宋 春，劉金英，趙國華

（天津市濱海新區(qū)塘沽第六中學(xué)；天津市中小學(xué)教育教學(xué)研究室；天津市濱海新區(qū)塘沽教育中心）

網(wǎng)格中的幾何作圖問題是近幾年天津市中考探索的新題型，具有立意新穎、綜合性強、思維含量高等特點，能有效的考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者以2018年天津市中考數(shù)學(xué)試卷第18題為例進(jìn)行拓展研究，以期拋磚引玉.

一、試題呈現(xiàn)

題目如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A,B,C均在格點上.

（1）∠ACB的度數(shù)為________；

（2）在如圖所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點.以點A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把點P逆時針旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為P′.當(dāng)CP′最短時，試用無刻度的直尺，畫出點P′,并簡要說明點P′的位置是如何找到的（不要求證明）.

此題體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對作圖的要求，即在尺規(guī)作圖中了解作圖的道理，保留作圖痕跡.同時，考查了學(xué)生利用網(wǎng)格，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，屬于“綜合與實踐”的范疇.題目雖小，卻蘊含著濃重的思維含量和進(jìn)一步研究的價值，為后續(xù)教學(xué)中教師的教和學(xué)生的學(xué)，提供了極好的素材.

網(wǎng)格作圖問題承載了學(xué)生的幾何直觀能力、發(fā)現(xiàn)與探究能力、邏輯推理與合情推理能力等，是中考命題的熱點.例如，2018年北京、福建、海南、寧夏、四川廣安、黑龍江齊齊哈爾，山東威海等地區(qū)的中考試卷中，均設(shè)置了相關(guān)問題.

為什么命題者對網(wǎng)格作圖題如此青睞呢？筆者認(rèn)為原因有以下五點：第一，有利于考查“圖形與變換”的性質(zhì)；第二，有利于考查圖形與直觀；第三，有利于考查學(xué)生“綜合與實踐”的能力；第四，有利于考查學(xué)生逆向思維能力；第五，有利于命題者打磨出精品試題.

二、試題研究

1.探源頭，深挖教材找關(guān)聯(lián)

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊習(xí)題23.1第1題第（1）小題“任意畫一個△ABC，作下列旋轉(zhuǎn)：以點A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)40°”，此題是考查旋轉(zhuǎn)的基本作圖題，可以借助圓規(guī)和量角器完成，作用是鞏固旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).習(xí)題23.1第4題“如圖2，分別畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°和180°后的圖形”，此題嘗試在網(wǎng)格中作旋轉(zhuǎn)，可以將△OAB逆時針旋轉(zhuǎn)90°，找到點A，B的對應(yīng)點A′，B′，再找到點C的對應(yīng)點C′，就可以畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形（如圖3）.此題用無刻度的直尺就可以完成，其依據(jù)是在網(wǎng)格中可以借助全等三角形構(gòu)造等腰直角三角形.

圖2

圖3

從這兩道簡單的教材習(xí)題來看，旋轉(zhuǎn)作圖問題可以有效地幫助學(xué)生加深對相關(guān)問題的理解，這與2018年天津市中考試卷第18題的情境設(shè)計、問題本質(zhì)、思考方法有很多相似的的地方.

2.探解法，變換角度尋路徑

題目第（1）小題中，∠ACB=90°.第（2）小題的作法與分析如下.

作法1：如圖4，取格點D,E,連接DE交AB于點T;取格點D′,E′,連接D′E′交CD于點K; 取格點M,N,連接MN交BC延長線于點G;取格點F,連接FG交TC延長線于點P′,則點P′即為所求.

圖4

作法2：如圖5，取格點D,E, 連接DE交AB于點T; 取格點D′,E′,連接D′E′, 取格點I, 連接TI交D′E′于點H;取格點M,N, 連接MN交BC的延長線于點G;取格點F,延長FG交AH的延長線于點C′;延長TC交C′F于點P′, 則點P′即為所求.

圖5

解析：因為∠DAC=∠D′AC=45°, 再構(gòu)造∠DAT=∠D′AH，即可構(gòu)造出∠CAH=∠CAT.又由作法1可知∠F=∠B,AF=AB, 得到△C′AF≌△CAB.則∠AC′F=∠ACB=90°.由作法2可知AT=CT,則∠CAT=∠ACT.易得∠CAC′=∠ACT.從而有TC∥AC′. 所以CP′⊥C′F.

作法3：作法同作法2，利用解析式法求解，即在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，通過直線解析式確定特殊點的坐標(biāo)，使問題方便求解.

解析：如圖6，以A為原點，AD為x軸，AD′為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

圖6

可得直線AH的解析式為y=-7x.

由作法2可知FC′⊥AC′.

由CP′∥C′A, 則直線CP′的解析式為y=-7x+24.

