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        幾何模型構(gòu)造法的解題策略探討

        2018-10-17 06:27:06陳志惠
        關(guān)鍵詞:平分線對稱性變式

        陳志惠

        (漳浦達(dá)志中學(xué),福建 漳州 363208)

        一、初中生在幾何解題中存在的常見問題

        學(xué)會(huì)正確的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)構(gòu)造、數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。而學(xué)生在解題中存在的問題核心也是這三點(diǎn)。

        1.面對試題百思不得其解,是對幾何模型不熟悉的體現(xiàn)

        幾何的基礎(chǔ)是基本的幾何圖形,而基本的幾何圖形可以構(gòu)造出各種不同的模型,從而衍生出各式各樣的試題。我們在平時(shí)的教學(xué)過程中,或在輔導(dǎo)學(xué)生解題時(shí),只是就題論題,一味解題,而沒有及時(shí)總結(jié)、歸類,提煉模型、方法、解題策略,最終可能并不會(huì)有太多收獲。特別是在遇到模型疊加及綜合時(shí),能否可以準(zhǔn)確判斷出相關(guān)模型及問題的切入點(diǎn),決定了一道試題能否在規(guī)定時(shí)間內(nèi)被攻破。只有掌握了各種幾何模型的通法解法,才能使我們快速地找到解題思路。

        2.不會(huì)添加輔助線,往往是對重要關(guān)鍵詞不敏感

        幾何壓軸題,往往注重多種幾何模型綜合、靈活運(yùn)用。而幾何模型的綜合,有時(shí)并不會(huì)完整地展現(xiàn)幾何模型,題目中可能只會(huì)展現(xiàn)模型中最基礎(chǔ)的、關(guān)鍵的一部分圖形,因而,這就需要我們能捕捉到這些關(guān)鍵字眼或關(guān)鍵的圖形信息,找到顯性或隱性的已知條件,并能在大腦中反應(yīng)出可能的基本幾何模型,通過添加輔助線構(gòu)造出可能的基本幾何模型,通過在模型通法中,挑選出正確的做法。

        3.解題過程漏洞百出,是因?yàn)橥评磉壿嫴磺?,對模型通法不?/p>

        解題過程容易出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤,是因?yàn)槲覀兊耐评砟芰Σ蛔?,邏輯思維混亂,對模型的條件、結(jié)論及推理過程不熟,也就是說對圖形的數(shù)學(xué)本質(zhì)沒有深入的認(rèn)識和理解。在解題教學(xué)中,應(yīng)注重對試題的數(shù)學(xué)本質(zhì),圖形的數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行鉆研和挖掘,讓學(xué)生清楚知識的來龍去脈,經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、推理、運(yùn)用過程,注重步驟的規(guī)范書寫,注重綜合法、分析法的綜合運(yùn)用,發(fā)展演繹推理能力和邏輯推理,滲透數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)展幾何直觀,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

        二、幾何模型構(gòu)造法的解題策略探討

        1.解題策略之“巧用圖形的對稱性構(gòu)造對稱全等”

        數(shù)學(xué)教材是一切數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn),深入理解教材對我們的教學(xué)有重要的作用。我們在使用數(shù)學(xué)教材時(shí),不難發(fā)現(xiàn),教材對圖形性質(zhì)的探索,無論是從點(diǎn)、線、面、體的探索,到線段、射線、直線、相交線、平行線的性質(zhì)探索,或是線段的垂直平分線、角平分線、等腰三角形的性質(zhì)探索,或是平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓的性質(zhì)探索,無不是從圖形的對稱性入手的,通過折紙、畫圖活動(dòng),讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想,測量、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等一系列探索過程,從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力,認(rèn)識幾何模型,達(dá)到對圖形數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識,形成能力和思維。因此,對稱性是探索圖形性質(zhì)的重要方法,也是解決圖形問題的重要思路。

        (1)巧用圖形對稱性解題之“角平分線模型”

        角平分線模型最主要的解題策略是構(gòu)造對稱全等,利用圖形的對稱性、全等的性質(zhì)進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化、推理、計(jì)算,是初中數(shù)學(xué)非常重要的解題方法,而常見的對稱構(gòu)造法有以下幾種情況:

        例題1:已知:AD平分∠BAC,BD⊥AD. 求證:∠ABD= ∠DBC+∠C (如圖1)

        解題策略是利用角平分線的對稱性,當(dāng)角平分線遇上垂直時(shí),可以順延,得到等腰三角形。即構(gòu)造對稱全等解決問題。

        例題1變式1:已知:OP平分∠MON,PA=PB. 求證:∠OAP+∠OBP=180°(如圖2)

        解題策略是利用角平分線的對稱性,角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線,構(gòu)造對稱全等解決問題。

        例題1變式2:ΔABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B. 求證:AB=AC+CD(如圖3)

