劉將輝, 李海陽

(國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院, 湖南 長沙 410073)

0 引 言

航天器由于控制系統(tǒng)失效或燃料耗盡等原因?qū)е略诳臻g自由翻滾,對(duì)在軌航天器和地面人員的安全造成嚴(yán)重威脅[1]。2009年2月10日,美國銥星公司的Iridium-33衛(wèi)星和俄羅斯失效的通信衛(wèi)星在西伯利亞上空790 km處發(fā)生碰撞而墜毀。2011年9月24日,美國一顆名為“高層大氣研究衛(wèi)星”(UARS)由于燃料耗盡在失控情況下墜落地面。如能對(duì)失效航天器進(jìn)行在軌修復(fù)、燃料加注等操作,將會(huì)避免此類事故,從而延長其壽命[2-4]。面向失控翻滾目標(biāo)的逼近是實(shí)施上述任務(wù)的基礎(chǔ)。

當(dāng)前,對(duì)失控翻滾目標(biāo)逼近問題,國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)[5-6]采用θ-D非線性最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)閉環(huán)回路控制器,該控制器綜合考慮了追蹤器和目標(biāo)器之間的相對(duì)位姿跟蹤及追蹤器的帆板撓性運(yùn)動(dòng),通過攝動(dòng)法求Hamilton Jacobi Bellman方程的近似解,求解過程涉及大量數(shù)值運(yùn)算,所得的控制器是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)。文獻(xiàn)[7]針對(duì)失控翻滾目標(biāo)的逼近問題,建立了追蹤器的參考軌跡和參考姿態(tài)模型,設(shè)計(jì)了六自由度控制的自適應(yīng)滑膜控制器。文獻(xiàn)[8-10]設(shè)計(jì)了六自由度姿軌一體化滑膜自適應(yīng)控制器,為確保輸出可控,引入了追蹤器的飽和幅值。文獻(xiàn)[11]針對(duì)空間翻滾目標(biāo)的相對(duì)位姿測(cè)量問題,提出了一種基于視覺SLAM的相對(duì)位姿估計(jì)方法?？紤]到航天器逼近的不同約束和采樣頻率,文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)了可重構(gòu)約束的動(dòng)態(tài)模型預(yù)測(cè)控制器。文獻(xiàn)[13]采用特征模型的控制方法,設(shè)計(jì)了相對(duì)位置和姿態(tài)同步控制器,搭建了系統(tǒng)仿真平臺(tái)并進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了二階非奇異終端滑膜控制器,改善了系統(tǒng)不確定性及消除了滑膜控制的抖顫性。

一些學(xué)者對(duì)傳動(dòng)相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn),提出了基于視線坐標(biāo)系的軌道動(dòng)力學(xué)模型[15],基于視線制導(dǎo),文獻(xiàn)[16]定性分析了重力差項(xiàng),給出了一種開關(guān)控制算法。

視線坐標(biāo)系下的比例導(dǎo)引律(proportional navigation, PN)是經(jīng)典的兩點(diǎn)速度導(dǎo)引法,廣泛用于導(dǎo)彈攔截領(lǐng)域,具有對(duì)目標(biāo)需求信息較少、易于實(shí)現(xiàn)且魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[17]。按照控制加速度的施加方向,比例導(dǎo)引律可以分為真比例導(dǎo)引律(true proportional navigation, TPN)和純比例導(dǎo)引律(pure proportional navigation, PPN)及其對(duì)應(yīng)的變形形式[18],前者控制加速度方向以視線方向?yàn)閰⒖?后者以追蹤器的速度方向?yàn)閰⒖?。真比例?dǎo)引律的控制加速度垂直于視線方向,在視線方向不施加控制。文獻(xiàn)[19]提出了自適應(yīng)的比例導(dǎo)引律用于航空器的近距離操作任務(wù)。文獻(xiàn)[20]提出了基于滑?？刂频募儽壤龑?dǎo)引律,用于無人追蹤航空器和合作航空器的交會(huì)。文獻(xiàn)[21-23]在視線坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,提出了視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面的概念,將三維空間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)降低到視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的二維空間運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[24]提出了一種基于零控脫靶量(zero effort miss, ZEM)的增廣比例導(dǎo)引律(augmented proportional navigation, APN),用于小行星的著陸任務(wù)。

然而,當(dāng)前的研究主要強(qiáng)調(diào)姿軌耦合控制,大多數(shù)文獻(xiàn)假設(shè)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)過于理想化。對(duì)于失控翻滾目標(biāo)而言,其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與其質(zhì)量分布有關(guān),而實(shí)際失效航天器的3個(gè)慣量主軸是各不相等的,姿態(tài)運(yùn)動(dòng)也較復(fù)雜。姿態(tài)與軌道控制解耦,只要知道了其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)特性,對(duì)失控翻滾目標(biāo)的逼近控制則更簡單易行。

