高 鑫

(解放軍91404部隊,河北 秦皇島 066001)

隨著科學技術的發(fā)展,導彈對于水面艦艇的殺傷力越來越大,一枚導彈就可能使艦艇失去戰(zhàn)斗力,因此在當代海戰(zhàn)中,攔截來自敵方的導彈已成為水面艦艇的首要任務。目前人們通常使用蘭徹斯特方程來描述作戰(zhàn)過程,該方程通過微分方程的形式,涵蓋了交戰(zhàn)雙方部分參數(shù),來描述敵我兵力損耗情況[1]。但該方程反映敵我雙方兵力的損耗為連續(xù)性,且無增援條件下的情況,已經逐漸不適應現(xiàn)代海戰(zhàn)時間短、導彈少、威力大,兵力損耗呈現(xiàn)“跳躍”性且增援快的特點[2],需要研究離散條件下有兵力增援的情況,而目前國內在該方面的考慮少之又少。本文推導了離散化蘭徹斯特模型,對“可見”型海戰(zhàn)與“不可見”型海戰(zhàn)進行了研究,分析了這兩種海戰(zhàn)的制勝要素,對于海戰(zhàn)的指揮決策具有一定的價值。

1 傳統(tǒng)蘭徹斯特方程

蘭徹斯特方程是由英國科學家蘭徹斯特于1914年首次提出的,通過研究冷兵器時代交戰(zhàn)過程,建立了微分方程模型,該模型表征了交戰(zhàn)雙方兵力損耗與戰(zhàn)術應用等因素關系[2-3]。傳統(tǒng)的蘭徹斯特方程由三個規(guī)律性描述,即蘭徹斯特第一線性率、第二線性率和平方率[4]。

假設a為藍軍在單位時間內對紅軍的平均毀傷數(shù)、b為紅軍在單位時間內對藍軍的平均毀傷數(shù),x、y為t時刻敵我雙方兵力數(shù)量的平均數(shù),x0、y0為敵我雙方初始兵力數(shù)。

蘭徹斯特第一線性率適用于冷兵器時代中單兵進行一對一格斗的情形,如式(1)為可見交戰(zhàn)雙方兵力損耗隨時間線性變化[5]。

(1)

蘭徹斯特第二線性率適用于敵我艦艇較難發(fā)現(xiàn),只是向某個海域射擊,而我方兵力損失,與敵我雙方兵力有關,通常此情況稱為“間瞄射擊”,如式(2)。

(2)

求解式(2)可得

a(y0-y)=b(x0-x)

(3)

由式(3)可知交戰(zhàn)一方的有效戰(zhàn)斗力正比于其戰(zhàn)斗單位數(shù)與平均毀傷數(shù)的乘積。

蘭徹斯特平方率適用于敵我兩方均采用區(qū)域射擊,且視線良好的戰(zhàn)斗[4-6]。假定敵我兩軍雙方均有大規(guī)模兵力參戰(zhàn),火炮和導彈對敵目標實施火力打擊,一旦擊毀敵方目標,立即轉火,打擊敵其他目標。雙方的射擊通常符合泊松分布,如式(4)所示。

(4)

求解式(4)可得,

a(y02-y2)=b(x02-x2)

(5)

由式(5)可知交戰(zhàn)一方的有效戰(zhàn)斗力正比于其兵力數(shù)量的平均數(shù)的平方與平均毀傷數(shù)平方的乘積,雙方損失兵力的速率跟各自兵力數(shù)量的平均數(shù)沒有任何關系。

2 有增援的離散蘭徹斯特模型

現(xiàn)代海戰(zhàn)可分為2種模式：一是未精確探測到目標位置,只能確定到某個海域的海戰(zhàn),即“不可見”海戰(zhàn);二是敵我雙方可精確探測的海戰(zhàn),即“可見”海戰(zhàn)[7-10]。同時由于交戰(zhàn)雙方武器殺傷,交戰(zhàn)結果可能受一枚導彈影響,所以兵力損耗通常為離散的,并不適合用傳統(tǒng)蘭徹斯特進行研究。

2.1 “可見”型海戰(zhàn)模型

“可見”型海戰(zhàn)模型類似于蘭徹斯特平方律模型[10-11],此時假設a為藍軍在單位時間內單枚導彈對紅軍的平均毀傷數(shù)、b為紅軍在單位時間內單枚導彈對藍軍的平均毀傷,x(n)、y(n)為n時刻紅藍雙方兵力數(shù)量,x0、y0為紅藍雙方初始兵力數(shù),c(n)、d(n)分別為紅藍雙方在n時刻的支援兵力。

那么此時紅藍雙方交戰(zhàn)模型為

(6)

通過迭代可求得

(7)

(8)

