周 覲, 雷虎民

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710043)

0 引 言

近年來,臨近空間高超聲速飛行器的飛速發(fā)展對我國戰(zhàn)略防御以及國土防空構(gòu)成了嚴(yán)峻威脅,研究反臨近空間高超聲速目標(biāo)的先進(jìn)制導(dǎo)控制技術(shù)迫在眉睫[1-2]。

比例導(dǎo)引制導(dǎo)律形式簡單且易于彈上實(shí)現(xiàn),在現(xiàn)役防空武器系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用[3]。在未來一段時(shí)間內(nèi),比例導(dǎo)引以及在其基礎(chǔ)上發(fā)展而來的擴(kuò)展比例導(dǎo)引、偏置比例導(dǎo)引等制導(dǎo)規(guī)律仍將作為主流制導(dǎo)律以應(yīng)對臨近空間高超聲速目標(biāo)威脅。因此,許多專家學(xué)者開展了面向高速目標(biāo)攔截作戰(zhàn)的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[4-6]。現(xiàn)有文獻(xiàn)研究中基本上都是以特定的初始條件來檢驗(yàn)制導(dǎo)律的有效性,對于初始條件的設(shè)置沒有進(jìn)行深入的考慮。事實(shí)上,末制導(dǎo)階段的初始條件也是中制導(dǎo)階段的終端條件,二者依靠中末制導(dǎo)交接班緊密銜接。末制導(dǎo)初始條件的設(shè)置對于中制導(dǎo)段的彈道設(shè)計(jì)以及終端條件約束設(shè)置起著決定性作用。因此在工程設(shè)計(jì)中,彈道設(shè)計(jì)人員更加關(guān)注末制導(dǎo)初始條件以及攔截能力,并以此為基礎(chǔ)對中制導(dǎo)以及中末制導(dǎo)交接班設(shè)定條件約束。

捕獲區(qū)域是分析制導(dǎo)律攔截目標(biāo)能力的重要評判指標(biāo),其一般定義為:有效攔截目標(biāo)并滿足一定約束條件的攔截彈初始狀態(tài)集合[7]。文獻(xiàn)[8-11]對于純比例導(dǎo)引制導(dǎo)律的捕獲區(qū)進(jìn)行了深入分析,但是其推導(dǎo)過程十分復(fù)雜,并且所分析的純比例導(dǎo)引方式在現(xiàn)役武器系統(tǒng)尤其是裝備尋的導(dǎo)引頭的攔截彈上應(yīng)用較少。借助于導(dǎo)引頭測量得到的彈目相對運(yùn)動(dòng)信息,現(xiàn)役武器廣泛采用真比例制導(dǎo)律形式,因此開展真比例導(dǎo)引的捕獲區(qū)分析更具有工程針對性。文獻(xiàn)[4-6]采用蒙特卡羅仿真的方法,通過多次模擬打靶得到了真比例導(dǎo)引以及反比例導(dǎo)引制導(dǎo)律捕獲區(qū)的邊界條件,雖然具有一定的借鑒意義,但是缺乏理論分析的支撐。文獻(xiàn)[12-14]借鑒文獻(xiàn)[8-10]的研究思路,利用微分幾何的方法在改進(jìn)極坐標(biāo)系下推導(dǎo)得到了真比例導(dǎo)引捕獲區(qū)的相平面圖,但是在相平面內(nèi)分析攔截彈的狀態(tài)約束條件比較抽象,難以與實(shí)際飛行參數(shù)進(jìn)行對應(yīng)。文獻(xiàn)[15]對能量約束下的動(dòng)能攔截彈逆軌攔截攻擊區(qū)進(jìn)行了建模,基于攔截彈和目標(biāo)的機(jī)動(dòng)范圍在攻擊區(qū)中的投影推導(dǎo)得到了制導(dǎo)捕獲區(qū)與逃逸區(qū)的計(jì)算方法,但是其推導(dǎo)過程只考慮了攔截彈的能量約束以及過載約束限制,未能結(jié)合具體的導(dǎo)引規(guī)律,所以得出的捕獲區(qū)雖在攔截彈的能力范圍內(nèi),但是很難找到一種合適的制導(dǎo)律將攔截彈精確導(dǎo)引至相應(yīng)位置。