基于上述研究,本文針對(duì)失控翻滾目標(biāo)的逼近控制問題,在TPN基礎(chǔ)上,引入了逼近點(diǎn)視線方向的控制,設(shè)計(jì)了可用于對(duì)失控翻滾目標(biāo)近距離逼近控制的增廣比例導(dǎo)引律控制器。首先,在追蹤器視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上建立了針對(duì)任意軌道形式三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。其次,分析了失控翻滾目標(biāo)在空間中的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)特性,采用了基于反饋線性化的增廣比例導(dǎo)引律對(duì)追蹤航天器進(jìn)行控制。最后,通過仿真分析驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的增廣比例導(dǎo)引律控制器的正確性和良好的逼近控制性能。

1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程

圖1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.1 Relative motion coordinate system

為了對(duì)翻滾目標(biāo)實(shí)施有效逼近,本文引入了逼近點(diǎn)的概念,逼近點(diǎn)即目標(biāo)體坐標(biāo)系中的固定的某點(diǎn),目標(biāo)在空間翻滾的過程中,逼近點(diǎn)隨著目標(biāo)的翻滾而一起運(yùn)動(dòng)。設(shè)逼近點(diǎn)在目標(biāo)器體坐標(biāo)系中的位置為ρ,如圖1所示。追蹤器在J2000中的位置矢量為rc,目標(biāo)器在J2000中的位置矢量為rt。逼近點(diǎn)在J2000中的位置矢量為ra,速度矢量為νa,有

ra=rt+ρ

(1)

(2)

式中,ωI為目標(biāo)器體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性系翻滾時(shí)的角速度矢量。則追蹤器相對(duì)于逼近點(diǎn)的位置矢量r為

r=ra-rc

(3)

視線方向單位矢量er為

(4)

式中,r是追蹤器和逼近點(diǎn)的相對(duì)距離；eω為視線角速度方向的單位矢量,eθ=eω×er,er、eθ和eω構(gòu)成視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系；qε為高低角;qβ為方位角。在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下建立三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程[23]

(5)

er和eθ組成視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面(instantaneous rotation plane of LOS, IRPL)；Ωs為eω(IRPL繞er)的旋轉(zhuǎn)角速度；Ωs=Ωser；eω為IRPL的法向；ωs為視線轉(zhuǎn)率,ωs=ωseω。

對(duì)式(3)求導(dǎo),可得追蹤器和逼近點(diǎn)的相對(duì)速度矢量

v=va-vc

(6)

聯(lián)立式(3)和式(4),則式(6)變?yōu)?/p>

(7)

追蹤器和逼近點(diǎn)的相對(duì)加速度可以由式(6)推導(dǎo)得到

(8)

將式(5)代入式(8),相對(duì)加速度表達(dá)式轉(zhuǎn)換為

(9)

式(9)可以改寫為如下的3個(gè)標(biāo)量子方程

(10)

式中,aa和ac分別代表逼近點(diǎn)和追蹤器的加速度;“r、θ和ω”分別代表控制加速度矢量沿“er、eθ和eω”3個(gè)方向的分量;Δf為外界干擾加速度。前兩式代表IRPL內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng),第三式代表IRPL的轉(zhuǎn)動(dòng)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以分解為IRPL內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和IRPL的轉(zhuǎn)動(dòng)。

2 失控翻滾目標(biāo)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)特性

以目標(biāo)航天器的本體坐標(biāo)系為計(jì)算坐標(biāo)系,則由矢量相對(duì)導(dǎo)數(shù)公式可得[25]:

(11)

式中,ω為目標(biāo)航天器的角速度;L為外力矩；H=I·ω,I為慣量張量。式(11)寫成分量的形式為

(12)

設(shè)三體軸為慣量主軸,當(dāng)L=0時(shí),航天器作無外力矩定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),得到無外力矩的歐拉動(dòng)力學(xué)方程:

(13)

根據(jù)動(dòng)量矩守恒有

(14)

根據(jù)動(dòng)能守恒有

(15)

將式(14)和式(15)合并可得

(16)

按313的順序旋轉(zhuǎn)得到進(jìn)動(dòng)角φ、章動(dòng)角θ和自轉(zhuǎn)角φ,則角速度ω可表示為

(17)

表示分量的形式為

(18)

(19)

(20)

將航天器角動(dòng)量H投影到主軸坐標(biāo)系OsXIYIZI中可得:

Ixωx=Hsinθsinφ

(21)

Iyωy=Hsinθcosφ

(22)

Izωz=Hcosθ

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

航天器在空間轉(zhuǎn)動(dòng)的形式取決于航天器的質(zhì)量分布。質(zhì)量分布不對(duì)稱的失控航天器在空間中作歐拉-班索運(yùn)動(dòng)。

3 APN設(shè)計(jì)

本文在傳統(tǒng)的TPN的基礎(chǔ)上加入基于反饋線性化的視線方向控制,得到APN。

(30)

式中,N為導(dǎo)航比。

(31)

式中,a0是acr的常數(shù)項(xiàng)。需要說明的是,式(31)適用于視線方向目標(biāo)機(jī)動(dòng)過載不大的情況。如果視線方向的機(jī)動(dòng)過載很大,則不再適用。對(duì)式(31)求解得

(32)

(33)

