2018年7月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

(浙江省寧波市甬江職高 邵劍波 315016)

解先給出以下兩個結(jié)論:

結(jié)論1: 當(dāng)n≥2時,0

結(jié)論1的證明:用數(shù)學(xué)歸納法.

(1)當(dāng)n=2時,a2=ln(e-1),

故有0

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論1成立,

即0

那么當(dāng)n=k+1時,

ak+1-ak=ln(eak-ak)-lneak

故ak+1

由不等式ex>1+x(x>0)得

ak+1=ln(eak-ak)

>ln(1+ak-ak)=0,

這樣0

由(1)(2)知,結(jié)論1成立.

f(0)=0,f(1)=e-2.75<0,

由不等式ln(1+x)0)及結(jié)論2得

an+1=ln[1+(ean-1-an)]

2432設(shè)△ABC的三邊長為a,b,c,對應(yīng)的旁切圓半徑分別為ra,rb,rc,則

(天津水運(yùn)高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

證明為書寫簡便,令∑表示三元循環(huán)和,且設(shè)待證不等式左右之差為M,

故命題成立.

2433如圖，I是△ABC的內(nèi)心，AI，BI，CI分別交外接圓于A1，B1，C1，R，r分別為△ABC外接圓與內(nèi)切圓半徑，求證：

(Ⅰ)IA+IB+IC≤IA1+IB1+IC1

(1)

(Ⅱ) 6r≤IA+IB+IC≤3R

(2)

(江西省九江市德安磨溪中學(xué) 胡文生 332000)

證明如下圖，連接BA1，A1C，則BA1=A1C，

在△BA1C中，由正弦定理得

過點(diǎn)I分別作三邊的垂線，垂足分別為D、E、F，

則ID=IE=IF=r, 且

故(1)式等價于

上式又等價于

(3)

和

=2x(y-x)+1-2[y2+x2-1+2(1-2x2)xy]

=8x3y-4x2-2xy-2y2+3

=(1-4x2)(1-2xy)+2(1-y2)

(4)

不妨設(shè)A≥B≥C≥0，

所以1-4x2≥0， 1-2xy≥0， 1-y2≥0，

從而 (4)≥0，即(3)式得證，也就是(1)式得證.

另一方面，由(1)式可得

2(IA+IB+IC)

≤(IA1+IA)+(IB1+IB)+(IC1+IC)

=AA1+BB1+CC1≤2R+2R+2R=6R，

所以IA+IB+IC≤3R.

又由艾爾多斯—莫迪爾不等式得

IA+IB+IC≥2(r+r+r)=6r，

所以 6r≤IA+IB+IC≤3R，

即(2)式得證.當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(1)，(2)兩式等號成立.

2434設(shè)正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=3，求證：

(1)

其中“∏”表示輪換對稱積

(四川成都金牛西林巷18號晨曦數(shù)學(xué)工作室宿曉陽610031)

證明由條件易知(1)式等價于

(2)

由對稱性不妨設(shè)0

則b+c-a>0，c+a-b>0.

于是當(dāng)a+b-c≤0時，(1)式顯然成立.

當(dāng)a+b-c>0時，則易知

(3)

事實(shí)上，(3)式等價于

4a2bc≥(b+c)2(c+a-b)(a+b-c)

?(a+b+c)(b+c-a)(b-c)2≥0，

此式顯然成立.故(3)式成立.

同理

三式相乘并整理，即得(2)式.

綜上所述(2)式得證.故(1)式成立.

2435設(shè)A，B，C為△ABC的內(nèi)角，則

(陜西延安育英中學(xué) 尚生陳 716000)

2018年8月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(安徽省太和縣第二小學(xué) 任迪慧 隨禮敏 236630)

(北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 張留杰 100020)

2438在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A,B,C所對的三邊長分別為a,b,c，三角形面積為Δ，

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

2439銳角三角形ABC各邊AB，AC和BC分別被延長到點(diǎn)D，E，F(xiàn)，△ADE，△BDF和△CEF的外心分別為O1，O2，O3，如果∠DCA=90°，∠EFC=∠BAC，證明：△O1O2O3∽△ABC.

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

2440令T={9k|k∈Z,1≤k≤2018}，已知92018是1926位數(shù) ，問T中有多少個元素以9為最左邊的數(shù)字？

(湖北省谷城縣第三中學(xué) 賀斌 龔云峰 441700)