張 鋒

（江蘇省無錫市濱湖中學(xué)）

初中生具有活潑好動(dòng)、好奇的天性，他們正處于獨(dú)立思維發(fā)展的重要階段，對(duì)數(shù)學(xué)的求知欲較強(qiáng)，具有初步的自主學(xué)習(xí)、合作探究能力.教師應(yīng)該在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，遵循數(shù)學(xué)知識(shí)本身的發(fā)展規(guī)律，關(guān)注學(xué)生是否積極調(diào)動(dòng)已有的認(rèn)知，主動(dòng)探索新、舊知識(shí)和學(xué)習(xí)方法之間的聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的提升，促使學(xué)生站在一個(gè)新的高度來認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，課程應(yīng)該是一種非預(yù)設(shè)的動(dòng)態(tài)生成的具有多樣化、個(gè)性化、特色化、真實(shí)的、鮮活的、富有生命力的課程.課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷發(fā)展的過程，具有靈活的生成性和不可預(yù)測性.生成性資源以其具有的主體性、互動(dòng)性、真實(shí)性、豐富性和開放性等特點(diǎn)逐漸被人們認(rèn)識(shí).事實(shí)上，生成性資源在課堂教學(xué)中無處不在，教師要有強(qiáng)烈的資源意識(shí)，珍惜真正有價(jià)值的資源，使教學(xué)活動(dòng)真正為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展服務(wù).課堂不是教師表演的舞臺(tái)，而是學(xué)生展示自己才華、理解他人觀點(diǎn)的場所，亦即從事數(shù)學(xué)探究、交流活動(dòng)的主陣地.教師要充分抓住課堂這個(gè)主陣地，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，激活整個(gè)課堂，生成新的教學(xué)資源.

為了充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，筆者以一道習(xí)題的教學(xué)為例，就如何適應(yīng)學(xué)情、調(diào)整教學(xué)，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)體會(huì).

一、課例呈現(xiàn)

蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)“余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角（1）”一節(jié)配套課課練中有如下一道題目.

題目如圖1，3條直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，它們一共構(gòu)成幾對(duì)對(duì)頂角？是哪幾對(duì)？

圖1

學(xué)生開始觀察、討論起來，比劃著、認(rèn)真地在數(shù)，最后得出共有6對(duì).

這時(shí)筆者抓住機(jī)會(huì)，引領(lǐng)他們繼續(xù)探究，追問：如圖2，4條直線相交于一點(diǎn)呢？

圖2

學(xué)生瞪大眼睛數(shù)起來，有的說：這怎么數(shù)？有的學(xué)生望著筆者，略顯無奈.

不一會(huì)兒，有學(xué)生說：是不是12對(duì)？有學(xué)生說：肯定是12對(duì).

于是筆者叫學(xué)生上臺(tái)講一下方法.

生1：我是這樣數(shù)的，先看一條射線OA（又補(bǔ)充道：隨便哪一條）它分別與OE，OG，OD構(gòu)成3個(gè)角（去掉與它構(gòu)成平角的一條射線OB），再看OE與OG，OD，OB也構(gòu)成3個(gè)角，……OD與OB，OF，OH也構(gòu)成3個(gè)角，所以每條射線與其他半條射線構(gòu)成3對(duì)角，共有4條射線，所以共有3×4=12對(duì)對(duì)頂角.

其他學(xué)生點(diǎn)頭表示贊同，在此之前學(xué)生就是用這個(gè)方法學(xué)習(xí)數(shù)線段和角的.

師：生1觀察得很仔細(xì)，采用“數(shù)一半”的方法把問題轉(zhuǎn)化為前面數(shù)角的方法，照此方法，大家再想一下，5條直線相交于一點(diǎn)，共構(gòu)成幾對(duì)對(duì)頂角呢？

筆者在圖2中過點(diǎn)O再作一條直線.

生2：因?yàn)槊織l射線與剩下一半射線中的4條構(gòu)成4對(duì)角，共有5條射線，故共有4×5=20對(duì)對(duì)頂角.

