宋建輝

(福建省福州格致中學(xué) 350001)

1 引言

統(tǒng)計與概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，《2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明(理科)》對統(tǒng)計與概率內(nèi)容的要求是，高考主要考查隨機(jī)抽樣，用樣本估計總體，變量的相關(guān)性，隨機(jī)事件的概率，古典概型，幾何概型，回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差，正態(tài)分布.考查重點(diǎn)是用樣本估計總體，古典概型，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差，應(yīng)用回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)思想方法解決簡單實(shí)際問題的能力.試題強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，以實(shí)際問題為背景，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，突出考查統(tǒng)計與概率的思想和考生的數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識.

本文將以2009年至2018年高考全國課標(biāo)卷統(tǒng)計與概率(理科)解答題為例，對其進(jìn)行一次理論與實(shí)踐的總結(jié)和分析，與大家分享試題背后的思想和試題對教學(xué)的引導(dǎo)作用，希望能給一線教師提供一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn).

2 基本情況分析

表1 2009年至2018年高考課標(biāo)卷統(tǒng)計與概率解答題統(tǒng)計

續(xù)表

由表1，統(tǒng)計與概率命題范圍主要有：用樣本估計總體，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差，正態(tài)分布，回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)，統(tǒng)計決策，并多次與函數(shù)結(jié)合在一起考查.其基本情況有如下4點(diǎn)：

①從題號來看，除了2014年Ⅰ卷和2018年Ⅰ卷外，其余均是解答題的第18或19題，屬中檔和中檔偏上的題目.但從實(shí)測數(shù)據(jù)來看，以福建省2016年和2017年公布的數(shù)據(jù)：2016年難度0.34，2017年難度0.24，由此可以看到課標(biāo)卷的統(tǒng)計概率題難點(diǎn)在于“新”.

②除了2013年Ⅰ卷和2018年Ⅰ卷外，所有題目都與統(tǒng)計圖表緊密相連，涉及頻率分布直方圖、莖葉圖、折線統(tǒng)計圖、散點(diǎn)圖，讀圖識表作圖是基本要求.

③不含空格，從統(tǒng)計的字符來看，信息量相當(dāng)大，需要很好的數(shù)學(xué)閱讀能力.

④大部分考查離散型隨機(jī)變量分布，尤其是超幾何分布與二項分布，其中2014年Ⅰ卷與2017年Ⅰ卷結(jié)合正態(tài)考查二項分布.

十年所考的19題對統(tǒng)計與概率的知識、思想、能力進(jìn)行了非常全面的考查，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，試題呈現(xiàn)出三大特點(diǎn)：

(1)背景公平，控制難度.全國卷的統(tǒng)計與概率解答題主要是以考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的考查目標(biāo)而出現(xiàn)的，因此它必須以大多數(shù)考生熟悉的社會熱點(diǎn)問題為背景才能顯示公平，而且考查的難度適中.

(2)以統(tǒng)計為主，概率為輔.在命題設(shè)計中，對概率的考查基本上都是從統(tǒng)計的角度來計算概率，即概率計算是為統(tǒng)計服務(wù)的，重在強(qiáng)調(diào)對統(tǒng)計的基本思想方法及其應(yīng)用的考查，重在利用統(tǒng)計與概率思想解決實(shí)際問題.

(3)強(qiáng)調(diào)對隨機(jī)模型的建立，統(tǒng)計數(shù)據(jù)的收集、整理和處理，直至最終作出相關(guān)統(tǒng)計決策的全過程的考查.

3 試題分析

3.1 突出統(tǒng)計概率思想分析、解釋和統(tǒng)計決斷

統(tǒng)計與概率思想包含統(tǒng)計思想與概率思想兩個部分，統(tǒng)計思想是指利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)，依據(jù)統(tǒng)計問題的要求，得到統(tǒng)計結(jié)論；概率思想是通過對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察研究發(fā)現(xiàn)必然，去研究隱藏在隨機(jī)現(xiàn)象背后的統(tǒng)計規(guī)律，進(jìn)而理解隨機(jī)現(xiàn)象.

例1(2018全國1卷理20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0；

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

(2)(i)剩余180件產(chǎn)品中恰有Y件是不合格品服從二項分布B(180,0.1)，所以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和X=25Y+40，則EX=E(25Y+40)=490.

(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元，由于EX>400，故應(yīng)該對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).

本題以統(tǒng)計思想為引導(dǎo)，從統(tǒng)計的角度求得概率，讓概率為統(tǒng)計服務(wù)，考查樣本估計總體的思想，考查統(tǒng)計思維.課標(biāo)卷的統(tǒng)計概率解答題尤其突出統(tǒng)計概率思想分析問題、解釋問題和統(tǒng)計推斷，充分體現(xiàn)了高考的考查重點(diǎn)是利用統(tǒng)計與概率思想解決實(shí)際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性價值.十年高考題中具有“統(tǒng)計決斷”特征的試題如下：

表2 統(tǒng)計決斷問題統(tǒng)計

3.2 對數(shù)據(jù)處理能力提出了較高要求

數(shù)據(jù)處理能力是指會收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，能從數(shù)據(jù)中提取對研究問題有用的信息，并做出合理判斷.數(shù)據(jù)處理能力主要是針對研究對象的特殊性，選擇合理的收集數(shù)據(jù)的方法，根據(jù)問題的具體情況，選取合適的統(tǒng)計方法整理數(shù)據(jù)，并構(gòu)建模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論.數(shù)據(jù)處理能力要求學(xué)生能理解問題所提供的文字、數(shù)字、圖形、圖表等信息，并能從中提取有關(guān)信息，對它們進(jìn)行分析和處理.能對有關(guān)的數(shù)據(jù)和圖形進(jìn)行統(tǒng)計和分析，應(yīng)用統(tǒng)計或統(tǒng)計案例中的方法解決實(shí)際問題.