作法4：如圖7，取格點D,E, 連接DE交網(wǎng)格線于點K;取格點D′,E′,I,I′, 連接D′E′,II′交于點H; 取格點M,N,M′,N′, 連接MN,M′N′交于點G;取格點F,延長FG交AH的延長線于點C′;延長CK交FG于點P′，則點P′即為所求.

圖7

解析：作法4中構(gòu)造全等三角形的方法同方法2，即構(gòu)造△C′AF≌△CAB.若要解決CP′⊥C′F的問題，由三角形全等可知∠AC′F=∠ACB=90°,為此利用同位角相等構(gòu)造CP′∥AC′.

由作法4可知∠KDC=∠KCD=∠HAD′,得∠HAF=∠KCF.所以AH∥CK.所以CP′⊥C′F.

作法5：如圖8，取格點D,E, 連接DE交網(wǎng)格線于點K;取格點D′,E′,I,I′, 連接D′E′,II′交于點H;取格點M,N,M′,N′, 連接MN,M′N′交于點G;取格點F,延長FG交AH的延長線于點C′;延長AC′交網(wǎng)格線于點F′;連接CK交FG于點P′，則點P′即為所求.

圖8

解析：作法5中構(gòu)造全等三角形的方法同方法2，即構(gòu)造△C′AF≌△CAB.若要解決CP′⊥C′F的問題，由三角形全等可知∠AC′F=∠ACB=90°,為此借助成比例線段構(gòu)造CP′∥AC′.

從上述作法不難發(fā)現(xiàn)，五種作法的共同點是構(gòu)造全等三角形或相似三角形，關(guān)鍵是找到判定三角形全等的條件.作法2的思考路徑較簡捷，說明此題借助幾何直觀解決更方便些.作法4和作法5在構(gòu)造兩直線平行時，需考慮等角或?qū)?yīng)線段成比例，方法巧妙，但不容易發(fā)現(xiàn).這就是網(wǎng)格中存在的隱含條件，需要在網(wǎng)格中發(fā)現(xiàn)基本圖形，如相似、全等、平行、垂直等.對于作法1和作法2，若能以數(shù)思形，借助圖形進(jìn)行直觀分析，就可以迅速獲得隱含條件，使問題形象、簡明地得以解決.

三、進(jìn)一步思考

1.網(wǎng)格作圖題可以提供解決幾何問題的多種途徑

在網(wǎng)格背景下研究平面圖形，一方面，能保留圖形自身的幾何特性；另一方面，網(wǎng)格自身的位置及數(shù)量的特殊性，使得圖形中存在一些特殊關(guān)系，進(jìn)而使圖形的一般幾何性質(zhì)得以特殊化和數(shù)量化.網(wǎng)格作圖給學(xué)生提供了多角度探究問題的方法，由于構(gòu)圖時可以選用網(wǎng)格中的特殊點，為學(xué)生拓展和創(chuàng)新搭建了平臺，進(jìn)而可以通過圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、翻折、位似變換來構(gòu)圖，可以先畫后證，還可以根據(jù)圖形的特點及運算的需要，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，用解析法確定點的位置、直線的位置關(guān)系等.

2.網(wǎng)格作圖題可以考查學(xué)生的綜合能力

此題的解決過程，從知識層面上，主要考查了勾股定理、成比例線段、相似三角形、全等三角形、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)作圖等；從技能層面上，主要考查了學(xué)生的計算能力、作圖能力和推理能力，其核心是構(gòu)造全等三角形，作出平行和垂直；從基本思想方法來看，主要考查了數(shù)形結(jié)合、幾何直觀、化歸思想、函數(shù)思想等.

3.網(wǎng)格作圖題可以搭建培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的廣闊舞臺

此題屬于“綜合與實踐”范疇，《標(biāo)準(zhǔn)》要求達(dá)到結(jié)合實際情境、經(jīng)歷設(shè)計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程，并在此過程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題.通過對有關(guān)問題的探討，進(jìn)一步理解有關(guān)知識，發(fā)展應(yīng)用意識和能力.網(wǎng)格中的基本作圖包括：構(gòu)造相似三角形、全等三角形、平行、垂直、n等分線段，作軸對稱、平移，等等，這為學(xué)生創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題提供了條件.在網(wǎng)格作圖題中，只有熟練掌握基本圖形的基本性質(zhì)，將圖形的變換了然于胸，才能在運用的過程中實現(xiàn)知識與技能的升華.

網(wǎng)格作圖給學(xué)生提供了多角度探究的空間，構(gòu)圖時可以選取網(wǎng)格中的特殊點，增加解題的靈活性和創(chuàng)造性.網(wǎng)格作圖是以學(xué)生的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，在短時間內(nèi)完成構(gòu)圖、分析、驗證和精準(zhǔn)的判斷，根據(jù)學(xué)生的自身能力及特點，可以展現(xiàn)出不同水平、不同角度的問題解決的方式，這彰顯了網(wǎng)格潛在的龐大功能，即依托小網(wǎng)格，鑄就大舞臺.