師：好的，從對(duì)頂角的數(shù)量特征入手，借助數(shù)角的方法，找到解決問題的辦法.下面根據(jù)以上結(jié)果猜猜看：一般地，n條直線相交于一點(diǎn)，共有多少對(duì)對(duì)頂角？

學(xué)生立即回答共有n(n-1)對(duì)對(duì)頂角.

本以為到此結(jié)束，既解決了問題，得到一般結(jié)論，又用到轉(zhuǎn)化、類比、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想與方法，讓學(xué)生再次體會(huì)到代數(shù)式n(n-1)的含義，完成了預(yù)定的教學(xué)設(shè)計(jì)，正當(dāng)大家沉浸在收獲的喜悅中時(shí)，生3卻發(fā)表了自己的觀點(diǎn).

生3：老師，我有一種更簡單的辦法.

怎么還會(huì)有更簡單的方法呢？筆者想聽聽他的“高見”.

生3：由剛才的方法我想到，對(duì)頂角是由兩條相交直線構(gòu)成的，兩條相交直線構(gòu)成兩組對(duì)頂角，說明對(duì)頂角的組數(shù)恰好是兩直線相交時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍.

這時(shí)其他學(xué)生也議論起來：現(xiàn)在的問題是多條直線相交于一點(diǎn)，又怎么跟兩直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)呢？

正當(dāng)學(xué)生猶豫時(shí)，生3走到黑板前，只見他在黑板上作出如圖3、圖4所示的圖形.

圖3

圖4

生3補(bǔ)充道：把圖3中的l1往上移動(dòng)一下，那么3條直線相交于一點(diǎn)就轉(zhuǎn)化為直線兩兩相交（圖4），因?yàn)閺膭偛艛?shù)角的方法中可以知道，對(duì)頂角是由兩條直線相交而成，所以我受到啟發(fā)，把其中一條直線移動(dòng)一下，成為兩兩相交，而這樣它們的對(duì)頂角組數(shù)是相同的，故只要看直線兩兩相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就可以了.3條直線兩兩相交，有3個(gè)交點(diǎn)，共6對(duì)對(duì)頂角，所以3條直線交于一點(diǎn)共有6對(duì)對(duì)頂角.

生3居然發(fā)現(xiàn)了問題的本質(zhì)！筆者的腦子也在高速飛轉(zhuǎn)：這不正是前面研究過的“n條直線兩兩相交，求最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)”的問題嗎？

事實(shí)上，這個(gè)規(guī)律正體現(xiàn)了對(duì)頂角的構(gòu)成特點(diǎn)：對(duì)頂角是由兩條相交直線構(gòu)成的，兩條相交直線只有一個(gè)交點(diǎn)且構(gòu)成兩對(duì)對(duì)頂角，對(duì)頂角對(duì)數(shù)當(dāng)然就是直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍！因此，問題就轉(zhuǎn)化為“直線兩兩相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？”的問題.

筆者非常佩服生3的觀察力以及大膽的猜想，同時(shí)也想給其他學(xué)生提供再次探究的機(jī)會(huì)，于是筆者決定臨時(shí)改變計(jì)劃和大家一起繼續(xù)探討下去.

師：生3用敏銳的觀察力捕捉到這個(gè)特征，到底對(duì)不對(duì)呢？下面大家用這個(gè)方法驗(yàn)證一下，當(dāng)4條直線交于一點(diǎn)時(shí)，有多少對(duì)對(duì)頂角？

只見學(xué)生迅速畫圖（也有個(gè)別學(xué)生還在數(shù)），不一會(huì)兒，大家都計(jì)算出來了，隨后筆者讓生4上臺(tái)解答，他畫了圖5，并寫下6×2=12.

圖5

看來學(xué)生都已經(jīng)明白了n條直線相交于一點(diǎn)與n條直線兩兩相交時(shí)的對(duì)頂角組數(shù)是一樣的，只需求出直線兩兩相交的最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.于是筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，拋出問題“n條直線相交于一點(diǎn)，有幾對(duì)對(duì)頂角？”這時(shí)學(xué)生很快求出正確答案(n-1) n.因?yàn)榇蠹覍?duì)n條直線兩兩相交最多有1+2+3+…+(n-2)+(n-1)=n(n-1)個(gè)交點(diǎn)不陌生，所以對(duì)頂角為2×n·(n-1)=n(n-1)對(duì)，也許是大家積極思考的氛圍感染了筆者，想起前不久有學(xué)生問的“切西瓜”問題，利用剛才的圖形不就解決了嗎？于是有了下面新的生成.

