楊 磊

(大連財經(jīng)學院,遼寧 大連 116000)

在初等函數(shù)中,最簡單的函數(shù)就是多項式,對于數(shù)值計算和理論分析都很方便,而用多項式近似表達復雜函數(shù)是高等數(shù)學中近似計算與理論分析的一個重要內(nèi)容,泰勒公式在數(shù)學運算中起著非常重要的作用,利用帶有余項的泰勒公式可以簡單地解決一些復雜問題。泰勒公式余項有多種類型,根據(jù)需要可以選擇不同的余項類型,主要有皮亞諾型余項、拉格朗日型余項、柯西型余項。一般處理方式是先求出余項的表達式(比如拉格朗日型余項),再證明截斷誤差的估計,但是推導余項表達式的過程較為繁雜,有一定難度。另一方面,在泰勒公式的使用中,更加有用的是截斷誤差的估計,也就是用泰勒多項式近似表示函數(shù)產(chǎn)生的誤差Rn(x)的上界,這樣的處理方式絲毫不會影響泰勒公式對于近似計算的應用價值。

下面先給出泰勒公式的截斷誤差的估計證明方法,再探討在實際物理計算中對誤差估計的應用。

1 預備知識

定理1[1-3]如果函數(shù)y=f(x)在含有x0點的開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在直至n階導數(shù),則當x∈(a,b)有

(1)

其中(1)式稱為函數(shù)f(x)在點x0處的泰勒公式,Rn(x)稱為泰勒公式的皮亞諾型余項。

定理2 如果函數(shù)y=f(x)在含有x0的開區(qū)間(a,b)內(nèi)有直至n+1階導數(shù),則當x∈(a,b)時,f(x)可以表示為Δx=x-x0的一個n次多項式與一個余項Rn(x)之和,即

(2)

特別在x0=0時,有

其中ξ介于0與x之間,它被稱為帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式。

2 泰勒公式的截斷誤差的估計證明

假定函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)存在n階導數(shù),pn(x)為函數(shù)f(x)在點x0處的n階泰勒多項式,記Rn(x)=f(x)-pn(x),稱Rn(x)為n階余項。

下面的定理在不依賴余項表達式的情況下給出截斷誤差的估計。

如此反復下去就得到

只要知道求截斷誤差的估計,不必推導拉格朗日型余項表達式。因此,上述定理關于泰勒公式中截斷誤差的估計的證明方法具有一定的參考價值。

3 泰勒公式的截斷誤差的估計在物理問題上的應用

(3)

其中m0是該物體在靜止狀態(tài)下的質(zhì)量,c是光速。這個物體的動能是K=mc2-m0c2

(4)

2) 利用泰勒公式估計當|v|<100m/s時,牛頓經(jīng)典公式誤差。

解 1)將(3)式中的m的表達式代入(4)式得到

(5)

代入(5)式得到

(6)

根據(jù)泰勒公式,當|x|≤b<1時,在x0=0處的泰勒展開式為：

例2[6]波長等于L、速度等于v的水波在穿過深度為d的水體時,滿足

3)證明 當L>10d時,近似估計式v2≈gd的誤差不超過0.014gL。

3)由v2麥克勞林展開式得到

在物理學中,為了獲得對某個公式更為深刻的認識,經(jīng)常用泰勒級數(shù)對函數(shù)進行化簡。例如在函數(shù)的泰勒級數(shù)中只保留一項、兩項或者三項,物理學常用函數(shù)的泰勒多項式近似表示函數(shù)本身。泰勒公式的誤差上界可以保證這種近似具有一定的精確度。