直接求解上式是困難的,由于在實際海戰(zhàn)中,敵我雙方兵力支援一般都不是連續(xù)的,體現(xiàn)在雙方兵力數(shù)量在某些時間點進行變化,而在這些時間點內并無支援。因此,可以先求得紅藍雙方在這些時間點內的兵力數(shù)量,再在時間點上考慮支援的影響。

在某一小段時間內,假設只有在n+1點,雙方有兵力增援,此時有

(9)

當i≤n時;求解式(6)可得

(10)

(11)

當i≥n+1時,求解式(6)可得

(12)

(13)

其中，

(14)

(15)

結合以上公式可得

1) 紅藍雙方兵力數(shù)量的變化與我方初始兵力有關,我方初始兵力越多,越容易獲得戰(zhàn)爭的勝利;

2.2 “不可見”型海戰(zhàn)模型

同理“不可見”型海戰(zhàn)模型類似于蘭徹斯特蘭徹斯特第二線性率模型[10],假設條件類似于“可見”型海戰(zhàn)。此時紅藍雙方交戰(zhàn)模型為

(16)

通過迭代可求得

(17)

(18)

由式(17)、(18)可得

(19)

該公式類似蘭徹斯特第二線性率模型,即雙方兵力損耗呈線性。該式變形為

(20)

由式(20)可得

1) 紅藍雙方兵力損耗與敵我雙方的單枚導彈的平均毀傷數(shù)有關,我方對敵殺傷性越大,越容易獲得戰(zhàn)爭的勝利;

2) 我方兵力支援越大,敵方支援越少,我方損耗越少,越易得到戰(zhàn)爭勝利;

3) 在“不可見”型海戰(zhàn)中,戰(zhàn)斗中兵力的損耗與初始兵力無關,該海戰(zhàn)適合于以小博大,以弱勝強。

3 仿真實例

本文已經推導出了“可見”型和“不可見”型海戰(zhàn)模型的解析解,得到的兵力損耗和單枚導彈的平均毀傷數(shù)和兵力數(shù)量的關系并不直觀可見,同時兵力支援的數(shù)量和時機的關系不易得到,所以需要仿真驗證。

3.1 “可見”型海戰(zhàn)模型

模型1:在無兵力支援條件下

1) 紅藍雙方初始兵力相同,單彈毀傷數(shù)不同,如圖1所示，即x0=y0=20,a=0.6,b=0.3;

圖1 初始兵力相同、單彈毀傷數(shù)不同交戰(zhàn)

2) 紅藍雙方初始兵力不同,單彈毀傷數(shù)相同,即x0=20,y0=10,a=b=0.5;

圖2 初始兵力不同、單彈毀傷數(shù)相同交戰(zhàn)

圖3 平局條件下的交戰(zhàn)

仿真分析:

從該模型可以得到:敵方單枚導彈的平均毀傷數(shù)越大和敵兵力數(shù)量越多,我方兵力損耗越大,同時啟示我們與敵軍交戰(zhàn)時,導彈毀傷能力的不足可以依靠數(shù)量來取勝。

模型2:有兵力支援條件下

1) 紅藍雙方初始兵力相同,單彈毀傷數(shù)不同,即x0=y0=20,a=0.1,b=0.2;藍方兵力在i=3時刻支援5，如圖4、5所示。

圖4 無兵力支援條件下的作戰(zhàn)(i=3,d=0)

圖5 藍方有兵力支援條件下的作戰(zhàn)(i=3,d=5)

圖6 藍方有兵力支援條件下的作戰(zhàn)(i=3,d=10.7931)

圖7 藍方有兵力支援條件下的作戰(zhàn)(i=5,d=14.0617)

仿真分析:

3.2 “不可見”型海戰(zhàn)模型

該模型的兵力損耗與初始兵力無關,取單彈毀傷數(shù)不同,即a=0.1、b=0.2;比較支援情形1、2與無支援條件下的紅藍雙方兵力損耗，如圖8所示。

其中支援情形1:db/a·c,即藍方等效支援兵力較多,交戰(zhàn)損耗較少,處于優(yōu)勢地位。

仿真分析:

從該模型可以得到:紅藍雙方在“不可見”情況下的戰(zhàn)損與初始兵力無關,即在看不見條件下,集中優(yōu)勢兵力殲敵的思想并不可取。雙方戰(zhàn)損受單彈平均毀傷數(shù)影響較大,同時如果我方支援兵力屬于支援情形1,我方消耗較多,屬于支援情形2,我方消耗較少。

圖8 “不可見”型海戰(zhàn)

4 結束語

根據(jù)現(xiàn)代的特點,本文提出了有增援的離散蘭徹斯特模型,推導了“可見”型海戰(zhàn)與“不可見”型海戰(zhàn)模型的數(shù)學表達式,并進行了仿真分析,研究結果對我海軍作戰(zhàn)有一定借鑒價值。但也存在不足：一是未考慮我軍艦內部作戰(zhàn)能力的異同,二是未考慮排兵布陣對于海戰(zhàn)的影響,需要下一步研究。