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        導(dǎo)數(shù)定義的極限模型在極限運(yùn)算中的應(yīng)用

        2018-10-18 10:58:40楊艷兵
        關(guān)鍵詞:增量導(dǎo)數(shù)例題

        楊艷兵

        (常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇常州 213164)

        眾所周知,導(dǎo)數(shù)概念牛頓、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家在解決一些實(shí)際問題的過程中歸納、提煉出來的,是對客觀世界中的某些數(shù)量關(guān)系的精辟描述,是微積分學(xué)中的重要基礎(chǔ)概念。它對于數(shù)學(xué)學(xué)科乃至整個(gè)自然科學(xué)的發(fā)展都起到了至關(guān)重要的作用。在高等數(shù)學(xué)中,我們可以利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值以及其相關(guān)問題。高等職業(yè)院校學(xué)生對于利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則計(jì)算各種類型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)掌握得比較好,但是他們往往對導(dǎo)數(shù)概念的具體極限形式理解模糊,且在利用導(dǎo)數(shù)解決一些問題的創(chuàng)造性思維上難以展開。學(xué)生存在這些問題的主要原因有兩點(diǎn):其一是教師在教學(xué)的過程中,對概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)不夠,一味注重訓(xùn)練學(xué)生對于各種類型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算,導(dǎo)致最后學(xué)生舍本逐末,竟不知導(dǎo)數(shù)為何物了;其二是高職學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)的抽象定義形式有恐懼感,自然而然就不認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)最初的面目了。本文主要是在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義的極限形式的基礎(chǔ)上,給出其在極限運(yùn)算中的一些應(yīng)用。

        1 函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義的極限形式

        函數(shù)在一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)定義如下:

        設(shè)函數(shù) y=f( x)在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在x0處有增量Δx時(shí),函數(shù)相應(yīng)地有增量Δ y = f( x0+Δ x) - f( x0),如果極限存在,稱函數(shù) y=f( x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),此極限值為函數(shù)y=f( x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),記為

        若令 x = x0+Δx ,則 Δ x = x - x0,當(dāng) Δx→0時(shí), x→x0,于是函數(shù) y=f( x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)還可以記為:

        2 導(dǎo)數(shù)定義的極限形式在極限運(yùn)算中的應(yīng)用

        此外,通過分析可知,若令

        關(guān)于第二重要極限一般都是用夾逼準(zhǔn)則進(jìn)行證明,這種證明方法比較復(fù)雜麻煩,且其原理對于高職學(xué)生來說也較難掌握。故此題中的極限求法,也是第二重要極限的一種比較簡潔的證明。

        分析:該極限與上一例題本是同根生,進(jìn)行換元代換可以化為上一例題,但此題也可構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式,利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算。

        分析:在極限的運(yùn)算中,該極限一般采用根式有理化的方式計(jì)算。但學(xué)生初次見到這個(gè)題目一般會(huì)有點(diǎn)懵,主要原因是一般的根式有理化中的題目一般都是比較具體的數(shù)字,如很少同時(shí)出現(xiàn)x和Δx。若是對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義形式熟悉,此題也可另辟新徑,下面的計(jì)算過程非常簡單根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的極限形式

        3 結(jié)語

        根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義形式可知,導(dǎo)數(shù)的極限形式本質(zhì)上是函數(shù)增量與自變量增量之比在自變量增量趨于零時(shí)的極限,故應(yīng)用其求極限的本質(zhì)就是根據(jù)要證明或計(jì)算的極限形式,構(gòu)造某個(gè)具體函數(shù)的“增量之比”的極限,從而解決問題。

        通過以上例題我們可以發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的定義來證明或計(jì)算一些極限,給學(xué)生一種耳目一新的體驗(yàn),增加了一種新的計(jì)算極限的方法。同時(shí)也加深了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)定義的極限形式的記憶和理解,拓展了導(dǎo)數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用空間。

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