        解題策略是利用角平分線的對稱性,當(dāng)證明線段的長度關(guān)系時(shí),截長補(bǔ)短法是重要的解題思路,問題的本質(zhì)也是構(gòu)造對稱全等。

        從上例可以看出,當(dāng)題目中有直接給出或隱含的角平分線條件時(shí),除了構(gòu)成等角外,還應(yīng)特別注意從角平分線兩個(gè)方面的功能來分析和認(rèn)識圖形:① 以角平分線為軸,構(gòu)成怎樣的對稱圖形?② 以角平分線和平行線結(jié)合,構(gòu)成怎樣的等腰三角形?思考若以這樣的功能作指導(dǎo),大都會(huì)找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法。

        (2)巧用圖形對稱性解題之“將軍飲馬模型”

        最值問題、最佳方案是數(shù)學(xué)思考的一個(gè)重要方面,它為生活帶來便利,體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。將軍飲馬模型是數(shù)學(xué)最值問題中的一個(gè)重要模型,它蘊(yùn)含著幾何直觀、空間觀念的培養(yǎng);轉(zhuǎn)化、化歸思想的滲透;對稱性解題策略的運(yùn)用;幾何推理與計(jì)算在實(shí)際問題中的運(yùn)用等,對稱構(gòu)造是將軍飲馬模型的主要解題策略。

        如圖,A、B是直線l外的兩個(gè)定點(diǎn),在直線l上求作點(diǎn)P,使PA+PB路程最短。

        例題2:如圖4,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點(diǎn)P,使 PD+PE 的和最小,求這個(gè)最小值。

        將軍飲馬題型的解題策略是利用軸對稱的性質(zhì)作對稱點(diǎn),原理是利用三角形的兩邊之和大于第三邊,解題技巧是化折為直,即口訣法:分清動(dòng)定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)成直線,定點(diǎn)來照鏡,隔線把點(diǎn)連。

        2.解題策略之“幾何模型構(gòu)造法,運(yùn)用模型通法解題”

        “一題多解,解法優(yōu)化;一題多變,變中求同;多題一法,同模通法”是數(shù)學(xué)解題與習(xí)題教學(xué)中重要的教學(xué)方法,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的方法。對各個(gè)數(shù)學(xué)知識模塊,進(jìn)行這三個(gè)維度的探究教學(xué),有益于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。

        (1)巧用幾何模型一題多解,多解歸一

        一題多解可以幫助學(xué)生開闊思路,把學(xué)過的知識和方法融會(huì)貫通,可大大提升分析問題和解決問題的能力;可以培養(yǎng)學(xué)生靈活、敏捷的思維能力,讓學(xué)生學(xué)會(huì)對問題進(jìn)行多角度、多層次的分析,達(dá)到對問題的全面理解,進(jìn)而迅速準(zhǔn)確地解決問題;可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維及聯(lián)想能力,學(xué)會(huì)用不同的知識解決同一個(gè)問題,達(dá)到對多種知識的融會(huì)貫通。

        例題3:正方形ABCD中,CD=2,點(diǎn)P在以AC為直徑的半圓上,AP=1,∠DPC=45°,求點(diǎn)D到PC的距離。(如圖5)

        解法1:利用幾何計(jì)算三大法寶之一“勾股定理”列方程求解。解題策略:遇垂線,求長度,勾股定理少不了!解法2:利用幾何計(jì)算三大法寶之二“相似列比例式”求解。解題策略:求長度,構(gòu)相似,隱藏信息是關(guān)鍵!解法3:利用幾何計(jì)算三大法寶之三“銳角三角函數(shù)”求解。解題策略:求長度,找角度,三角函數(shù)來幫忙!解法4:手拉手,現(xiàn)全等。解題策略:撥開迷霧,圖形看本質(zhì),手拉手,現(xiàn)全等!解法5:對角互補(bǔ),四點(diǎn)共圓或旋轉(zhuǎn)解題。解題策略:遇等邊,共頂點(diǎn),全等旋轉(zhuǎn)是關(guān)鍵!解法6:相似變換,一轉(zhuǎn)成雙。解題策略:一對共頂點(diǎn)的相似三角形繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得另一對相似三角形,簡稱:“一轉(zhuǎn)成雙”,用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造相似形三角形,是把分散的邊角條件集中到特殊圖形中,以使其產(chǎn)生聯(lián)系。

        例題4:正方形ABCD的邊長為4,P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合),連接BP,將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o到BM,連接MP,并延長交BC點(diǎn)E,交AD(或AD延長線)于點(diǎn)F.(如圖6)

        (1)連接CM,證明:AP=CM;