師：如圖6、圖7、圖8所示，直線與分割的平面之間有什么關(guān)系？

圖6

圖8

學(xué)生交流開了：一條直線把平面分成兩個(gè)部分，兩條直線把平面分成4個(gè)部分（筆者糾正應(yīng)是最多被分成4個(gè)部分），3條直線……

時(shí)機(jī)差不多了，筆者讓一位學(xué)生解答3條直線最多把平面分成幾個(gè)部分？

生5：兩條直線相交把平面最多分成4個(gè)部分，第三條直線如果與它們都相交（如圖4），就多出來3個(gè)部分，所以有7個(gè)部分.

學(xué)生異常興奮，對(duì)剛才的圖形有了新的認(rèn)識(shí)，完全讀懂了圖形所蘊(yùn)含的意義，自然就知道接下來的問題：你能推導(dǎo)出n條直線最多把平面分成幾部分嗎？

師：太棒了！通過認(rèn)真觀察、交流和分析，我們既解決了問題，學(xué)會(huì)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，把新問題轉(zhuǎn)化為我們已熟悉的問題，又明白了同一個(gè)問題可以從不同的角度去研究，通過合作、探索，我們還學(xué)到了新的知識(shí).老師相信，只要大家認(rèn)真思考、積極動(dòng)腦，不囿于老師的方法，一定會(huì)有更多的收獲.

二、問題分析

下課了，筆者走進(jìn)辦公室，回味本節(jié)課的小插曲，內(nèi)心暗自佩服學(xué)生的思考能力.通過本節(jié)課的教學(xué)，筆者認(rèn)為教師應(yīng)該充分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，只有了解學(xué)生真正的學(xué)習(xí)需要，才會(huì)發(fā)現(xiàn)教師應(yīng)該教什么，為教學(xué)預(yù)設(shè)的可行性奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).研究學(xué)生的學(xué)習(xí)需要就要準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)情，應(yīng)該做到以下三點(diǎn).

1.研究學(xué)情，關(guān)注起點(diǎn)，做到有的放矢

我們一直倡導(dǎo)有效的教學(xué)活動(dòng)是教師教與學(xué)的統(tǒng)一，這意味著教師應(yīng)該全面地了解學(xué)生，要?jiǎng)?chuàng)造性地、靈活地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源，要鼓勵(lì)與提倡解決問題策略的多樣化，要恰當(dāng)評(píng)價(jià)學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平，要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，使每位學(xué)生都得到充分的發(fā)展.教師要關(guān)注學(xué)生已有的思維起點(diǎn)，只有了解學(xué)生的現(xiàn)實(shí)狀況，才能正確估計(jì)學(xué)生的水平，準(zhǔn)確做好教學(xué)預(yù)設(shè)，提高教學(xué)效率.如果沒有生3的“創(chuàng)新發(fā)言”，也就沒有精彩、靈動(dòng)的生成，這節(jié)課就會(huì)按筆者預(yù)先的設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)，失去了一次展示學(xué)生才華的機(jī)會(huì).生1、生2的回答也正是教師想要的一般視角的方法.這也提醒筆者：教學(xué)一定要關(guān)注學(xué)生已有知識(shí)的增長點(diǎn)和生長點(diǎn)，合理設(shè)計(jì)問題，增進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷、體會(huì)、感悟的過程，正確發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，正如預(yù)設(shè)中生1、生2的回答.