針對以上研究中存在的不足,本文對真比例導(dǎo)引反高速目標(biāo)的攔截能力進(jìn)行了理論性分析,推導(dǎo)得到了攔截彈成功攔截目標(biāo)的充分必要條件以及目標(biāo)速度前置角范圍約束,給出了攔截非機(jī)動(dòng)目標(biāo)作戰(zhàn)的靜態(tài)捕獲區(qū)以及攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)作戰(zhàn)的動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)構(gòu)成,為末制導(dǎo)初始條件的設(shè)置、中末制導(dǎo)交接班狀態(tài)約束以及中制導(dǎo)段彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一定的借鑒。

1 彈目相對運(yùn)動(dòng)與攔截條件分析

1.1 彈目相對運(yùn)動(dòng)分析

雖然臨近空間高超聲速目標(biāo)具有較高的不確定性,但是依靠中末制導(dǎo)交接班前期多傳感器探測信息支援以及合理優(yōu)化交接班時(shí)刻彈上導(dǎo)引頭的搜索方式,總能夠以較高的概率探測截獲目標(biāo)[16-17]。在轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)后,一般認(rèn)為攔截彈和目標(biāo)的速度大小保持不變[18],目標(biāo)速度超過馬赫數(shù)5,巡航速度可達(dá)馬赫數(shù)6～8[19],采用雙脈沖推力發(fā)動(dòng)機(jī)的防空導(dǎo)彈末速一般接近1 000 m/s[20-21],由于攔截彈和目標(biāo)較大的相對速度,末制導(dǎo)持續(xù)時(shí)間很短,所以在末制導(dǎo)階段二者所受到的重力影響可以近似忽略[22]。為克服攔截彈的氣動(dòng)舵面在臨近空間稀薄大氣中操縱效率低的缺陷,加快指令響應(yīng)速度,臨近空間防御攔截彈普遍采用直接力控制或者直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制[23-24],而且直接力的周期T很小,對制導(dǎo)指令的響應(yīng)時(shí)間小于0.1 s[25]。基于以上分析,做出如下假設(shè)條件。

假設(shè)1裝備在攔截彈上的導(dǎo)引頭最大作用距離為Rmax,如果攔截彈和目標(biāo)之間的距離小于Rmax,則認(rèn)為導(dǎo)引頭可以成功探測并捕獲目標(biāo)。

假設(shè)2在末制導(dǎo)階段,認(rèn)為攔截彈主動(dòng)尋的時(shí)間較短,目標(biāo)的速度VT和攔截彈的速度VM大小保持不變,速度比ρ=VT/VM為一個(gè)固定的常數(shù),二者的加速度aT和aM只對速度方向產(chǎn)生影響。

假設(shè)3忽略攔截彈和目標(biāo)之間過載加速度到實(shí)際控制量之間的指令延遲影響,忽略末制導(dǎo)過程中的重力影響。

在垂直平面內(nèi)攔截彈和目標(biāo)相對運(yùn)動(dòng)如圖1所示。

圖1 攔截彈和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖Fig.1 Diagram of the relative motion between the interceptor and target

圖1中XOY表示地面慣性坐標(biāo)系,M和T分別表示攔截彈和目標(biāo),二者之間的相對距離為R,攔截彈和目標(biāo)之間的連線稱為視線,視線與X軸之間的夾角為視線角q。θM和θT分別為攔截彈和目標(biāo)的彈道傾角,γ和η分別表示攔截彈和目標(biāo)的速度矢量與視線之間的夾角,稱為速度前置角。

從圖1中可以得到攔截彈和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

(3)

γ=θM-q

(4)

(5)

(6)

(7)

η=q-θT

(8)

(9)

(10)

1.2 攔截條件分析

定理1忽略末制導(dǎo)階段重力加速度的影響,攔截彈成功攔截目標(biāo)的充分必要條件為

sinγ=ρsinη

(11)

