□董朋莎 □孫會來 □孫建軍 □茍向鋒

天津工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院 天津 300380

1 研究背景

雙螺桿壓縮機以結(jié)構(gòu)簡單、維護方便及適應(yīng)性強等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于氣動、制冷及石化等工業(yè)領(lǐng)域[1-2]。雙螺桿壓縮機中最核心的零部件是一對相互嚙合的螺桿轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子的設(shè)計水平和加工質(zhì)量直接決定壓縮機的性能水平[3]。

螺桿轉(zhuǎn)子的設(shè)計分為型線設(shè)計和螺旋線設(shè)計，型線設(shè)計分為正向設(shè)計和反向設(shè)計兩種[4-6]。型線的正向設(shè)計理論較為成熟，是目前廣泛應(yīng)用的一種方法。當(dāng)前國內(nèi)外學(xué)者對于變螺距螺桿轉(zhuǎn)子的研究多集中在單頭螺桿轉(zhuǎn)子，主要應(yīng)用于螺桿真空泵[7-8]，而對于雙螺桿壓縮機中多頭變螺距螺桿轉(zhuǎn)子的研究則較少。

筆者介紹多頭變螺距螺桿轉(zhuǎn)子型線和螺旋線的設(shè)計過程，最終得到陰陽轉(zhuǎn)子的精確數(shù)學(xué)模型，為基于離散點的變螺距螺桿轉(zhuǎn)子加工刀具設(shè)計及加工方法的制訂奠定了理論基礎(chǔ)，在變螺距螺桿轉(zhuǎn)子的實際生產(chǎn)和應(yīng)用方面具有現(xiàn)實意義。

2 型線設(shè)計

雙螺桿壓縮機的轉(zhuǎn)子通常為多頭型線，由多段組成齒曲線組合而成。筆者基于轉(zhuǎn)子型線的正向設(shè)計理論，預(yù)先定義陰轉(zhuǎn)子的齒曲線組成形式，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和包絡(luò)條件得到陽轉(zhuǎn)子型線的對應(yīng)各段組成齒曲線的參數(shù)方程[9]。

2.1 坐標(biāo)系

為了用數(shù)學(xué)方程描述陰陽轉(zhuǎn)子型線中的各段組成齒曲線，建立如圖1所示四個坐標(biāo)系：陽轉(zhuǎn)子靜坐標(biāo)系X1O1Y1、陰轉(zhuǎn)子靜坐標(biāo)系X2O2Y2、陽轉(zhuǎn)子動坐標(biāo)系x1O1y1、陰轉(zhuǎn)子動坐標(biāo)系x2O2y2。

圖1 坐標(biāo)系示意圖

由于雙螺桿壓縮機的陽陰轉(zhuǎn)子之間為定傳動比嚙合，因此其傳動比i為：

式中：z2、z1分別為陰陽轉(zhuǎn)子的齒數(shù)；n2、n1分別為陰陽轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速；φ2、φ1分別為陰陽轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角；R2b、R1b分別為陰陽轉(zhuǎn)子的節(jié)圓半徑；ω2、ω1分別為陰陽轉(zhuǎn)子的角速度；A為陰陽轉(zhuǎn)子的中心距。

根據(jù)圖1所建立的坐標(biāo)系，很容易得到陰轉(zhuǎn)子動坐標(biāo)系x2O2y2和陽轉(zhuǎn)子動坐標(biāo)系x1O1y1的坐標(biāo)變換關(guān)系[4]：

2.2 包絡(luò)條件式

設(shè)陰轉(zhuǎn)子在動坐標(biāo)系下某段組成齒曲線的參數(shù)方程為：

θ為陰轉(zhuǎn)子齒曲線的參數(shù)，稱為曲線參數(shù)。坐標(biāo)x2和y2都是參數(shù)θ的函數(shù)，而參數(shù)θ的起點θu和終點θv決定了該段組成齒曲線的起點u坐標(biāo)（x2（θu），y2（θu））和終點v坐標(biāo)（x2（θv），y2（θv））。