2.關(guān)注學(xué)情，自主探究，做到因材施教

在學(xué)生合作交流的過程中，教師應(yīng)該時(shí)刻關(guān)注所有學(xué)生的學(xué)情，對(duì)學(xué)生自主探究的情況進(jìn)行全面了解.一方面，要重點(diǎn)關(guān)注優(yōu)等生的做法，同時(shí)不應(yīng)忽視學(xué)困生，隨時(shí)指導(dǎo)、點(diǎn)撥思路、及時(shí)反饋，推廣優(yōu)秀做法，這樣才能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.課堂要尊重學(xué)生的體驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)論的推導(dǎo)（生成）過程.案例中設(shè)計(jì)的素材，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷特殊（數(shù)一半）到一般、具體（3條線到4條線）到抽象（n條線）的探究過程，從具體素材中體會(huì)對(duì)頂角的“對(duì)數(shù)”， 進(jìn)而以生3的視角開展教學(xué).生3的發(fā)言雖然打亂了筆者原本的教學(xué)思路，但也正是因?yàn)檫@樣，筆者看到了學(xué)生的智慧.

3.順應(yīng)學(xué)情，珍惜資源，做到靈動(dòng)生成

變化的課堂充滿不確定性，學(xué)生的一些發(fā)人深省的問題、富有個(gè)性的理解和表達(dá)隨時(shí)可能不期而至，超出教師的意料.如果教師有敏銳的洞察力和靈活的課堂駕馭能力，定會(huì)扭轉(zhuǎn)乾坤，讓課堂散發(fā)出無窮的魅力和生命活力.教師要充分抓住課堂這個(gè)主陣地，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，大力培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，激活課堂.

案例中生3發(fā)現(xiàn)3條直線交于一點(diǎn)時(shí)，對(duì)頂角組數(shù)轉(zhuǎn)化為3條直線兩兩相交最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，這是筆者沒預(yù)料到的，他抓住了對(duì)頂角的本質(zhì)特征，從而發(fā)現(xiàn)了相交直線的本質(zhì)所在，為探究帶來了方便.同樣，正是順應(yīng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，充分暴露他們對(duì)問題的思考過程，才會(huì)自然生成“切西瓜”的模型問題，進(jìn)一步拓展了學(xué)生的思維，解決了“一類”問題.特別是生5的回答“第3條直線只要和它們都相交，多出來3個(gè)部分，所以有7個(gè)部分”，說明他們真的會(huì)“看”圖了，水到渠成的得出n條直線最多把平面分成幾部分，在解決問題的過程中領(lǐng)悟到問題的本質(zhì).

三、教學(xué)感悟

課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷發(fā)展的過程，具有靈活的生成性和不可預(yù)測性，變化的課堂充滿不確定性.教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑、大膽嘗試，要用欣賞的眼光和贊賞的態(tài)度，鼓勵(lì)提出疑問的學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作驗(yàn)證，讓學(xué)生充分交流，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作的能力和勇于探究的能力.教師要擁有一雙“慧眼”，學(xué)會(huì)敏銳捕捉課堂情境中閃現(xiàn)的思維靈感和稍縱即逝的教育契機(jī).綜觀本節(jié)課教學(xué)，有以下四點(diǎn)感悟.

1.課堂教學(xué)中，教師在做什么

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，教師的地位與角色是由學(xué)生決定的，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師不應(yīng)該把教學(xué)當(dāng)成展示自我才華的機(jī)會(huì)，使整個(gè)教學(xué)過程充滿了嚴(yán)謹(jǐn)、抽象的數(shù)學(xué)概念，工整規(guī)范的書寫格式，環(huán)環(huán)相扣的邏輯論證，令人眼花潦亂的奇思妙解.教師的課堂教學(xué)應(yīng)該是一個(gè)能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，展示其才華的舞臺(tái).教師的重要職責(zé)就是創(chuàng)設(shè)寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境，利于學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)的理解，因此我們可以選取一些合適的學(xué)習(xí)素材、設(shè)計(jì)一些有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，去組織數(shù)學(xué)教學(xué)，給學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)他們?cè)谧灾魈剿?、合作交流的過程中理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).教師在教學(xué)中不是一味地講解、示范或做自我解釋，而應(yīng)當(dāng)更多地在學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，傾聽、了解他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解與感受.如果本課中不傾聽生3的發(fā)言，怎么會(huì)收到如此效果？恐怕學(xué)生的思維也只會(huì)停留在教師設(shè)置的層面，更談不上促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí).細(xì)想之下，的確如此：對(duì)頂角的本質(zhì)特征是什么？兩條直線相交于一點(diǎn)構(gòu)成兩組對(duì)頂角，抓住了交點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)頂角組數(shù)也就明晰了.n條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，可將這個(gè)交點(diǎn)“放大”，轉(zhuǎn)化成n條直線兩兩相交時(shí)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)，問題就明確了.