式中,ρ=VT/VM>1為攔截彈和目標(biāo)的速度比。

證明將式(11)代入到式(10)中可以得到

(12)

根據(jù)式(11)可以進(jìn)一步求解得到cosγ的表達(dá)式為

(13)

將式(13)代入到式(9)中可以得到

(14)

證畢

通過式(11)可以發(fā)現(xiàn),如果攔截彈滿足攔截條件,那么

-1≤ρsinη≤1

(15)

所以為保證攔截彈成功攔截目標(biāo),必須要求目標(biāo)的速度前置角η滿足

(16)

從式(16)可以發(fā)現(xiàn),目標(biāo)速度前置角所允許的范圍與目標(biāo)和攔截彈的速度比密切相關(guān)。隨著目標(biāo)與攔截彈速度比ρ的增大,目標(biāo)所允許的速度前置角范圍逐漸變小。

2 真比例導(dǎo)引攔截能力分析

2.1 非機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截能力分析

在中末制導(dǎo)交接班結(jié)束后,攔截彈進(jìn)入末制導(dǎo)狀態(tài),如果交接班良好,攔截彈和目標(biāo)滿足攔截條件(11),并且目標(biāo)機(jī)動(dòng)性很小,那么攔截彈基本不需要任何制導(dǎo)控制指令就可以成功攔截目標(biāo);如果攔截彈和目標(biāo)不滿足條件(11),那么就需要依靠末制導(dǎo)律的作用對攔截彈狀態(tài)進(jìn)行調(diào)整,使修正后的攔截彈與目標(biāo)速度前置角滿足攔截條件(11),以確保對目標(biāo)的成功攔截。

鑒于真比例導(dǎo)引的簡單形式以及在國內(nèi)外防空武器系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用,本文主要分析真比例導(dǎo)引的攔截能力。真比例導(dǎo)引的加速度指令表達(dá)形式為

(17)

Vc=VMcosγ+VTcosη

(18)

定義1真比例導(dǎo)引的靜態(tài)捕獲區(qū)(static capture region,SCR)是在攔截彈的速度前置角γ和目標(biāo)的速度前置角η所組成的(γ,η)平面內(nèi),針對非機(jī)動(dòng)高速目標(biāo)攔截情形,只要中末制導(dǎo)交接班結(jié)束即末制導(dǎo)起始時(shí)刻,攔截彈的初始速度前置角γ0和目標(biāo)的初始速度前置角η0位于靜態(tài)捕獲區(qū)內(nèi),依靠真比例導(dǎo)引作為末制導(dǎo)律,攔截彈都能成功攔截目標(biāo)的區(qū)域。

定理2針對非機(jī)動(dòng)高速目標(biāo)攔截作戰(zhàn)而言,在認(rèn)為目標(biāo)和攔截彈的速度比ρ=VT/VM>1并且保持不變的情況下,應(yīng)用真比例導(dǎo)引得到的SCR可以表示為

SCR=(A1∩B1)∪(A2∩B2)

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

(23)

f(γ,η)=η-arcsin(sinγ/ρ)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

證明針對非機(jī)動(dòng)高速目標(biāo)攔截作戰(zhàn)情形,目標(biāo)加速度aT=0,則式(7)可以進(jìn)一步表示為

(31)

對式(8)進(jìn)行求導(dǎo),并將式(31)代入,可以得到

(32)

對于式(4)進(jìn)行求導(dǎo),并將式(3),式(17)和式(32)代入,可以得到

(33)

結(jié)合目標(biāo)速度前置角滿足的約束條件(16),認(rèn)為目標(biāo)速度前置角為小量,并且滿足,

cosη≈1

(34)

將式(34)代入到式(33)中進(jìn)行化簡,可以得到

(35)

從式(35)可以看出,在由攔截彈速度前置角γ和目標(biāo)的速度前置角η所組成的(γ,η)平面內(nèi)分析,目標(biāo)的速度前置角η的變化與攔截彈的速度前置角γ的變化表現(xiàn)為曲線(35)的形式。即,在目標(biāo)不機(jī)動(dòng)的情形下,目標(biāo)的速度前置角η由攔截彈的速度前置角γ、真比例導(dǎo)引系數(shù)N、以及目標(biāo)和攔截彈的速度比ρ決定。