將該段齒曲線的參數(shù)方程代入坐標(biāo)轉(zhuǎn)換式（4），可以得到對應(yīng)曲線簇方程：

由包絡(luò)線和曲線簇曲線在公切點處公切線的斜率相等，可以得到包絡(luò)條件式：

φ1為陽轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角，決定了陽轉(zhuǎn)子的位置，稱為位置參數(shù)。

包絡(luò)條件式（8）的隱函數(shù)表達式為f（θ，φ1）=0，移項化簡可以得到由曲線參數(shù)θ表示的位置參數(shù)φ1函數(shù)表達式φ1=f（θ）。

2.3 端面型線

通過對新的不對稱經(jīng)典型線的分析，預(yù)先定義陰轉(zhuǎn)子型線的一段齒曲線，如圖2所示。陰轉(zhuǎn)子齒曲線的組成形式見表1。

圖2 陰轉(zhuǎn)子齒曲線

表1 陰轉(zhuǎn)子組成齒曲線

設(shè)陰轉(zhuǎn)子上某段圓弧的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），半徑為r2，則其參數(shù)方程為：

將式（9）代入坐標(biāo)轉(zhuǎn)換式（4），合并化簡可以得到對應(yīng)曲線簇的方程：

于是有：

將式（11）代入包絡(luò)條件式（8），可以得到曲線參數(shù)θ和位置參數(shù)φ1之間的關(guān)系為：

移項化簡，得到φ1-θ形式的包絡(luò)條件式：

將上述包絡(luò)條件式（13）代入式（10），可以得到陽轉(zhuǎn)子在動坐標(biāo)系下對應(yīng)曲線段的參數(shù)方程，其參數(shù)范圍仍由式（9）中θ的參數(shù)范圍確定。

因此得到陰陽轉(zhuǎn)子的端面型線，如圖3所示。

3 螺旋線設(shè)計

圖3 轉(zhuǎn)子端面型線

為了提高壓縮機的壓縮性能，陰陽螺桿轉(zhuǎn)子采用三段式設(shè)計。吸氣端采用大螺距設(shè)計，以提高吸氣能力。排氣端采用小螺距設(shè)計，以保證空氣的壓縮比，而中間過渡部分則采用漸變式螺距設(shè)計[10]?？紤]到變螺距螺桿轉(zhuǎn)子的加工難度，三個部分連接的曲面要求平滑過渡。

端面型線的軸向引導(dǎo)線是圓柱螺旋線，其參數(shù)方程可以表示為：

式中：R為圓柱螺旋線半徑；τ為螺旋線的纏繞角度；Pn（τ）為圓柱螺旋線軸向參數(shù)方程，其導(dǎo)數(shù)P′n（τ）為螺距變化的參數(shù)方程。

考慮雙螺桿壓縮機的相關(guān)性能指標(biāo)和簡化計算，吸氣端和排氣端為等螺距設(shè)計，即圓柱螺旋線軸向參數(shù)方程P1（τ）和P3（τ）的螺距曲線為線性變化。

式中：p為排氣端的螺距，是變螺距計算的參考值；c為吸氣端的螺距因子，即螺桿內(nèi)部空氣體積的壓縮比。

轉(zhuǎn)子吸氣端和排氣端的螺旋線軸向參數(shù)方程為：

式中：m為表示中間過渡部分軸向長度的參數(shù)，即mp為中間過渡部分的軸向長度。

為了使螺距連續(xù)變化，得到平滑過渡的連接曲面，三段螺旋線必須滿足如下條件：

在（τ1，P1（τ1））和（τ2，P3（τ2））兩點處，根據(jù)二節(jié)點帶有二階導(dǎo)數(shù)約束條件的拉格朗日型埃爾米特插值多項式理論[11]，設(shè)一個函數(shù)f（τ），τ1和τ2為函數(shù)定義域上的兩點，且 τ1＜τ2，有：