2.該出手時(shí)就出手

教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者.課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該提供合適的問題，促使學(xué)生進(jìn)行有價(jià)值的數(shù)學(xué)探究活動(dòng).教師的作用應(yīng)該是發(fā)起并組織學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，并且要能嫻熟地運(yùn)用它來促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，在學(xué)生需要的時(shí)候給予恰當(dāng)?shù)膸椭?，該出手時(shí)就出手，能根據(jù)課堂現(xiàn)狀及時(shí)調(diào)整教學(xué)進(jìn)程，使教學(xué)活動(dòng)對(duì)每位學(xué)生都有幫助.通過本節(jié)課，筆者意識(shí)到，教師在做出教學(xué)決策（行為）方面的實(shí)際“自由度”，是在實(shí)踐中有效體現(xiàn)自我價(jià)值的前提.

3.教師的探究應(yīng)該走在學(xué)生前面

我們都知道，課堂教學(xué)是動(dòng)態(tài)生成的，我們的教學(xué)又是預(yù)設(shè)的，當(dāng)預(yù)設(shè)與動(dòng)態(tài)生成發(fā)生碰撞時(shí)如何處理？是回避，還是按照預(yù)設(shè)進(jìn)行教學(xué)？這就需要教師在備課時(shí)必須對(duì)每個(gè)問題有清醒的認(rèn)識(shí)，并做深層次的思考，以便當(dāng)學(xué)生站在知識(shí)的十字路口時(shí)，能夠及時(shí)引導(dǎo)他們做出正確選擇.其實(shí)在筆者備課時(shí)也想過本例中最后的結(jié)果n(n-1)與前面研究過的n條直線兩兩相交時(shí)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)n(n-1)有一點(diǎn)相似，但并沒有進(jìn)一步探究下去.因此，本節(jié)課給筆者最大的體會(huì)就是備課時(shí)應(yīng)做深層次思考，認(rèn)真分析每個(gè)環(huán)節(jié)和問題.要做到這一點(diǎn)，就要求教師的探究應(yīng)該走在學(xué)生前面，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.捕捉契機(jī)，有效利用生成資源

每位學(xué)生都是鮮活的個(gè)體，都帶著自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、思考和興趣來參與課堂活動(dòng)，對(duì)同一個(gè)問題有著不同的思考.在課堂教學(xué)中，學(xué)生的各種信息會(huì)在不經(jīng)意間傳遞給教師和同伴.這些信息，有些是教師在備課時(shí)已經(jīng)預(yù)料到的，有些卻是教師根本無法想到的.因此，教師要有足夠的教學(xué)機(jī)智，果斷進(jìn)行決策，隨時(shí)對(duì)生成的信息進(jìn)行取舍，及時(shí)捕捉生成性資源，做一個(gè)有心人，將意外點(diǎn)石成金，讓學(xué)生在不知不覺中感知、體驗(yàn)和創(chuàng)造，靈動(dòng)生成課堂教學(xué)新的生長點(diǎn).

課堂教學(xué)是師生、生生之間有效互動(dòng)的生成過程，其價(jià)值就在于每節(jié)課都是不可預(yù)設(shè)和復(fù)制的生命歷程，追求生命的意義應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的起點(diǎn)和歸宿.教師只有不斷提升自己的教學(xué)智慧，準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)情，從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)寬松的教學(xué)氛圍，深入研究課堂教學(xué)，學(xué)生才會(huì)積極地表達(dá)他們對(duì)問題的思考和想法，使教學(xué)進(jìn)入靈動(dòng)生成的境界.