進(jìn)一步分析,如果攔截彈的速度前置角變化很小,并且滿足

cosγ≈1

(36)

將式(36)代入到式(35)中,可以得到

(37)

對式(37)進(jìn)行積分,可以得到

(38)

即在應(yīng)用真比例導(dǎo)引作為末制導(dǎo)律的情況下,目標(biāo)的速度前置角η和攔截彈的速度前置角γ在(γ,η)平面內(nèi)將會表現(xiàn)為式(38)所示的斜率為1/(N(1+ρ)-1)的直線,其中γ0和η0分別為末制導(dǎo)起始時(shí)刻攔截彈速度前置角的初值以及目標(biāo)速度前置角的初值。

證畢

由于攔截彈成功攔截目標(biāo)的條件為式(11),當(dāng)攔截彈和目標(biāo)不滿足式(11)時(shí),在末制導(dǎo)律的作用下,攔截彈和目標(biāo)的相對狀態(tài)將以式(33)的變化形式,向式(11)進(jìn)行調(diào)整。如果最終收斂到式(11)則能夠成功攔截目標(biāo),如果不能收斂到式(11)則會造成攔截彈脫靶。所以臨界狀態(tài)應(yīng)為式(33)與式(11)相切的情形。

對式(11)進(jìn)行求導(dǎo),并將式(13)代入到式(33)中進(jìn)行聯(lián)立,可以得到

(39)

可以得到切點(diǎn)為式(27)～式(30)所示的表達(dá)形式,即為靜態(tài)捕獲區(qū)的邊界點(diǎn)。

圖2給出了導(dǎo)航系數(shù)N=5,目標(biāo)和攔截彈的速度比ρ=2情形下的真比例導(dǎo)引靜態(tài)捕獲區(qū)。分析圖2可以得到以下結(jié)論。

圖2 N=5,ρ=2的靜態(tài)捕獲區(qū)Fig.2 Diagram of SCR with N=5 and ρ=2

(1)結(jié)合式(16),由于目標(biāo)和攔截彈的速度比ρ=2,目標(biāo)速度前置角范圍為-30°≤η≤30°,如果目標(biāo)速度前置角超出此范圍約束,目標(biāo)將位于靜態(tài)捕獲區(qū)之外,應(yīng)用真比例導(dǎo)引將無法攔截目標(biāo)。

(2)針對非機(jī)動(dòng)高速目標(biāo)攔截作戰(zhàn)而言,如果中末制導(dǎo)交接班時(shí)攔截彈的位置保持不變,即彈目視線角保持為定值,那么攔截彈的速度前置角必須約束在一定的范圍內(nèi)才能成功攔截目標(biāo)。如圖2所示,如果目標(biāo)速度前置角為0°,那么靜態(tài)捕獲區(qū)內(nèi)攔截彈的速度前置角范圍為[-170°,170°],如果目標(biāo)速度前置角為10°,那么靜態(tài)捕獲區(qū)內(nèi)攔截彈的速度前置角范圍為[-130°,160°]。

2.2 機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截能力分析

第2.1節(jié)分析了目標(biāo)不機(jī)動(dòng)情況下的真比例導(dǎo)引靜態(tài)捕獲區(qū),在真實(shí)的攔截情形中,目標(biāo)可能會采取不同的機(jī)動(dòng)形式來規(guī)避攔截彈的攻擊,因此有必要對靜態(tài)捕獲區(qū)進(jìn)一步研究得到目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況下的動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)。

定義1真比例導(dǎo)引的動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)(dynamic capture region,DCR)是在攔截彈的速度前置角γ和目標(biāo)的速度前置角η所組成的(γ,η)平面內(nèi),針對機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截作戰(zhàn)而言,只要中末制導(dǎo)交接班結(jié)束即末制導(dǎo)起始時(shí)刻,攔截彈的初始速度前置角γ0和目標(biāo)的初始速度前置角η0位于動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)內(nèi),依靠真比例導(dǎo)引作為末制導(dǎo)律,攔截彈都能成功攔截目標(biāo)的區(qū)域。