聯(lián)立式（17）和式（18），可得到Pn（τ）滿足的插值條件為：

則P2（τ）的插值多項式為：

聯(lián)立式（19）和式（20），可求得圓柱螺旋線軸向參數(shù)方程P2（τ），進一步求導(dǎo)，可得到表示螺距變化的參數(shù)方程P′2（τ）。

最終得到陰陽轉(zhuǎn)子的變螺距螺旋線，如圖4所示。

4 轉(zhuǎn)子三維數(shù)學(xué)模型

陰轉(zhuǎn)子或陽轉(zhuǎn)子端面型線的參數(shù)方程可表示為：

圖4 轉(zhuǎn)子變螺距螺旋線

轉(zhuǎn)子的端面型線繞各自的中心軸作螺旋運動，當(dāng)端面型線相對于原始位置轉(zhuǎn)過τ角時，軸線前進距離為z，則陰轉(zhuǎn)子左旋螺旋面的參數(shù)方程為：

陽轉(zhuǎn)子右旋螺旋面的參數(shù)方程為：

已知陰陽轉(zhuǎn)子端面型線和變螺距螺旋線的參數(shù)方程，根據(jù)實際所用設(shè)備和軟件的精度限制，選取合適的變量步長，編程得到一個包含陰陽轉(zhuǎn)子螺旋曲面上大量三維坐標(biāo)點的點云文件，將其導(dǎo)入Origin繪圖軟件，可以得到變螺距陰陽螺桿轉(zhuǎn)子三維數(shù)學(xué)模型，如圖5所示。

筆者所研究的陰陽轉(zhuǎn)子均屬于異型螺桿范疇，異型螺桿的加工一直是制造業(yè)中的一個難題，其表面質(zhì)量由螺桿幾何參數(shù)、刀具參數(shù)和加工參數(shù)等共同決定[12-13]。空間無瞬心包絡(luò)銑削法由于高效率、高精度等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于異型螺桿的加工。以陰轉(zhuǎn)子為例，其加工原理如圖6所示。在滿足不干涉的條件下，對螺桿的旋轉(zhuǎn)運動C、X、Y等軸進行插補運動，實現(xiàn)刀具加工螺旋槽時逐點嚙合的運動關(guān)系，加工出螺旋槽的第一個截面。C、Z兩軸插補形成刀具沿螺旋線方向的進給，然后螺桿反向旋轉(zhuǎn)，由C、X、Y軸再插補加工出螺桿另一側(cè)的第二個螺旋槽截面。循環(huán)以上步驟，即可將螺旋槽加工完畢。

圖5 轉(zhuǎn)子三維數(shù)學(xué)模型

圖6 陰轉(zhuǎn)子空間無瞬心包絡(luò)銑削法加工原理

5 結(jié)論

筆者設(shè)計了一種由圓弧及其包絡(luò)線構(gòu)成的多頭變螺距陰螺桿轉(zhuǎn)子端面型線，結(jié)合齒輪嚙合原理，推導(dǎo)出與其正確嚙合的陽螺桿轉(zhuǎn)子端面型線參數(shù)方程，陰陽轉(zhuǎn)子的端面型線均可達到G1連續(xù)。

筆者同時提出一種部分漸變式變螺距螺旋線，借助拉格朗日型埃爾米特插值理論，使螺旋線達到G2連續(xù)，從而使螺桿轉(zhuǎn)子三個部分的連接曲面平滑過渡。通過編程求解，得到了包含轉(zhuǎn)子表面三維點坐標(biāo)的點云文件，導(dǎo)入Origin軟件建立雙螺桿壓縮機多頭變螺距螺桿轉(zhuǎn)子精確的三維數(shù)學(xué)模型，從而驗證了編程求解的正確性。