陳 巖，李明月，曲家杰

（沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 110870）

0 引言

自美國學(xué)者Saaty[1]提出層次分析法以來，群決策過程中專家的權(quán)重以及專家的決策水平就成為了決策研究領(lǐng)域的一個(gè)研究重點(diǎn)。群決策逆判方法（或逆判問題）就是評(píng)判群決策過程中各個(gè)決策專家的判斷水平問題。關(guān)于群決策逆判問題，劉萬里[2,3]采取方差分析以及相似關(guān)系、模糊傳遞閉包方法，給出群決策過程中AHP判斷矩陣的逆判問題的分析方法。陳巖等[4,5]則通過改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)分析法解決了基于模糊互補(bǔ)判斷矩陣和語言信息判斷矩陣群決策逆判問題。針對(duì)基于模糊互補(bǔ)信息的群決策逆判方法，陳俠等[6]利用相對(duì)偏差給出了一種改進(jìn)方法。此外，針對(duì)基于直覺模糊判斷矩陣的群決策逆判問題，鞏在武等[7]等利用相關(guān)度給出了分析方法。針對(duì)區(qū)間直覺模糊判斷矩陣的群決策逆判問題，夏梅梅等[8]給出了基于相似度的分析方法。陳巖等[9]針對(duì)直覺模糊決策矩陣信息給出了基于相似度量的群決策逆判方法。

近年來，有關(guān)區(qū)間數(shù)不確定信息的排序以及群決策一致性問題研究取得了一些重要研究進(jìn)展，而基于區(qū)間數(shù)不確定信息判斷矩陣的群決策逆判問題研究工作所見甚少。本文首先將區(qū)間數(shù)的不確定偏好信息轉(zhuǎn)換為互反判斷矩陣，進(jìn)一步利用方差度量分析方法對(duì)專家的評(píng)判水平進(jìn)行判斷、排序以及分類。最后用一個(gè)算例說明了這種方法的實(shí)用性和有效性。

1 基本概念和定義

為敘述方便，記N={1，2，…，n}，M={1，2，…，m}。設(shè)在群決策問題中決策方案集為X={x1，x2，…，xn}(n≥2)，xi為第i個(gè)決策方案；專家集為E={e1，e2，…，em}(m≥2)，ek為第k位決策者。以下給出有關(guān)概念的簡單描述。，其中元素表示方案xi對(duì)方案xj的相對(duì)重要程度，矩陣Ak滿足：＞0 ，

定義1[1]：設(shè)決策者ek針對(duì)方案集X給出了一個(gè)兩兩方案比較判斷矩陣為，?i，j∈N，稱為互反判斷矩陣。

定義2：設(shè)R為實(shí)數(shù)集，稱閉區(qū)間[aL，aU]為區(qū)間數(shù)，用aˉ表示。其中aL、aU∈R，aL≤aU，分別為區(qū)間數(shù)的左、右端點(diǎn)。特別的，若 0＜aL≤aU，則稱閉區(qū)間[aL，aU]為正區(qū)間數(shù)。

定義3：設(shè)決策者ek針對(duì)方案集X給出的區(qū)間數(shù)評(píng)價(jià)向量為其中和為實(shí)數(shù)型數(shù)值，且

定義4：稱直積X×X上的一個(gè)模糊子集P：X×X→為X中的模糊關(guān)系。

為敘述方便，設(shè)pij=up(xi，xj)，pij表示方案xi與方案xj的重要性程度的比較，并規(guī)定：

（1）pij=0.5，表示方案xi與方案xj重要性程度無差別；

（2）0≤pij＜0.5，表示方案xi沒有xj重要，且pij越小，方案xi越不重要；

（3）0.5＜pij≤1，表示方案xi比xj重要，且pij越大，方案xi越重要；

定義5：若比較判斷矩陣P=[pij]n×n滿足下列性質(zhì)：

（1）pii=0.5

（2）pji+pij=1，?i，j;i≠j

稱矩陣P為模糊互補(bǔ)判斷矩陣或互補(bǔ)判斷矩陣。

定義6：若模糊互補(bǔ)判斷矩陣P=[pij]n×n滿足：

pik+pkj=pij+0.5，?i，j，k

則稱矩陣P是完全一致性的或是一致性互補(bǔ)判斷矩陣。

2 區(qū)間數(shù)評(píng)價(jià)值與互反判斷矩陣的轉(zhuǎn)換

專家ek所給出的區(qū)間數(shù)評(píng)價(jià)信息向量，每個(gè)方案的評(píng)價(jià)值可以認(rèn)為是一個(gè)區(qū)間，通過區(qū)間數(shù)比較[14]將區(qū)間數(shù)評(píng)價(jià)信息轉(zhuǎn)化為兩兩比較的互反判斷矩陣評(píng)價(jià)信息形式，記為其中：