定理3針對機(jī)動(dòng)高速目標(biāo)攔截作戰(zhàn)而言,在認(rèn)為目標(biāo)和攔截彈的速度比ρ=VT/VM>1并且保持不變的情況,目標(biāo)的最大機(jī)動(dòng)加速度為aTmax,應(yīng)用真比例導(dǎo)引得到的DCR可以表示為

DCR=(A1∩B1∩C1)∪(A2∩B2∩C2)

(40)

其中

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

證明對式(8)進(jìn)行求導(dǎo),并將式(7)代入可以得到

(47)

對式(4)進(jìn)行求導(dǎo),并將式(3)和式(47)代入可以得到

(48)

將式(34)和式(36)代入到式(48)中得到

(49)

根據(jù)微分對策相關(guān)理論[26-28],末制導(dǎo)過程中目標(biāo)的最佳機(jī)動(dòng)形式為垂直于視線方向施加最大的加速度,因此,假設(shè)目標(biāo)加速度aT始終為其最大加速度aTmax保持不變。對于式(49)兩邊進(jìn)行積分可以得到

(50)

式中,γ0和η0分別為攔截彈速度前置角的初值以及目標(biāo)速度前置角的初值;t為時(shí)間。

從式(50)可以看出,在目標(biāo)機(jī)動(dòng)的情況下,攔截彈的速度前置角γ和目標(biāo)的速度前置角η不再滿足式(38)中簡單的線性關(guān)系,而是增加了目標(biāo)機(jī)動(dòng)的影響項(xiàng)(N+Nρ-1)aTt/VT,該影響隨著末制導(dǎo)時(shí)間t的增加而逐漸變大。

根據(jù)定理1,攔截彈需要滿足條件(11)以確保對目標(biāo)的成功攔截。將式(50)與式(11)進(jìn)行聯(lián)立,可以得到

γ0-arcsin(ρsinη)=0

(51)

同樣,認(rèn)為目標(biāo)的速度前置角為小量,并滿足

(52)

將式(52)代入到式(51)中求解得到目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況下的速度前置角表達(dá)式為

(53)

根據(jù)以上分析,目標(biāo)的速度前置角的極值應(yīng)該出現(xiàn)在末制導(dǎo)結(jié)束時(shí)刻,末制導(dǎo)結(jié)束的時(shí)間tf可以估算為

(54)

從式(53)可以看出,在目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況下,目標(biāo)的速度前置角η主要受到目標(biāo)與攔截彈的速度比ρ,導(dǎo)引系數(shù)N,目標(biāo)加速度aT,末制導(dǎo)時(shí)間tf等的影響,如果認(rèn)為攔截彈的初始速度前置角為小量,那么式(53)可以進(jìn)一步簡化為

(55)

結(jié)合式(16)中目標(biāo)速度前置角的允許范圍以及式(55),可以得到中末制導(dǎo)交接班完成時(shí)刻目標(biāo)速度前置角為η0,目標(biāo)速度為VT,末制導(dǎo)時(shí)間為tf,目標(biāo)和攔截彈速度比為ρ,導(dǎo)引系數(shù)為N條件下目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度范圍

(56)

(57)

證畢

圖3給出了導(dǎo)航系數(shù)N=5,目標(biāo)和攔截彈的速度比ρ=2,目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)加速度aTmax=5g,末制導(dǎo)時(shí)間tf=22 s,目標(biāo)速度VT=3 112 m/s情形下的真比例導(dǎo)引動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)。分析圖3可以得到以下結(jié)論。

圖3 N=5,ρ=2的動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)Fig.3 Diagram of DCR with N=5 and ρ=2

(1)由于目標(biāo)的機(jī)動(dòng),應(yīng)用真比例導(dǎo)引得到的動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)相比于靜態(tài)捕獲區(qū)大大減小。在靜態(tài)捕獲區(qū)中,目標(biāo)的速度前置角允許范圍只與目標(biāo)和攔截彈的速度比ρ相關(guān),而在動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)中,目標(biāo)的速度前置角允許范圍還與目標(biāo)最大加速度aTmax,導(dǎo)引系數(shù)N,末制導(dǎo)時(shí)間tf等相關(guān)。