例2(2017全國1卷理19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2)．

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．

(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

簡解(1)由正態(tài)分布知一個零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0026，再由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型可知故X服從二項分布B(16,0.0026)，從而P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416=0.0408，EX=16×0.0026=0.416.

(2)(ⅰ)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，零件尺寸服從正態(tài)分布，那么零件在(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率只有0.0026.抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.這樣小概率事件在實(shí)際中幾乎不會發(fā)生.一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這個事件不是小概率事件，即可推斷零件尺寸不服從正態(tài)分布，也就是說生產(chǎn)狀態(tài)不正常，即這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.

本題充滿了創(chuàng)新性，數(shù)據(jù)處理問題是該題的另一個亮點(diǎn)，從大量數(shù)據(jù)中對研究問題提取出有用的信息，構(gòu)建“隨機(jī)抽樣一收集數(shù)據(jù)一整理、分析數(shù)據(jù)一提取信息一用信息去說明問題”的框架.在統(tǒng)計問題中，數(shù)據(jù)的獲得是至關(guān)重要的.此題用給出的數(shù)據(jù)，靈活的考查了相關(guān)知識，尤其第(ⅱ)小題，在原有16個數(shù)據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差考查去掉一個數(shù)后的平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，用數(shù)據(jù)說話，也是每年高考概率與統(tǒng)計試題之中的有效考查方式.

課標(biāo)卷的統(tǒng)計與概率解答題分別以“頻率分布直方圖”、“莖葉圖”、“折線統(tǒng)計圖”、“統(tǒng)計表”和“文字語言”不同方式呈現(xiàn)對數(shù)據(jù)處理能力的考查，考查的知識點(diǎn)也各不相同，但從考查的“數(shù)據(jù)處理能力”來看，思路一直沒有改變，且不斷加強(qiáng).無論是哪種方式呈現(xiàn)，數(shù)據(jù)都是含有信息的，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)選擇不同的計算方式以及對公式或數(shù)據(jù)進(jìn)行變形和對參考數(shù)據(jù)的解讀，這些都是最基本的，所以與數(shù)據(jù)處理能力相伴而生的是對數(shù)據(jù)的解讀和對數(shù)據(jù)或公式的變形應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

3.3 作圖讀圖識圖提到了非常重要的位置

從表1的統(tǒng)計來看，所有試題都與統(tǒng)計圖表緊密相連，突出考查“讀圖識圖”的應(yīng)用意識和能力，另外統(tǒng)計與概率中有大量的數(shù)據(jù)與圖形相關(guān)，要能夠識圖處理數(shù)據(jù).主要類型如下表所示：

表3 統(tǒng)計圖類型統(tǒng)計

例3(2018全國2卷理18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖．

(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．

(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

(ⅱ)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.

本題背景源于社會生活的實(shí)際，要求考生讀懂該統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中獲得相關(guān)的信息，問題的設(shè)置很人性化，通俗易懂，有利于考生分析、解決問題.本題注重對數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的考查，在引導(dǎo)中學(xué)加強(qiáng)“數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和應(yīng)用意識”的教育培養(yǎng)方面具有很好的引導(dǎo)作用，堪稱“讀圖識圖”的典范.

3.4 從統(tǒng)計的角度計算概率

概率計算問題，從課標(biāo)卷來看，既注重計算概率的基本根據(jù)計數(shù)原理的應(yīng)用，更注重從統(tǒng)計的觀點(diǎn)來計算概率，尤其在統(tǒng)計與概率的解答題中體現(xiàn)的淋漓盡致，是新課標(biāo)思想的極致體現(xiàn).

3.5 注重綜合考查，關(guān)注知識交匯

考試大綱在考查要求上開門見山地強(qiáng)調(diào)了知識交匯，與函數(shù)相結(jié)合考查是課標(biāo)卷的統(tǒng)計與概率解答題又一特色之一，試題的設(shè)計注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，從學(xué)科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，將交匯的特色突出地彰顯.

表5 與函數(shù)結(jié)合統(tǒng)計

4 結(jié)語

隨著人們對統(tǒng)計在決策中的作用的認(rèn)識的深入，課標(biāo)卷中加大了對統(tǒng)計內(nèi)容考查的力度.課標(biāo)卷統(tǒng)計與概率的命題，從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體高度和思維能力的角度出發(fā)，將知識、能力與素養(yǎng)融為一體，全面考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)，試題注重了數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，突出了知識的基礎(chǔ)性和綜合性，以知識為主體，順應(yīng)時代需求，在知識交匯處設(shè)計試題，使對統(tǒng)計概率的基礎(chǔ)知識的考查達(dá)到了必要的深度和廣度，以此來推動概率統(tǒng)計思想在中學(xué)教學(xué)中的滲透和發(fā)展.

本文以2009年至2018年高考全國課標(biāo)卷理科為例，把十年課標(biāo)卷的統(tǒng)計與概率內(nèi)容進(jìn)行了一次較為系統(tǒng)的總結(jié)與分析，詳細(xì)闡述了近幾年統(tǒng)計與概率解答題的探索與改革方向，以及試題背后蘊(yùn)含的統(tǒng)計思想，以期讓一線教師更加了解試題的設(shè)計初衷，為更好地進(jìn)行統(tǒng)計與概率的教與學(xué)提供了一個參考框架.本人水平有限，如有不當(dāng)之處請批評指正.