用數值法求解該機構運動學正解，就是已知U支鏈移動副輸入l2，l3，求解動桿末端點O1相對固定坐標系，的位置P與姿態(tài)角（α，β，γ）。運動坐標系{1}相對于固定坐標系{0}的位姿變換矩陣位為：

由運動學反解求解得到的關系可求得：

以上五個式子中，含有px，py，pz，α，β五個未知數，用最小二乘法可求其解，其目標函數為：

即可求得其并聯腿機構末端O1的位置坐標和姿態(tài)角。

4 工作空間

4.1 工作空間分析

由（2-UPS+U）并聯腿機構的結構特點可知：工作空間主要由兩條UPS支鏈中移動副的桿長、三條支鏈的干涉情況、以及并聯腿機構中虎克鉸鏈與球鉸鏈及轉動副的轉角限制共同確定[5][6]。

（1）并聯腿機構兩個UPS支鏈中連接桿具有長度限制，故各兩條支鏈的長度變化范圍為：

式（16）中，limin為UPS支鏈的最小長度；limax為UPS支鏈的最大長度。

（2）(2-UPS+U)并聯腿機構中的球鉸鏈能夠實現的轉角范圍存在一定的限制。q3為球鉸鏈座與動桿固聯的單位法向量，l3為UPS支鏈的方向向量，球鉸鏈的結構轉角η3為：

若η3max為球鉸鏈所能達到的最大轉角，則球鉸鏈轉角的轉動條件為：

（3）并聯腿機構中的虎克鉸鏈轉動時在一個倒三角錐內任意擺動，ψmax為倒三角錐的錐頂角，由虎克鉸鏈結構限制。因此，支鏈向量與倒三角錐軸線之間的夾角為ψi應滿足：

（4）(2-UPS+U)并聯腿機構各桿件選用均勻截面圓桿，因此，相鄰支鏈的桿件之間可能發(fā)生干涉，假定各桿件之間的最短距離為dij(i，j=1，2，3)且i ≠ j，d為桿件直徑，則桿件需滿足：

4.2 工作空間求解

并聯腿機構的工作空間是指并聯腿機構末端所有可以到達的點的集臺，即為O1點。采用數值法對該機構進行定姿態(tài)工作空間分析，就是給并聯腿機構末端的姿態(tài)方位角(α，β，γ)，求解滿足結構約束的條件下參考點O1點位置坐標的集合，即用極坐標搜索法逐個搜索參考點能達到的所有空間點[7]。機構參數如表1所示。

表1 機構參數

當姿態(tài)角α=β=γ=0時，其工作空間邊界三維實體如圖2所示：由圖可見，該機器人腿部結構的工作空間較大、連續(xù)性好、空間對稱性好。

5 結語

提出了一種新型的2自由度（2-UPS+U）并聯腿機構模型。該機構結構簡單，支鏈無耦合，剛度大，承載能力高，可用作機器人的腿部機構。利用螺旋理論對該并聯腿機構進行了運動學分析，計算出其自由度，推導出了該并聯腿機構的位置反解方程和位置正解方程，并進行了工作空間分析，利用MatLab軟件繪制出了并聯腿機構末端的工作空間三維圖，為后期并聯腿機構及整個步行機器人的的運動規(guī)劃以及控制奠定了理論基礎。

圖2 并聯腿機構工作空間