(2)動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)屬于靜態(tài)捕獲區(qū)中的一部分,針對機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截作戰(zhàn)而言,攔截彈的位置約束相較于非機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截情形更加嚴(yán)格。在中末制導(dǎo)交接班完成時(shí)刻,攔截彈必須處于合適的末制導(dǎo)初始位置,確保目標(biāo)的速度前置角位于動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)內(nèi)。

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文中對真比例導(dǎo)引反高速目標(biāo)攔截能力理論分析的有效性以及合理性,開展以下3種情形下的數(shù)字仿真。仿真中設(shè)定攔截彈的彈上導(dǎo)引頭最大作用距離為Rmax=100 km,攔截彈和目標(biāo)的初始參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 攔截彈和目標(biāo)初始參數(shù)設(shè)置

從表1中可以發(fā)現(xiàn),目標(biāo)和攔截彈的初始距離等于攔截彈彈上導(dǎo)引頭的最大作用距離,攔截彈順利進(jìn)入末制導(dǎo)。攔截彈在末制導(dǎo)階段采用真比例導(dǎo)引,導(dǎo)引系數(shù)為N=5。目標(biāo)和攔截彈的速度比為ρ=3 113/1 556.5=2。目標(biāo)的初始彈道傾角為-180°,目標(biāo)和攔截彈的初始視線角為-10°。

情形1仿真情形1的設(shè)置主要是為了檢驗(yàn)真比例導(dǎo)引捕獲區(qū)的有效性。在本情形中,目標(biāo)分別采取非機(jī)動(dòng),3g加速度機(jī)動(dòng)以及5g加速度機(jī)動(dòng)3種不同的運(yùn)動(dòng)方式,攔截彈1,攔截彈2和攔截彈3為攔截目標(biāo)得到的相應(yīng)攔截軌跡。通過進(jìn)一步計(jì)算可以得到,仿真情形1中的目標(biāo)初始速度前置角為10°,攔截彈初始速度前置角為-70°,根據(jù)式(16)和式(57)可以得到,當(dāng)目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí),目標(biāo)速度前置角范圍為η∈[-30°,30°],當(dāng)目標(biāo)采取3g機(jī)動(dòng)時(shí),目標(biāo)速度前置角范圍為η∈[-13.5°,13.5°],當(dāng)目標(biāo)采取5g機(jī)動(dòng)時(shí),目標(biāo)速度前置角范圍為η∈[-5.77°,5.77°]。因此,仿真情形1的初始條件設(shè)置位于目標(biāo)非機(jī)動(dòng)SCR和3g機(jī)動(dòng)的DCR內(nèi),而位于目標(biāo)5g機(jī)動(dòng)DCR外。仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。

圖4 情形1中攔截彈和目標(biāo)軌跡Fig.4 Curves of the interceptor and target trajectories in scenario one

圖5 情形1中攔截彈過載Fig.5 Curves of the interceptor overloaded in scenario one

圖6 情形1中攔截彈和目標(biāo)速度前置角變化曲線Fig.6 Curves of the interceptor and target velocity heading angels in scenario one