        (2)設(shè)AP=x,CE=y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

        (3)猜想PF與EM的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

        撥開迷霧,圖形看本質(zhì)。第(1)題是手拉手模型,手拉手,現(xiàn)全等。第(2)題是一線三等角模型,問題的本質(zhì)是相似。第(3)題解法多樣化,可以利用不同的幾何模型通法,從而達(dá)到一題多解。解法1:截長法構(gòu)造全等。解法2:補(bǔ)短法構(gòu)造全等。解法3:角平分線構(gòu)造對稱全等。解法4:手拉手和角平分線結(jié)合構(gòu)造全等。解法5:利用手拉手和對角互補(bǔ)模型。解法6:利用三垂直模型全等。解法7:三垂直模型和平行線分線段成比例相結(jié)合。解法8:手拉手和角平分線構(gòu)造對稱全等。通過一題多解,把學(xué)過的知識和方法融會(huì)貫通,從而提升對試題本質(zhì)的認(rèn)識,提高解題能力。

        (2)一題多變,變中求同;多題一法,同模通法

        課本例題、習(xí)題為學(xué)生開拓思維提供了豐富的資料,是教師開展變式教學(xué)的重要資源,其思維方式的典型性、解題過程中的示范性是課外習(xí)題不能比擬的。課本例題、習(xí)題是許多中考題的原始來源,例題、習(xí)題的拓展常常成為中考的考點(diǎn)。我們可以通過很多途徑對課本的例題、習(xí)題進(jìn)行變式。如:改變條件、改變結(jié)論、改變數(shù)據(jù)、改變圖形;條件引申、結(jié)論拓展;條件開放或結(jié)論開放,或條件、結(jié)論同時(shí)開放等。

        例題5:如圖,四邊形ABCD中,∠ABC=∠A DC=90o,BD平分∠ABC,∠DCB=60o,AB+BC=8,求AC的長。(如圖7)

        變式一:改變圖形背景。如圖,⊙O的直徑AB為10cm,弦AC為6cm,∠ACB的平分線交⊙O于D。(1)求BC的長;(2)求AD,BD的長。

        變式二:保留結(jié)論,更換條件。如圖,⊙O的 弦AB長10cm,∠ADB=90°, 弦AC長6cm,AD=BD(1)求BC的長;(2)求AD,BD的長。

        變式三:保留條件,結(jié)論拓展。如圖,⊙O的直徑AB為10cm,弦AC為6cm,∠ACB的平分線交⊙O于D。求CD的長。

        變式四:把等腰直角三角形換成等邊三角形。

        變式五:把等邊三角形換成正方形。

        變式六:把正方形換成正多邊形。

        認(rèn)識和體會(huì)數(shù)學(xué)是一個(gè)整體,變式例題(習(xí)題)教學(xué)應(yīng)該突出變式中的共性,切忌就題論題,應(yīng)引導(dǎo)歸納總結(jié),通過特殊去發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,能“解一題,懂一法,會(huì)一類,通一片”。

        3.解題策略之“聯(lián)想構(gòu)造法:運(yùn)用中點(diǎn)模型解題”

        中點(diǎn)是幾何解題中常常遇到的,特別是三角形的中點(diǎn)、中線、中位線及直角三角形斜邊上的中線等是高頻考點(diǎn),是中考的必考內(nèi)容。遇到中點(diǎn),我們應(yīng)從哪些方面進(jìn)行思考呢?

        以直角三角形斜邊上的中點(diǎn)為例,請看例6、例7,尋求中點(diǎn)模型的構(gòu)造法。

        例題6:□ABCD中,AB=3,BC=4,E為□AB CD外一點(diǎn),∠AEC=∠BED=90o。(如圖8)

        (1)求□ABCD的面積。

        (2)求四邊形ABCE的面積的最大值。

        例題6變式:在Rt△ABC和Rt△ADC中,∠ABC=∠ADC=90o,E、F分別為AC和BD的中點(diǎn)。(如圖9)

        (1)求證:EF⊥BD。

        (2)若∠BAD=45o,求AC:EF的值。

        例題7:已知:AD、AE分別是△ABC的高和中線. (如圖10)

        (1)若AC=2DE,求證: ∠C=2∠B。

        (2)若∠C=2∠B ,求證:AC=2DE。

        例題6由兩個(gè)直角聯(lián)想到直角三角形,想到連接對角線,而矩形使得兩條斜邊有了聯(lián)系,因此,共中線等斜邊是本題最大的特點(diǎn),也是需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)的地方;例6變式和例6區(qū)別在于共斜邊而得到等中線,和例6是條件結(jié)論互換,解題策略為:(1)共中線、則等斜邊;(2)共斜邊,則等中線。例7由已知中點(diǎn),需要聯(lián)想構(gòu)造,使高和中線產(chǎn)生聯(lián)系,從而使問題得到解決;(3)知中點(diǎn),作中點(diǎn),中線和中位線完美結(jié)合。一個(gè)中點(diǎn)不夠,再構(gòu)造一個(gè)中點(diǎn),使分散的已知條件集中。

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