在式（1）中，表示區(qū)間數(shù)優(yōu)于區(qū)間數(shù)的可能度，即專家ek關(guān)于方案xi重要性優(yōu)于方案xj的程度的評(píng)價(jià)信息，容易證明矩陣Q為互反判斷矩陣。

3 基于區(qū)間數(shù)信息的群決策過程中專家逆判方法

3.1 正互反矩陣的特征向量的近似計(jì)算

求解正互反矩陣特征值、特征向量的和積法近似計(jì)算公式如下：

3.2 基于互反矩陣的數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析

對(duì)于特征向量W=(ω1，...，ωn)T，由其構(gòu)造的互反矩陣是完全一致的。然而在實(shí)際應(yīng)用中互反矩陣A=(aij)n×n一般不具有一致性，因此互反矩陣A的元素與的對(duì)應(yīng)元素之間關(guān)系由以下式子近似描述：

顯然，當(dāng)εij=1互反矩陣A是完全一致性的。

引理 1[1]：當(dāng)δij∈(- 1，1) 時(shí)j=1，2...，n。其中C.I.為一致性指標(biāo)。

定義 7：矩陣 ΔAk=[δkij]n×n稱為矩陣A的偏差矩陣，

引理 2：若δij～N(0 ，σ2)(1 ≤i＜j≤n)且相互獨(dú)立，則

定理1：互反矩陣A是完全一致性的充要條件是χ2=0。證明：若互反矩陣A為完全一致性的，則，偏差矩陣 ΔA為零陣，即δij=0，易得χ2=0。反之，若χ2=0，則中的各項(xiàng)均為零，即δij=0，易得，由定義互反矩陣A是完全一致的。

如果互反判斷矩陣Q為滿意一致性的，由判斷矩陣的一致性性質(zhì)，那么χ2的樣本觀察值應(yīng)當(dāng)較小。進(jìn)一步，可以視為度量決策者所做決策與一致性決策的偏離程度的統(tǒng)計(jì)量，其估計(jì)量越小，專家ek的評(píng)判水平就越高，因此，偏離度就可作為評(píng)判專家ek判斷水平的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

通過計(jì)算的極大似然估計(jì)量，可以評(píng)價(jià)群決策決策專家們的判斷水平，但群決策專家們實(shí)際評(píng)判水平差異是否顯著仍需檢驗(yàn)。

為敘述問題方便，設(shè)群決策中m位專家的方差估計(jì)量分別為，選用統(tǒng)計(jì)量，由假設(shè)檢驗(yàn)理論可得如下結(jié)論：

根據(jù)該結(jié)論，可兩兩比較方差估計(jì)值檢驗(yàn)決策專家的評(píng)判水平差異是否顯著，方法如下，作假設(shè)檢驗(yàn)：

取顯著性水平α，若估計(jì)值則認(rèn)為專家ek、ek+1處于同一檔次；若估計(jì)值F＞Fα，則認(rèn)為專家ek的評(píng)判水平比專家ek+1評(píng)判水平明顯高，即專家ek、ek+1評(píng)判水平不處在同一個(gè)檔次上。經(jīng)過兩兩比較可以將m位專家的評(píng)判水平分成若干檔次。

3.3 逆判方法

根據(jù)前面的分析，基于區(qū)間數(shù)不確定信息的群決策逆判分析方法為：

（1）根據(jù)公式（1）將區(qū)間數(shù)評(píng)價(jià)值轉(zhuǎn)換為互反判斷矩陣；

（2）計(jì)算 ΔAk，k=1，2，…，m；

（4）對(duì)專家評(píng)價(jià)水平進(jìn)行排序。越小，相應(yīng)的評(píng)價(jià)水平越高；

4 算例

現(xiàn)設(shè)有六位專家 {e1，e2，e3，e4，e5，e6} 對(duì)四個(gè)方案其進(jìn)行評(píng)判。其評(píng)價(jià)值以區(qū)間數(shù)形式表示，如表1所示。

表1 區(qū)間數(shù)

步驟1：由公式（1）將區(qū)間數(shù)評(píng)價(jià)信息轉(zhuǎn)化為互反判斷矩陣：

步驟2：由公式（2）用和積法求互反判斷矩陣最大特征值、特征向量：

步驟3：計(jì)算偏差

步驟4：比較分類

n=4，取臨界值α=0.05=F0.05(6，6)=4.28。

由此可得e2評(píng)判水平最高，e5次之，e4評(píng)判水平最低，分類如下：(e2，e5，e6)，(e3)，(e1，e4)。

5 結(jié)論

針對(duì)基于區(qū)間數(shù)不確定信息的群決策逆判方法，本文通過方差估計(jì)量、假設(shè)檢驗(yàn)方法給出了逆判問題分析方法。最后通過算例顯示了該分析方法的有效性和實(shí)用性。該統(tǒng)計(jì)分析方法操作簡單、易于掌握，為逆判問題進(jìn)一步深入研究提供了一種有效的工具。