圖4給出了情形1中攔截彈和目標(biāo)的軌跡曲線,從圖中可以看到,在目標(biāo)不機(jī)動(dòng)以及3g機(jī)動(dòng)情況下,攔截彈能夠利用真比例導(dǎo)引律成功攔截目標(biāo),彈道比較平滑。從圖5給出的攔截彈過載曲線也可以看出,攔截彈1和攔截彈2的過載比較小,基本在-10～20g范圍內(nèi)。在目標(biāo)5g機(jī)動(dòng)情況下,攔截彈3脫靶,從圖5中也可以發(fā)現(xiàn),攔截彈的過載在末端時(shí)刻發(fā)散,超過了一般攔截彈的可用過載范圍。圖6給出了攔截彈和目標(biāo)速度前置角變化曲線,從圖中可以發(fā)現(xiàn),在目標(biāo)不機(jī)動(dòng)情況下,目標(biāo)的速度前置角和攔截彈的速度前置角近似呈現(xiàn)式(38)所示的線性關(guān)系,在SCR中從初始的(70,10)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到攔截曲線上的(10.50,5.23)點(diǎn),滿足了攔截條件(11)所以成功攔截目標(biāo)。在目標(biāo)3g機(jī)動(dòng)情況下,目標(biāo)的速度前置角由于受到自身加速度的影響,與攔截彈的速度前置角不再呈現(xiàn)線性關(guān)系,在DCR中由(70,10)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到攔截曲線上的(44.58,20.55)點(diǎn),滿足了攔截條件(11)成功攔截目標(biāo)。在目標(biāo)5g機(jī)動(dòng)情況下,由于目標(biāo)和攔截彈的初始條件在DCR之外,所以目標(biāo)的速度前置角最終超過了式(16)的約束,目標(biāo)和攔截彈的速度前置角從(70,10)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到DCR外的(145.15,65.93)點(diǎn),未能滿足攔截條件(11)所以脫靶。

情形2仿真情形1驗(yàn)證了真比例導(dǎo)引捕獲區(qū)的有效性,在仿真情形2中,保持目標(biāo)的初始速度前置角不變,通過改變攔截彈的初始彈道傾角從-180°～180°間隔5°進(jìn)行遍歷,觀察攔截彈初始速度前置角的變化與SCR的關(guān)系。另外,為了觀察目標(biāo)和攔截彈的速度比ρ對SCR的影響,保持?jǐn)r截彈速度不變,設(shè)置目標(biāo)與攔截彈的速度比分別為ρ=2和ρ=3。仿真結(jié)果如圖7～圖9所示。

圖7 情形2中攔截彈和目標(biāo)軌跡Fig.7 Curves of the interceptor and target trajectories in scenario two

圖8 情形2中攔截彈過載Fig.8 Curves of the interceptor overloaded in scenario two

圖9 情形2中攔截彈和目標(biāo)速度前置角變化曲線Fig.9 Curves of the interceptor and target velocity heading angels in scenario two

圖7給出了情形2中攔截彈和目標(biāo)的軌跡,從圖中可以發(fā)現(xiàn),只要中末制導(dǎo)交接班條件位于真比例導(dǎo)引SCR內(nèi),應(yīng)用真比例導(dǎo)引可以成功攔截非機(jī)動(dòng)高速目標(biāo)。圖8給出了情形2中的攔截彈過載曲線,從圖中可以發(fā)現(xiàn),隨著目標(biāo)和攔截彈速度比的增大,攔截目標(biāo)所需的過載指令也將變大,這主要是因?yàn)槭?17)中二者之間相對速度和視線角速率增大直接導(dǎo)致了指令加速度的增大。圖9給出了情形2中的攔截彈和目標(biāo)速度前置角變化曲線,從圖中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)目標(biāo)和攔截彈的速度比為ρ=2時(shí),目標(biāo)的初始速度前置角范圍為η∈[-30°,30°],攔截彈的初始速度前置角范圍為γ∈[-170°,170°],當(dāng)目標(biāo)和攔截彈的速度比為ρ=3時(shí),目標(biāo)的初始速度前置角范圍為η∈[-19.47°,19.47°],攔截彈的初始速度前置角范圍為γ∈[-175°,175°],說明隨著目標(biāo)和攔截彈速度比的增大,應(yīng)用真比例導(dǎo)引得到的SCR將會減小,這也驗(yàn)證了高速目標(biāo)相比于傳統(tǒng)低速目標(biāo)來說更加難以攔截。結(jié)合該結(jié)論可以得到,在攔截作戰(zhàn)的中制導(dǎo)階段應(yīng)盡量優(yōu)化彈道,將中末制導(dǎo)交接班時(shí)刻的攔截彈速度作為一項(xiàng)優(yōu)化指標(biāo),通過降低末制導(dǎo)階段目標(biāo)和攔截彈的速度比來盡量增大末制導(dǎo)捕獲區(qū),以利于目標(biāo)的成功攔截。