對(duì)方程(33)求解,可得追蹤器對(duì)逼近點(diǎn)的接近時(shí)間:

(34)

追蹤器對(duì)逼近點(diǎn)的接近速度

(35)

將式(32)和式(35)代入式(30)可得

(36)

式(36)可以轉(zhuǎn)換為如下形式:

(37)

積分式(37),可得ωs:

(38)

由式(38)可以得出,當(dāng)追蹤器接近逼近點(diǎn)時(shí),為保證追蹤器相對(duì)逼近點(diǎn)的視線轉(zhuǎn)率收斂,N需滿足N>2。追蹤器控制加速度大小為

(39)

4 仿真分析

仿真結(jié)果如圖2～圖9所示。圖2為失控翻滾目標(biāo)體坐標(biāo)系的角速度變化曲線,角速度呈周期性變化,Z方向的角速度變化較小,其余兩方向的角速度變化較大。

圖2 角速度隨時(shí)間變化Fig.2 Angular velocity versus time

圖3是追蹤器相對(duì)于逼近點(diǎn)的三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡,將慣性系平移到逼近點(diǎn),作為參考系。由于目標(biāo)器在空間中做自由翻滾運(yùn)動(dòng),故追蹤器的最后逼近段軌跡不同于交會(huì)對(duì)接中常見的準(zhǔn)直線型的三維相對(duì)軌跡。追蹤器先繞到目標(biāo)器體坐標(biāo)系的某一特定位置,然后對(duì)逼近點(diǎn)進(jìn)行緩慢的接近,保證了逼近過程的安全性。圖4是逼近過程中追蹤器和逼近點(diǎn)相對(duì)距離隨時(shí)間的變化規(guī)律。追蹤器逐漸接近逼近點(diǎn),兩者相對(duì)距離逐漸減小到零,總的消耗時(shí)間為295 s。

圖5為IRPL轉(zhuǎn)率曲線,圖6為視線轉(zhuǎn)率曲線。整個(gè)逼近過程中,IRPL轉(zhuǎn)率極小,近似于0。視線轉(zhuǎn)率從初始的0.038 8 rad/s,逐漸減到0.000 5 rad/s,之后在這個(gè)值范圍內(nèi)保持穩(wěn)定,末端時(shí)刻,略微增大了。

圖3 追蹤器相對(duì)于逼近點(diǎn)的三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.3 Three dimensional trajectory of the chaser relative to the approximation point

圖4 追蹤器和逼近點(diǎn)的相對(duì)距離Fig.4 Relative distance between the chaser and the approximation point

圖5 IRPL轉(zhuǎn)率曲線Fig.5 Transfer rate curve of IRPL

圖6 視線轉(zhuǎn)率曲線Fig.6 Transfer rate curve of line of sight

圖7為IRPL內(nèi)追蹤器與逼近點(diǎn)間相對(duì)速度的變化曲線,垂直逼近點(diǎn)視線方向的速度呈減小的趨勢(shì),最后趨向于零。沿逼近點(diǎn)視線方向的速度先減小,然后略微增大,最后穩(wěn)定在一個(gè)極小的值,約為0.32 m/s。圖8為IRPL面內(nèi)視線方向和垂直視線方向的控制加速度變化曲線,控制加速度逐漸減小。視線方向控制加速度由初始的0.128,逐漸減小,穩(wěn)定在0.000 04 m/s2附近。垂直視線方向的控制加速度由初始的0.132 m/s2,逐漸減小,最后穩(wěn)定在0.002 m/s2附近,終端時(shí)刻,略微增大,最大為0.011 8 m/s2。圖9為總的控制加速度變化曲線,控制加速度逐漸減小,由初始的0.184 m/s2,逐漸減小,最后穩(wěn)定在一個(gè)極小的值0.002 m/s2附近,終端時(shí)刻,略微增大,最大為0.011 8 m/s2,消耗燃料極少。

圖7 追蹤器與逼近點(diǎn)的相對(duì)速度變化Fig.7 Relative velocity change of the tracker and the approximation point

圖8 IRPL平面內(nèi)控制加速度分量Fig.8 Control of acceleration components in IRPL plane

圖9 總的控制加速度曲線Fig.9 Total control acceleration curve

5 結(jié) 論

本文針對(duì)自由翻滾失效航天器的逼近問題,建立了追蹤器視線坐標(biāo)系下追蹤器與逼近點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,分析了失控翻滾目標(biāo)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型,采用了基于反饋線性化的增廣比例導(dǎo)引律對(duì)追蹤航天器進(jìn)行控制。通過仿真分析得出如下結(jié)論:

(1) 通過引入視線方向的控制,基于反饋線性化的增廣比例導(dǎo)引律,實(shí)現(xiàn)了對(duì)失效翻滾目標(biāo)的有效逼近。實(shí)施逼近任務(wù)所消耗的燃料較少、逼近時(shí)間合理、精度高。

(2) 本文所設(shè)計(jì)的控制律可實(shí)現(xiàn)對(duì)翻滾目標(biāo)任意位置的逼近,具有良好的實(shí)用性和工程應(yīng)用價(jià)值。