情形3仿真情形2中驗(yàn)證了應(yīng)用真比例導(dǎo)引攔截非機(jī)動(dòng)高速目標(biāo)的SCR,在仿真情形3中,設(shè)置目標(biāo)的機(jī)動(dòng)過載為5g觀察真比例導(dǎo)引攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)的DCR。通過保持目標(biāo)初始速度前置角為η=0°,改變攔截彈的初始速度前置角得到的仿真曲線如圖10所示,通過保持?jǐn)r截彈的初始速度前置角為γ=0°,改變目標(biāo)的初始速度前置角得到的仿真曲線如圖11所示。

利用式(57)可以得到,當(dāng)目標(biāo)采取5g機(jī)動(dòng)時(shí),目標(biāo)速度前置角范圍為η∈[-5.77°,5.77°],因此保持目標(biāo)初始速度前置角為η=0°,改變攔截彈的初始速度前置角的情形能夠保證初始條件位于動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)內(nèi),從圖10中改變攔截彈初始速度前置角后攔截彈和目標(biāo)速度前置角變化曲線中可以看出,攔截彈針對目標(biāo)+5g機(jī)動(dòng)形式的初始速度前置角范圍為γ∈[-160°,30°],針對目標(biāo)-5g機(jī)動(dòng)形式的初始速度前置角范圍為γ∈[-30°,160°]。通過進(jìn)一步觀察可以發(fā)現(xiàn),攔截彈成功攔截目標(biāo)情況下,目標(biāo)的速度前置角都未超過式(16)的約束限制。圖11給出了通過保持?jǐn)r截彈的初始速度前置角為γ=0°,改變目標(biāo)初始速度前置角情況下目標(biāo)的速度前置角和攔截彈的速度前置角變化曲線,從圖中可以發(fā)現(xiàn),針對目標(biāo)+5機(jī)動(dòng)形式和-5g機(jī)動(dòng)形式得到的DCR邊界為η∈[-5.5°,5.5°],與式(57)中理論分析相一致,從而驗(yàn)證了DCR的合理性。

圖10 改變攔截彈初始速度前置角Fig.10 Curves with the changes of the interceptor initialvelocity heading angles

圖11 改變目標(biāo)初始速度前置角Fig.11 Curves with the changes of the target initial velocity heading angles

4 結(jié) 論

本文針對反高速目標(biāo)作戰(zhàn)場景,研究了真比例導(dǎo)引末制導(dǎo)律的攔截能力,通過分析攔截彈和目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及二者速度前置角需要滿足的約束關(guān)系,推導(dǎo)得到了攔截非機(jī)動(dòng)高速目標(biāo)的靜態(tài)捕獲區(qū)以及機(jī)動(dòng)目標(biāo)的動(dòng)態(tài)捕獲區(qū),為中末制導(dǎo)交接班的條件設(shè)置提供了理論支撐。文章得到的主要結(jié)論如下。

(1)攔截彈成功攔截目標(biāo)的充分必要條件是攔截彈的速度前置角γ、目標(biāo)的速度前置角η以及目標(biāo)和攔截彈的速度比ρ滿足關(guān)系sinγ=ρsinη。

(2)反高速目標(biāo)作戰(zhàn)中,目標(biāo)的速度前置角η必須滿足|η|≤arcsin(1/ρ),否則攔截彈不能成功攔截目標(biāo),隨著目標(biāo)和攔截彈速度比ρ的增大,目標(biāo)速度前置角允許范圍減小,因此高速目標(biāo)相比于低速目標(biāo)更加難以攔截。

(3)由于目標(biāo)的機(jī)動(dòng)特性,應(yīng)用真比例導(dǎo)引得到的動(dòng)態(tài)捕獲區(qū)要小于攔截非機(jī)動(dòng)目標(biāo)得到的靜態(tài)捕獲區(qū)。

(4)在中制導(dǎo)彈道設(shè)計(jì)階段,應(yīng)將攔截彈的速度作為一項(xiàng)優(yōu)化指標(biāo),盡量減小末制導(dǎo)過程中目標(biāo)和攔截彈的速度比ρ以利于目標(biāo)的成功攔截。